Tangente - Tangent

Tangente a una curva. La línea roja es tangencial a la curva en el punto marcado por un punto rojo.
Plano tangente a una esfera

En geometría , la línea tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la línea recta que "solo toca" la curva en ese punto. Leibniz lo definió como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es la tangente de una curva y = f ( x ) en un punto x = c si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) de la curva y tiene una pendiente f ' ( c ) , donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y las curvas en el espacio euclidiano n- dimensional .

A medida que pasa por el punto donde se encuentran la línea tangente y la curva, llamado punto de tangencia , la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

La línea tangente a un punto en una curva diferenciable también se puede considerar como la gráfica de la función afín que mejor se aproxima a la función original en el punto dado.

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "simplemente toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; ver Espacio tangente .

La palabra "tangente" proviene del latín tangere , "tocar".

Historia

Euclides hace varias referencias a la tangente ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) a un círculo en el libro III de los Elementos (c. 300 aC). En la obra Cónicas de Apolonio (c. 225 a. C.), define una tangente como una línea tal que ninguna otra línea recta podría caer entre ella y la curva .

Arquímedes (c. 287 - c. 212 a. C.) encontró la tangente a una espiral de Arquímedes considerando la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de la curva.

En la década de 1630, Fermat desarrolló la técnica de la adecuación para calcular tangentes y otros problemas en el análisis y la utilizó para calcular tangentes a la parábola. La técnica de la adecuación es similar a tomar la diferencia entre y y dividir por una potencia de . Independientemente, Descartes utilizó su método de normales basado en la observación de que el radio de un círculo es siempre normal al círculo mismo.

Estos métodos llevaron al desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Muchas personas contribuyeron. Roberval descubrió un método general para dibujar tangentes, considerando una curva como la describe un punto en movimiento cuyo movimiento es el resultado de varios movimientos más simples. René-François de Sluse y Johannes Hudde encontraron algoritmos algebraicos para encontrar tangentes. Otros desarrollos incluyeron los de John Wallis e Isaac Barrow , que condujeron a la teoría de Isaac Newton y Gottfried Leibniz .

Una definición de 1828 de tangente era "una línea recta que toca una curva, pero que cuando se produce, no la corta". Esta antigua definición evita que los puntos de inflexión tengan tangente. Se ha descartado y las definiciones modernas son equivalentes a las de Leibniz , quien definió la línea tangente como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva.

Recta tangente a una curva

Una tangente, una cuerda y una secante a un círculo

La noción intuitiva de que una línea tangente "toca" una curva puede hacerse más explícita considerando la secuencia de líneas rectas ( líneas secantes ) que pasan por dos puntos, A y B , los que se encuentran en la curva de función. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A . La existencia y unicidad de la línea tangente depende de un cierto tipo de suavidad matemática, conocida como "diferenciabilidad". Por ejemplo, si dos arcos circulares se encuentran en un punto agudo (un vértice), entonces no hay una tangente definida unívocamente en el vértice porque el límite de la progresión de las líneas secantes depende de la dirección en la que el "punto B " se acerca al vértice.

En la mayoría de los puntos, la tangente toca la curva sin cruzarla (aunque puede, cuando continúa, cruzar la curva en otros lugares alejados del punto de la tangente). Un punto donde la tangente (en este punto) cruza la curva se llama punto de inflexión . Los círculos , parábolas , hipérbolas y elipses no tienen ningún punto de inflexión, pero sí tienen curvas más complicadas, como la gráfica de una función cúbica , que tiene exactamente un punto de inflexión, o una sinusoide, que tiene dos puntos de inflexión por cada período de la seno .

A la inversa, puede suceder que la curva se encuentre completamente en un lado de una línea recta que pasa por un punto de ella y, sin embargo, esta línea recta no sea una línea tangente. Este es el caso, por ejemplo, de una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no lo interseca de otro modo, donde la línea tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa , estas líneas se denominan líneas de soporte .

En cada punto, la línea en movimiento siempre es tangente a la curva . Su pendiente es la derivada ; el verde marca la derivada positiva, el rojo marca la derivada negativa y el negro marca la derivada cero. El punto (x, y) = (0,1) donde la tangente interseca la curva, no es un máximo ni un mínimo, sino un punto de inflexión .

Aproximación analítica

La idea geométrica de la línea tangente como el límite de las líneas secantes sirve como motivación para los métodos analíticos que se utilizan para encontrar líneas tangentes explícitamente. La cuestión de encontrar la recta tangente a un gráfico, o el problema de la recta tangente, fue una de las cuestiones centrales que llevaron al desarrollo del cálculo en el siglo XVII. En el segundo libro de su Geometría , René Descartes dijo sobre el problema de construir la tangente a una curva, "Y me atrevo a decir que este no es solo el problema más útil y más general en geometría que conozco, sino que incluso tengo alguna vez deseado saber ".

Descripción intuitiva

Suponga que se da una curva como la gráfica de una función , y = f ( x ). Para encontrar la recta tangente en el punto p = ( a , f ( a )), considere otro punto cercano q = ( a + h , f ( a + h )) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual a la cociente de diferencias

A medida que el punto q se acerca a p , lo que corresponde a hacer h cada vez más pequeño, el cociente de diferencias debe acercarse a un cierto valor límite k , que es la pendiente de la recta tangente en el punto p . Si se conoce k , la ecuación de la recta tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

Descripción más rigurosa

Para que el razonamiento anterior sea riguroso, hay que explicar qué se entiende por cociente de diferencias que se aproxima a un cierto valor límite k . La formulación matemática precisa fue dada por Cauchy en el siglo XIX y se basa en la noción de límite . Suponga que la gráfica no tiene una ruptura o un borde afilado en py no está vertical ni demasiado ondulada cerca de p . Entonces hay un valor único de k tal que, a medida que h se acerca a 0, el cociente de diferencias se acerca cada vez más a k , y la distancia entre ellos se vuelve insignificante en comparación con el tamaño de h , si h es lo suficientemente pequeño. Esto conduce a la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica como el límite de los cocientes de diferencia para la función f . Este límite es la derivada de la función f en x = a , denotada f  ′ ( a ). Usando derivadas, la ecuación de la recta tangente se puede establecer de la siguiente manera:

El cálculo proporciona reglas para calcular las derivadas de funciones dadas por fórmulas, como la función de potencia , funciones trigonométricas , función exponencial , logaritmo y sus diversas combinaciones. Por lo tanto, las ecuaciones de las tangentes a las gráficas de todas estas funciones, así como muchas otras, se pueden encontrar mediante los métodos de cálculo.

Cómo puede fallar el método

El cálculo también demuestra que hay funciones y puntos en sus gráficos para los que no existe el límite que determina la pendiente de la recta tangente. Para estos puntos, la función f no es diferenciable . Hay dos razones posibles para que falle el método de encontrar las tangentes basado en los límites y las derivadas: o la tangente geométrica existe, pero es una línea vertical, que no se puede dar en forma de punto-pendiente ya que no tiene una pendiente, o la gráfica exhibe uno de tres comportamientos que excluyen una tangente geométrica.

El gráfico y = x 1/3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de diferencia en a = 0 es igual ah 1/3 / h = h −2/3 , que se vuelve muy grande a medida que h se acerca a 0. Esta curva tiene una línea tangente en el origen que es vertical.

El gráfico y = x 2/3 ilustra otra posibilidad: este gráfico tiene una cúspide en el origen. Esto significa que, cuando h se acerca a 0, el cociente de diferencias en a = 0 se acerca a más o menos infinito dependiendo del signo de x . Por tanto, ambas ramas de la curva están cerca de la mitad de la línea vertical para la cual y = 0, pero ninguna está cerca de la parte negativa de esta línea. Básicamente, no hay tangente en el origen en este caso, pero en algún contexto se puede considerar esta línea como una tangente e incluso, en geometría algebraica , como una doble tangente .

El gráfico y = | x | de la función de valor absoluto consta de dos rectas con diferentes pendientes unidas en el origen. Cuando un punto q se acerca al origen por la derecha, la recta secante siempre tiene pendiente 1. Cuando un punto q se acerca al origen por la izquierda, la recta secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no existe una tangente única al gráfico en el origen. Tener dos pendientes diferentes (pero finitas) se llama esquina .

Finalmente, dado que la diferenciabilidad implica continuidad, la discontinuidad de los estados contrapositivos implica no diferenciabilidad. Cualquier salto o discontinuidad puntual no tendrá una línea tangente. Esto incluye casos en los que una pendiente se acerca al infinito positivo mientras que la otra se acerca al infinito negativo, lo que lleva a una discontinuidad de salto infinito.

Ecuaciones

Cuando la curva está dada por y = f ( x ) entonces la pendiente de la tangente es así por la fórmula punto-pendiente la ecuación de la recta tangente en ( XY ) es

donde ( xy ) son las coordenadas de cualquier punto de la recta tangente, y donde se evalúa la derivada .

Cuando la curva está dada por y = f ( x ), la ecuación de la recta tangente también se puede encontrar usando la división polinómica para dividir por ; si el resto se denota por , entonces la ecuación de la recta tangente está dada por

Cuando la ecuación de la curva se da en la forma f ( xy ) = 0, entonces el valor de la pendiente se puede encontrar por diferenciación implícita , dando

La ecuación de la recta tangente en un punto ( X , Y ) tal que f ( X , Y ) = 0 es entonces

Esta ecuación permanece verdadera si pero (en este caso, la pendiente de la tangente es infinita). Si la recta tangente no está definida y se dice que el punto ( X , Y ) es singular .

Para las curvas algebraicas , los cálculos se pueden simplificar un poco convirtiéndolos en coordenadas homogéneas . Específicamente, supongamos que la ecuación homogénea de la curva sea g ( xyz ) = 0 donde g es una función homogénea de grado n . Entonces, si ( XYZ ) se encuentra en la curva, el teorema de Euler implica

De ello se deduce que la ecuación homogénea de la recta tangente es

La ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar estableciendo z = 1 en esta ecuación.

Para aplicar esto a las curvas algebraicas, escriba f ( xy ) como

donde cada u r es la suma de todos los términos de grado r . La ecuación homogénea de la curva es entonces

Aplicar la ecuación anterior y establecer z = 1 produce

como la ecuación de la recta tangente. La ecuación en esta forma es a menudo más simple de usar en la práctica, ya que no es necesaria una mayor simplificación después de su aplicación.

Si la curva viene dada paramétricamente por

entonces la pendiente de la tangente es

dando la ecuación para la recta tangente en como

Si la línea tangente no está definida. Sin embargo, puede ocurrir que la línea tangente exista y se pueda calcular a partir de una ecuación implícita de la curva.

Línea normal a una curva

La línea perpendicular a la línea tangente a una curva en el punto de tangencia se llama línea normal a la curva en ese punto. Las pendientes de las rectas perpendiculares tienen el producto −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f ( x ), la pendiente de la recta normal es

y se sigue que la ecuación de la recta normal en (X, Y) es

De manera similar, si la ecuación de la curva tiene la forma f ( xy ) = 0, entonces la ecuación de la línea normal viene dada por

Si la curva viene dada paramétricamente por

entonces la ecuación de la recta normal es

Ángulo entre curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto donde se cruzan se define como el ángulo entre sus líneas tangentes en ese punto. Más específicamente, se dice que dos curvas son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en un punto, y ortogonales si sus rectas tangentes son ortogonales.

Varias tangentes en un punto

La limaçon trisectrix: una curva con dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores fallan cuando el punto es un punto singular . En este caso, puede haber dos o más ramas de la curva que pasan por el punto, cada rama tiene su propia línea tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas líneas se pueden encontrar para las curvas algebraicas al factorizar la ecuación formada al eliminar todos los términos de la ecuación original, excepto los de grado más bajo. Dado que cualquier punto puede convertirse en origen mediante un cambio de variables (o traduciendo la curva), esto proporciona un método para encontrar las rectas tangentes en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la trisectriz limaçon que se muestra a la derecha es

Expandir esto y eliminar todos los términos excepto los del grado 2 da

que, cuando se factoriza, se convierte en

Entonces estas son las ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen.

Cuando la curva no se cruza automáticamente, es posible que la tangente en un punto de referencia aún no esté definida de manera única porque la curva no es diferenciable en ese punto, aunque sí es diferenciable en otro lugar. En este caso, las derivadas izquierda y derecha se definen como los límites de la derivada, ya que el punto en el que se evalúa se acerca al punto de referencia desde la izquierda (valores más bajos) o la derecha (valores más altos) respectivamente. Por ejemplo, la curva y = | x | no es diferenciable en x = 0: sus derivadas izquierda y derecha tienen pendientes respectivas -1 y 1; las tangentes en ese punto con esas pendientes se denominan tangentes izquierda y derecha.

A veces, las pendientes de las rectas tangentes izquierda y derecha son iguales, por lo que las rectas tangentes coinciden. Esto es cierto, por ejemplo, para la curva y = x 2/3 , para la cual las derivadas izquierda y derecha en x = 0 son infinitas; ambas rectas tangentes izquierda y derecha tienen la ecuación x = 0.

Círculos tangentes

Dos pares de círculos tangentes. Por encima de la tangente internamente y por debajo de la externa

Se dice que dos círculos de radio no igual, ambos en el mismo plano, son tangentes entre sí si se encuentran en un solo punto. De manera equivalente, dos círculos , con radios de r i y centros en ( x i , y i ), para i  = 1, 2 se dice que son tangentes entre sí si

  • Dos círculos son externamente tangentes si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
  • Dos círculos son internamente tangentes si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios.

Superficies

El plano tangente a una superficie en un punto p dado se define de forma análoga a la recta tangente en el caso de las curvas. Es la mejor aproximación de la superficie por un plano en p , y se puede obtener como la posición límite de los planos que pasan por 3 puntos distintos en la superficie cerca de p cuando estos puntos convergen ap .

Variedades de mayor dimensión

De manera más general, hay un espacio tangente k- dimensional en cada punto de una variedad k- dimensional en el espacio euclidiano n- dimensional .

Ver también

Referencias

Fuentes

enlaces externos