Supergrupo (física) - Supergroup (physics)

El concepto de supergrupo es una generalización del de grupo . En otras palabras, cada supergrupo tiene una estructura de grupo natural, pero puede haber más de una forma de estructurar un grupo dado como un supergrupo. Un supergrupo es como un grupo de Lie en que hay una noción bien definida de función suave definida en ellos. Sin embargo, las funciones pueden tener partes pares e impares. Además, un supergrupo tiene una superálgebra de Lie que desempeña un papel similar al de un álgebra de Lie para grupos de Lie en el sentido de que determina la mayor parte de la teoría de la representación y que es el punto de partida para la clasificación.

Detalles

Más formalmente, un supergrupo de Lie es una supervariedad G junto con un morfismo de multiplicación , un morfismo de inversión y un morfismo unitario que convierte a G en un objeto de grupo en la categoría de supervariedades. Esto significa que, formulados como diagramas conmutativos, los axiomas de asociatividad e inversión habituales de un grupo continúan siendo válidos. Dado que cada variedad es una súper variedad, un supergrupo de Lie generaliza la noción de un grupo de Lie .

Hay muchos supergrupos posibles. Los de mayor interés en física teórica son los que amplían el grupo de Poincaré o el grupo conformal . De particular interés son los grupos ortosintécticos Osp ( M | N ) y los grupos superunitarios SU ( M | N ).

Un enfoque algebraicas equivalentes comienza a partir de la observación de que un colector súper está determinado por su anillo de supercommutative funciones suaves, y que un morfismo de súper colectores corresponde uno a uno con un homomorfismo álgebra entre sus funciones en la dirección opuesta, es decir, que la categoría de supermanifolds es opuesta a la categoría de álgebras de funciones conmutativas graduadas suaves. Al invertir todas las flechas en los diagramas conmutativos que definen un supergrupo de Lie, se muestra que las funciones sobre el supergrupo tienen la estructura de un álgebra de Hopf de grado Z 2 . Del mismo modo las representaciones de esta álgebra de Hopf resultan ser Z 2 -graded comódulos . Este álgebra de Hopf da las propiedades globales del supergrupo.

Hay otro álgebra de Hopf relacionada que es el dual del álgebra de Hopf anterior. Se puede identificar con el álgebra de Hopf de operadores diferenciales graduados en el origen. Solo proporciona las propiedades locales de las simetrías, es decir, solo proporciona información sobre transformaciones supersimetrías infinitesimales. Las representaciones de este álgebra de Hopf son módulos . Como en el caso no graduado, este álgebra de Hopf se puede describir puramente algebraicamente como el álgebra envolvente universal de la superalgebra de Lie .

De manera similar, se puede definir un supergrupo algebraico afín como un objeto de grupo en la categoría de variedades afines superalgebraicas . Un supergrupo algebraico afín tiene una relación similar de uno a uno con su álgebra de Hopf de superpolinomios. Utilizando el lenguaje de los esquemas , que combina el punto de vista geométrico y algebraico, se pueden definir esquemas de supergrupos algebraicos incluyendo variedades súper abelianas .

Notas

Referencias