Geometría topológica - Topological geometry

La geometría topológica se ocupa de las estructuras de incidencia que constan de un conjunto de puntos y una familia de subconjuntos de líneas o círculos denominados, etc., de manera que ambos y llevan una topología y todas las operaciones geométricas como unir puntos por una línea o líneas que se cruzan son continuas. Como en el caso de los grupos topológicos , muchos resultados más profundos requieren que el espacio de puntos sea (localmente) compacto y conectado. Esto generaliza la observación de que la línea que une dos puntos distintos en el plano euclidiano depende continuamente del par de puntos y el punto de intersección de dos líneas es una función continua de estas líneas. ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$

Geometrías lineales

Las geometrías lineales son estructuras de incidencia en las que dos puntos distintos y están unidos por una línea única . Estas geometrías se denominan topológicas si dependen continuamente del par con respecto a las topologías dadas en el conjunto de puntos y el conjunto de líneas. El dual de una geometría lineal se obtiene intercambiando los roles de puntos y líneas. En el Capítulo 23 del Manual de geometría de incidencia se ofrece un estudio de las geometrías topológicas lineales . Las geometrías lineales topológicas más investigadas son aquellas que también son geometrías lineales topológicas duales. Estas geometrías se conocen como planos proyectivos topológicos . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle (x, y)}$

Historia

Un estudio sistemático de estos aviones comenzó en 1954 con un artículo de Skornyakov. Anteriormente, las propiedades topológicas del plano real se habían introducido mediante relaciones de ordenación en las líneas afines, véase, por ejemplo, Hilbert , Coxeter y O. Wyler. La integridad de la ordenación es equivalente a de compactación local e implica que las líneas afines son homeomorfa a y que el espacio punto está conectado . Tenga en cuenta que los números racionales no son suficientes para describir nuestras nociones intuitivas de geometría plana y que es necesaria alguna extensión del campo racional. De hecho, la ecuación de un círculo no tiene una solución racional. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 3}$

Planos proyectivos topológicos

El acercamiento a las propiedades topológicas de los planos proyectivos a través de relaciones de ordenamiento no es posible, sin embargo, para los planos coordinados por los números complejos , los cuaterniones o el álgebra de octoniones . Los espacios de puntos, así como los espacios de línea de estos planos clásicos (sobre los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones) son variedades compactas de dimensión . ${\ Displaystyle 2 ^ {m}, \, 1 \ leq m \ leq 4}$

Dimensión topológica

La noción de la dimensión de un espacio topológico juega un papel destacado en el estudio de la topología, en particular de los planos compactos conectados. Para un espacio normal , la dimensión se puede caracterizar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ dim X}$

Si denota la -esfera, entonces si, y solo si, para cada subespacio cerrado, cada mapa continuo tiene una extensión continua . ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ dim X \ leq n}$${\ Displaystyle A \ subconjunto X}$${\ Displaystyle \ varphi: A \ to \ mathbb {S} _ {n}}$${\ Displaystyle \ psi: X \ to \ mathbb {S} _ {n}}$

Para obtener detalles y otras definiciones de una dimensión, consulte y las referencias que se dan allí, en particular Engelking o Fedorchuk.

Planos bidimensionales

Las líneas de un plano topológico compacto con un espacio puntual bidimensional forman una familia de curvas homeomorfas a un círculo, y este hecho caracteriza a estos planos entre los planos proyectivos topológicos. De manera equivalente, el espacio de puntos es una superficie . Hilbert y Moulton han dado ejemplos tempranos no isomórficos al plano real clásico . Las propiedades de continuidad de estos ejemplos no se han considerado explícitamente en ese momento, pueden haberse dado por sentado. La construcción de Hilbert se puede modificar para obtener innumerables planos compactos no isomórficos- dimensionales por pares . La forma tradicional de distinguir de los otros planos dimensionales es por la validez del teorema de Desargues o el teorema de Pappos (ver, por ejemplo, Pickert para una discusión de estos dos teoremas de configuración). Se sabe que el último implica al primero ( Hessenberg ). El teorema de Desargues expresa una especie de homogeneidad del plano. En general, se mantiene en un plano proyectivo si, y solo si, el plano puede ser coordinado por un campo (no necesariamente conmutativo), por lo que implica que el grupo de automorfismos es transitivo en el conjunto de cuadrángulos ( ninguno de los cuales es colineal). En el contexto actual, una condición de homogeneidad mucho más débil caracteriza : ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle 4}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Teorema. Si el grupo de automorfismo de un plano compacto -dimensional es transitivo en el conjunto de puntos (o el conjunto de líneas), entonces tiene un subgrupo compacto que es incluso transitivo en el conjunto de banderas${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Phi}$ (= pares incidentes punto-línea), y es clásico ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ .

El grupo de automorfismo de un plano compacto dimensional , tomado con la topología de convergencia uniforme en el espacio puntual, es un grupo de dimensión localmente compacto como mucho , de hecho incluso un grupo de Lie . Todos los planos dimensionales tales que pueden ser descritos de manera explícita; aquellos con son exactamente los planos de Moulton, el plano clásico es el único plano dimensional con ; ver también. ${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle 8}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 4}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma> 4}$

Aviones compactos conectados

Los resultados en planos dimensionales se han extendido a planos dimensionales compactos . Esto es posible debido al siguiente teorema básico: ${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle> 2}$

Topología de planos compactos. Si la dimensión del espacio puntual de un plano proyectivo conectado compacto es finita, entonces con . Además, cada línea es una esfera de dimensión de homotopía${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ dim P = 2 ^ {m}}$${\ Displaystyle m \ in \ {1,2,3,4 \}}$${\ Displaystyle 2 ^ {m-1}}$ , ver o.

Los aspectos especiales de los planos de 4 dimensiones se tratan en, los resultados más recientes se pueden encontrar en. Las líneas de un plano compacto un -dimensional son homeomorfas a la -esfera; en los casos , no se sabe que las líneas sean múltiples, pero en todos los ejemplos que se han encontrado hasta ahora las líneas son esferas. Se dice que un subplano de un plano proyectivo es un subplano de Baer , si cada punto de es incidente con una línea de y cada línea de contiene un punto de . Un subplano cerrado es un subplano Baer de un plano conectado compacto si, y solo si, el espacio de puntos de y una línea de tienen la misma dimensión. Por lo tanto, las líneas de un plano de 8 dimensiones son homeomórficas a una esfera si tiene un subplano de Baer cerrado. ${\ Displaystyle 4}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle m> 2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {4}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Planos homogéneos. Si es un plano proyectivo conectado compacto y si es transitivo en el conjunto de puntos de , entonces tiene un subgrupo compacto de bandera transitiva y es clásico ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ , ver o. De hecho, es un grupo de movimiento elíptico. ${\ Displaystyle \ Phi}$

Sea un plano compacto de dimensión y escriba . Si , entonces es clásico, y es un grupo de dimensiones de Lie simple respectivamente. Todos los planos con se conocen explícitamente. Los planos con son exactamente los cierres proyectivos de los planos afines coordinados por una mutación del álgebra octonion , donde la nueva multiplicación se define de la siguiente manera: elija un número real con y ponga . Se han descubierto sistemáticamente amplias familias de planos con un grupo de gran dimensión a partir de supuestos sobre sus grupos de automorfismos, véase, por ejemplo ,. Muchos de ellos son cierres proyectivos de planos de traslación ( planos afines que admiten un grupo de automorfismos bruscamente transitivos que mapean cada línea en un paralelo), cf .; ver también los resultados más recientes en el caso y para . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {m}, \; m = 2,3,4}$${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma> 8,18,40}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle 16,35,78}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 8,18,40}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 40}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ circ)}$${\ Displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ \,)}$${\ Displaystyle \ circ}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle 1/2 <t \ neq 1}$${\ Displaystyle a \ circ b = t \ cdot ab + (1-t) \ cdot ba}$${\ Displaystyle m = 3}$${\ Displaystyle m = 4}$

Espacios proyectivos compactos

Los subplanos de espacios proyectivos de dimensión geométrica al menos 3 son necesariamente desarguesianos, ver §1 o §16 o. Por lo tanto, todos los espacios proyectivos conectados compactos pueden ser coordinados por los números reales o complejos o el campo de cuaterniones.

Aviones estables

El plano hiperbólico no euclidiano clásico se puede representar mediante las intersecciones de las líneas rectas en el plano real con un disco circular abierto. De manera más general, las partes abiertas (convexas) de los planos afines clásicos son planos estables típicos. Se puede encontrar un estudio de estas geometrías en, para el caso -dimensional, ver también. ${\ Displaystyle 2}$

Precisamente, un plano estable es una geometría lineal topológica tal que ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle (P, {\ mathfrak {L}})}$

1. ${\ Displaystyle P}$ es un espacio localmente compacto de dimensión finita positiva,
2. cada línea es un subconjunto cerrado de , y es un espacio de Hausdorff, ${\ Displaystyle L \ in {\ mathfrak {L}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$
3. el conjunto es un subespacio abierto ( estabilidad ), ${\ Displaystyle \ {(K, L) \ mid K \ neq L, \; K \ cap L \ neq \ emptyset \}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {O}} \ subconjunto {\ mathfrak {L}} ^ {2}}$
4. el mapa es continuo. ${\ Displaystyle (K, L) \ mapsto K \ cap L: {\ mathfrak {O}} \ to P}$

Tenga en cuenta que la estabilidad excluye geometrías como el espacio afín -dimensional sobre o . ${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Un plano estable es un plano proyectivo si, y solo si, es compacto. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle P}$

Como en el caso de los planos proyectivos, los lápices de líneas son compactos y homotopía equivalentes a una esfera de dimensión , y con , ver o. Además, el espacio de puntos se puede contraer localmente. ${\ Displaystyle 2 ^ {m-1}}$${\ Displaystyle \ dim P = 2 ^ {m}}$${\ Displaystyle m \ in \ {1,2,3,4 \}}$${\ Displaystyle P}$

Los grupos compactos de planos (adecuados) estables son bastante pequeños. Deje denotan una máxima subgrupo compacto del grupo automorphism de la clásica plano proyectivo -dimensional . Entonces se cumple el siguiente teorema: si un plano estable dimensional admite un grupo compacto de automorfismos tales que , entonces , vea. ${\ Displaystyle \ Phi _ {d}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {d}}$
${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ dim \ Gamma> \ dim \ Phi _ {d} -d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \ cong {\ mathcal {P}} _ {d}}$

Planos estables de bandera homogénea. Sea un plano estable. Si el grupo de automorfismos es transitivo de bandera, entonces es un plano proyectivo o afín clásico, o es isomorfo al interior de la esfera absoluta de la polaridad hiperbólica de un plano clásico ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = (P, {\ mathfrak {L}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ; ver.

En contraste con el caso proyectivo, hay una abundancia de planos estables homogéneos puntuales, entre ellos vastas clases de planos de traslación, ver y.

Planos simétricos

Los planos de traducción afines tienen la siguiente propiedad:

• Existe un subgrupo cerrado transitivo puntual del grupo de automorfismo que contiene una reflexión única en algunos y, por tanto, en cada punto. ${\ Displaystyle \ Delta}$

De manera más general, un plano simétrico es un plano estable que satisface la condición antes mencionada; ver, cf. para un estudio de estas geometrías. Según el Corolario 5.5, el grupo es un grupo de Lie y el espacio de puntos es una variedad. De ello se deduce que es un espacio simétrico . Mediante la teoría de Lie de los espacios simétricos, se han clasificado todos los planos simétricos con un conjunto de puntos de dimensión o . Son planos de traslación o están determinados por una forma hermitiana . Un ejemplo sencillo es el plano hiperbólico real. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = (P, {\ mathfrak {L}})}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle 4}$

Geometrías circulares

Los modelos clásicos están dados por las secciones planas de una superficie cuadrática en el espacio proyectivo real ; si es una esfera, la geometría se llama plano de Möbius . Las secciones planas de una superficie reglada (hiperboloide de una hoja) producen el plano clásico de Minkowski , cf. para generalizaciones. Si es un cono elíptico sin su vértice, la geometría se llama plano de Laguerre . En conjunto, estos aviones a veces se denominan aviones Benz . Un plano de Benz topológico es clásico, si cada punto tiene una vecindad que es isomorfa a alguna pieza abierta del plano de Benz clásico correspondiente . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

Aviones de Moebius

Los planos de Möbius consisten en una familia de círculos, que son 1-esferas topológicas, en la -esfera de modo que para cada punto la estructura derivada es un plano topológico afín. En particular, los puntos distintos están unidos por un círculo único. El espacio circular es entonces homeomórfico al espacio proyectivo real con un punto eliminado. Las secciones planas de una superficie similar a un huevo en el espacio real dan una gran clase de ejemplos . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle (S \ setminus \ {p \}, \ {C \ setminus \ {p \} \ mid p \ in C \ in {\ mathfrak {C}} \})}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle 3}$

Planos de Möbius homogéneos

Si el grupo de automorfismo de un plano de Möbius es transitivo en el conjunto de puntos o en el conjunto de círculos, o si , entonces es clásico y ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$${\ Displaystyle (S, {\ mathfrak {C}})}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 6}$ , ver.

En contraste con los planos proyectivos compactos, no hay planos de Möbius topológicos con círculos de dimensión , en particular no hay planos de Möbius compactos con un espacio puntual dimensional. Todos los planos de Möbius bidimensionales que puedan describirse explícitamente. ${\ Displaystyle> 1}$${\ Displaystyle 4}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$

Aviones Laguerre

El modelo clásico de un plano de Laguerre consiste en una superficie cilíndrica circular en el espacio real como conjunto de puntos y las secciones planas compactas de como círculos. Los pares de puntos que no están unidos por un círculo se denominan paralelos . Dejar que denotan una clase de puntos paralelas. Entonces es un plano , los círculos se pueden representar en este plano mediante parábolas de la forma . ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle C \ setminus P}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

De manera análoga, el plano de Laguerre clásico- dimensional se relaciona con la geometría de polinomios cuadráticos complejos. En general, los axiomas de un plano de Laguerre conectado localmente compacto requieren que los planos derivados se incrusten en planos proyectivos compactos de dimensión finita. Un círculo que no pasa por el punto de derivación induce un óvalo en el plano proyectivo derivado. Por o, los círculos son homeomorfos a esferas de dimensión o . Por lo tanto, el espacio puntual de un plano de Laguerre conectado localmente compacto es homeomorfo al cilindro o es una variedad -dimensional, cf. Una gran clase de ejemplos -dimensionales, llamados planos ovoidales de Laguerre, viene dada por las secciones planas de un cilindro en el espacio tridimensional real cuya base es un óvalo en . ${\ Displaystyle 4}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle 4}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

El grupo de automorfismo de un plano de Laguerre -dimensional ( ) es un grupo de Lie con respecto a la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos del espacio de puntos; además, este grupo tiene dimensión como máximo . Todos los automorfismos de un plano de Laguerre que fijan cada clase paralela forman un subgrupo normal, el núcleo del grupo de automorfismos completo. Los planos de Laguerre -dimensionales con son exactamente los planos ovoidales sobre las parábolas de sesgo adecuadas. Los planos clásicos- dimensionales de Laguerre son los únicos tales que , ver, cf. además. ${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle d = 1,2}$${\ Displaystyle 7d}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma = 5}$${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma> 5d}$

Planos de Laguerre homogéneos

Si el grupo de automorfismo de un plano de Laguerre -dimensional es transitivo en el conjunto de clases paralelas, y si el núcleo es transitivo en el conjunto de círculos, entonces es clásico ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle T \ triangleleft \ Sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ , ver 2.1,2.

Sin embargo, la transitividad del grupo de automorfismos en el conjunto de círculos no es suficiente para caracterizar el modelo clásico entre los planos de Laguerre -dimensionales. ${\ Displaystyle 2d}$

Aviones de Minkowski

El modelo clásico de un plano de Minkowski tiene el toro como espacio de puntos, los círculos son los gráficos de mapas lineales fraccionarios reales . Al igual que con los planos de Laguerre, el espacio puntual de un plano de Minkowski conectado localmente compacto es - o - dimensional; el espacio de puntos es entonces homeomorfo a un toro o a , ver. ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {1} \ times \ mathbb {S} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {1} = \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {2} \ times \ mathbb {S} _ {2}}$

Aviones homogéneos de Minkowski

Si el grupo de automorfismos de un plano de dimensión de Minkowski es transitivo de bandera, entonces es clásico ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ .

El grupo de automorfismo de un plano de Minkowski -dimensional es un grupo de Lie de dimensión a lo sumo . Todos los planos de Minkowski dimensionales que pueden describirse explícitamente. El plano clásico- dimensional de Minkowski es el único con , ¿ven? ${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle 6d}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$${\ Displaystyle 2d}$${\ Displaystyle \ dim \ Sigma> 4d}$

Notas

Referencias

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