Número primo supersingular (teoría algebraica de números) - Supersingular prime (algebraic number theory)

En la teoría algebraica de números , un número primo supersingular para una curva elíptica dada es un número primo con cierta relación con esa curva. Si la curva E se define sobre los números racionales , entonces un primo p es supersingular para E si la reducción de E módulo  p es una curva elíptica supersingular sobre el campo de residuos   F _p .

Noam Elkies demostró que cada curva elíptica sobre los números racionales tiene infinitos números primos supersingulares. Sin embargo, el conjunto de primos supersingulares tiene densidad asintótica cero (si E no tiene multiplicación compleja). Lang y Trotter (1976) conjeturaron que el número de primos supersingulares menores que un límite X está dentro de un múltiplo constante de , usando heurísticas que involucran la distribución de valores propios del endomorfismo de Frobenius. A partir de 2019, esta conjetura está abierta. ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {X}} {\ ln X}}}$

De manera más general, si K es cualquier campo global, es decir, una extensión finita de Q o de F _p ( t ), y A es una variedad abeliana definida sobre K , entonces un número primo supersingular para A${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ es un lugar finito de K tal que la reducción de A módulo es una variedad abeliana supersingular . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Referencias

• Elkies, Noam D. (1987). "La existencia de infinitos números primos supersingulares para cada curva elíptica sobre Q ". Inventar. Matemáticas. 89 (3): 561–567. Código Bibliográfico : 1987InMat..89..561E . doi : 10.1007 / BF01388985 . Señor   0903384 . S2CID   123646933 .
• Lang, Serge ; Trotter, Hale F. (1976). Distribuciones de Frobenius en extensiones GL ₂ . Apuntes de clase en matemáticas. 504 . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN   0-387-07550-X . Zbl   0329.12015 .
• Ogg, AP (1980). "Funciones modulares". En Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (eds.). La Conferencia de Santa Cruz sobre Grupos Finitos. Celebrada en la Universidad de California, Santa Cruz, California, del 25 de junio al 20 de julio de 1979 . Proc. Symp. Matemática pura. 37 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 521–532. ISBN   0-8218-1440-0 . Zbl   0448.10021 .
• Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de las curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 106 . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN   0-387-96203-4 . Zbl   0585.14026 .