Dimensión del revestimiento de Lebesgue - Lebesgue covering dimension

En matemáticas , la dimensión de cobertura de Lebesgue o dimensión topológica de un espacio topológico es una de varias formas diferentes de definir la dimensión del espacio de una manera topológicamente invariante .

Discusión informal

Para los espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de cobertura de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para puntos, uno para líneas, dos para planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .

En general, un espacio topológico X puede estar cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tal que X se encuentra dentro de su unión . La dimensión de cobertura es el número n más pequeño, de modo que para cada cobertura, hay un refinamiento en el que cada punto de X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de cobertura. Esta es la esencia de la definición formal a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un entero ) que describa el espacio y que no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que es invariante bajo homeomorfismos .

La idea general se ilustra en los diagramas a continuación, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.

Refinamiento de la portada de un círculo

El diagrama de la izquierda muestra un refinamiento (a la izquierda) de una cubierta (a la derecha) de una línea circular (negra). Observe cómo en el refinamiento ningún punto de la línea está contenido en más de dos conjuntos. Observe también cómo los conjuntos se enlazan entre sí para formar una "cadena".

Refinamiento de la portada de un cuadrado

La parte inferior izquierda es un refinamiento de una cubierta (parte superior) de una forma plana (oscura) para que todos los puntos de la forma estén contenidos en un máximo de tres conjuntos. La parte inferior derecha es un intento de refinar la portada para que ningún punto quede contenido en más de dos conjuntos. Esto falla en la intersección de fronteras establecidas. Por lo tanto, una forma plana no es "tejida" o no puede cubrirse con "cadenas", pero en cierto sentido es más gruesa; es decir, su dimensión topológica debe ser superior a uno.

Definicion formal

La primera definición formal de dimensión de cobertura fue dada por Eduard Čech , basado en un resultado anterior de Henri Lebesgue .

Una definición moderna es la siguiente. Una tapa abierta de un espacio topológico X es una familia de conjuntos abiertos cuya unión incluye X . La capa o el orden de una cubierta es el número más pequeño n (si existe) tal que cada punto del espacio pertenece, como máximo, a n conjuntos en la cubierta. Un refinamiento de una cubierta C es otra cubierta, cada uno de cuyos conjuntos es un subconjunto de un conjunto en C . La dimensión de cobertura de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n , de modo que cada cubierta abierta C de X (independientemente de la capa) tiene un refinamiento abierto con la capa n + 1 o menos. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Como caso especial, un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura si cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos de modo que cualquier punto del espacio esté contenido exactamente en un conjunto abierto de este refinamiento. .

A menudo es conveniente decir que la dimensión de cobertura del conjunto vacío es -1.

Ejemplos de

Cualquier cubierta abierta dada del círculo unitario tendrá un refinamiento que consiste en una colección de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier cobertura de este tipo puede refinarse aún más hasta la etapa en la que un punto x dado del círculo está contenido en como máximo dos arcos abiertos. Es decir, cualquiera que sea la colección de arcos con la que comencemos, algunos pueden descartarse o encogerse, de modo que el resto todavía cubra el círculo pero con superposiciones simples.

De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional puede refinarse de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos en general no son suficientes. Por tanto, la dimensión de cobertura del disco es dos.

De manera más general, el espacio euclidiano n- dimensional tiene una dimensión de cobertura n . ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Propiedades

Los espacios homeomorfos tienen la misma dimensión de cobertura. Es decir, la dimensión de cobertura es una invariante topológica .
La dimensión de cobertura de Lebesgue coincide con la dimensión afín de un complejo simplicial finito ; este es el teorema de cobertura de Lebesgue .
La dimensión de cobertura de un espacio normal es menor o igual que la dimensión inductiva grande .
La dimensión de cobertura de un espacio normal X es si y solo si para cualquier subconjunto cerrado A de X , si es continuo, entonces hay una extensión de a . Aquí, está la esfera de n dimensiones . ${\ Displaystyle \ leq n}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ displaystyle g: X \ rightarrow S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S ^ {n}}$
(Teorema de Ostrand sobre la dimensión coloreada.) Un espacio normal satisface la desigualdad si y solo si para cada cubierta abierta localmente finita del espacio existe una cubierta abierta del espacio que puede representarse como la unión de familias , donde , tal que cada contiene conjuntos disjuntos y para cada y . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq \ dim X \ leq n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle n + 1}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {1}, {\ mathcal {V}} _ {2}, \ dots, {\ mathcal {V}} _ {n + 1}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {i} = \ {V_ {i, \ alpha} \} _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle V_ {i, \ alpha} \ subseteq U _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$
La dimensión que cubre de un paracompact Hausdorff espacio es mayor o igual que su dimensión cohomológico (en el sentido de las poleas ), es decir, uno tiene para cada fajo de grupos abelianos sobre y cada mayor que la dimensión que cubre de . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle H ^ {i} (X, A) = 0}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle X}$

Ver también

Referencias

Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR 0345092
Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

Otras lecturas

Histórico

Karl Menger , Espacios generales y espacios cartesianos , (1926) Comunicaciones a la Academia de Ciencias de Amsterdam. Traducción al inglés reimpresa en Classics on Fractals , Gerald A. Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) Editores BG Teubner, Leipzig.
AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8

Moderno

VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, Topología general I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 .

enlaces externos

"Dimensión de Lebesgue" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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