Estrófoide - Strophoid

estrofoide: curva naranja + rosa

En geometría , un estrofoide es una curva generada a partir de una curva dada C y los puntos A (el punto fijo ) y O (el polo ) como sigue: Sea L sea una línea variable de pasar a través de O y de intersección C a K . Ahora vamos P ₁ y P ₂ sean los dos puntos en L cuya distancia de K es la misma que la distancia de A a K . El locus de tales puntos P ₁ y P ₂ es entonces la estrofoide de C con respecto al polo O y el punto fijo A . Tenga en cuenta que AP ₁ y AP ₂ están en ángulos rectos en esta construcción.

En el caso especial en el que C es una línea, A se encuentra en C y O no está en C , entonces la curva se denomina estrofoide oblicua . Si, además, OA es perpendicular a C, entonces la curva se denomina estrofoide derecho , o simplemente estrófoide por algunos autores. El estrofoide derecho también se llama la curva de logocyclic o foliadas .

Ecuaciones

Coordenadas polares

Deje que la curva el C ser dada por , donde se toma el origen de ser O . Sea A el punto ( a , b ). Si es un punto de la curva, la distancia de K a A es ${\ Displaystyle r = f (\ theta)}$ ${\ Displaystyle K = (r \ cos \ theta, \ r \ sin \ theta)}$

{\ Displaystyle d = {\ sqrt {(r \ cos \ theta -a) ^ {2} + (r \ sin \ theta -b) ^ {2}}} = {\ sqrt {(f (\ theta) \ cos \ theta -a) ^ {2} + (f (\ theta) \ sin \ theta -b) ^ {2}}}}

.

Los puntos de la línea OK tienen un ángulo polar y los puntos a la distancia d de K en esta línea son la distancia del origen. Por tanto, la ecuación del estrofoide viene dada por ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle f (\ theta) \ pm d}$

{\ Displaystyle r = f (\ theta) \ pm {\ sqrt {(f (\ theta) \ cos \ theta -a) ^ {2} + (f (\ theta) \ sin \ theta -b) ^ {2 }}}}

Coordenadas cartesianas

Sea C paramétricamente por ( x ( t ), y ( t )). Sea A el punto (a, b) y sea O el punto ( p , q ). Luego, mediante una sencilla aplicación de la fórmula polar, el estrofoide viene dado paramétricamente por:

{\ Displaystyle u (t) = p + (x (t) -p) (1 \ pm n (t)), \ v (t) = q + (y (t) -q) (1 \ pm n (t) )}

,

dónde

{\ Displaystyle n (t) = {\ sqrt {\ frac {(x (t) -a) ^ {2} + (y (t) -b) ^ {2}} {(x (t) -p) ^ {2} + (y (t) -q) ^ {2}}}}}

.

Una fórmula polar alternativa

La naturaleza compleja de las fórmulas dadas anteriormente limita su utilidad en casos específicos. Existe una forma alternativa que a veces es más sencilla de aplicar. Esto es particularmente útil cuando C es un sectrix de Maclaurin con los postes de O y A .

Sea O el origen y A el punto ( a , 0). Sea K un punto en la curva, el ángulo entre OK y el eje x, y el ángulo entre AK y el eje x. Supongamos que se puede dar como función , digamos . Sea el ángulo en K entonces . Podemos determinar r en términos de l usando la ley de los senos. Ya que ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ vartheta}$ ${\ Displaystyle \ vartheta}$ ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ vartheta = l (\ theta)}$ ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ psi = \ vartheta - \ theta}$

{\ Displaystyle {r \ over \ sin \ vartheta} = {a \ over \ sin \ psi}, \ r = a {\ frac {\ sin \ vartheta} {\ sin \ psi}} = a {\ frac {\ pecado l (\ theta)} {\ sin (l (\ theta) - \ theta)}}}

.

Sean P ₁ y P ₂ los puntos en OK que están a una distancia AK de K , numerados de manera que y . es isósceles con ángulo de vértice , por lo que los ángulos restantes, y , son . El ángulo entre AP ₁ y el eje x es entonces ${\ Displaystyle \ psi = \ angle P_ {1} KA}$ ${\ Displaystyle \ pi - \ psi = \ angle AKP_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ triangle P_ {1} KA}$ ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ angle AP_ {1} K}$ ${\ Displaystyle \ angle KAP_ {1}}$ ${\ Displaystyle (\ pi - \ psi) / 2}$

{\ Displaystyle l_ {1} (\ theta) = \ vartheta + \ angle KAP_ {1} = \ vartheta + (\ pi - \ psi) / 2 = \ vartheta + (\ pi - \ vartheta + \ theta) / 2 = (\ vartheta + \ theta + \ pi) / 2}

.

Por un argumento similar, o simplemente usando el hecho de que AP ₁ y AP ₂ están en ángulos rectos, el ángulo entre AP ₂ y el eje x es entonces

{\ Displaystyle l_ {2} (\ theta) = (\ vartheta + \ theta) / 2}

.

La ecuación polar para el estrofoide ahora se puede derivar de l ₁ y l ₂ de la fórmula anterior:

{\ Displaystyle r_ {1} = a {\ frac {\ sin l_ {1} (\ theta)} {\ sin (l_ {1} (\ theta) - \ theta)}} = a {\ frac {\ sin ((l (\ theta) + \ theta + \ pi) / 2)} {\ sin ((l (\ theta) + \ theta + \ pi) / 2- \ theta)}} = a {\ frac {\ cos ((l (\ theta) + \ theta) / 2)} {\ cos ((l (\ theta) - \ theta) / 2)}}}

{\ Displaystyle r_ {2} = a {\ frac {\ sin l_ {2} (\ theta)} {\ sin (l_ {2} (\ theta) - \ theta)}} = a {\ frac {\ sin ((l (\ theta) + \ theta) / 2)} {\ sin ((l (\ theta) + \ theta) / 2- \ theta)}} = a {\ frac {\ sin ((l (\ theta) + \ theta) / 2)} {\ sin ((l (\ theta) - \ theta) / 2)}}}

C es una sectriz de Maclaurin con polos O y A cuando l es de la forma , en ese caso l ₁ y l ₂ tendrán la misma forma, por lo que el estrofoide es otra sectriz de Maclaurin o un par de tales curvas. En este caso, también hay una ecuación polar simple para la ecuación polar si el origen se desplaza hacia la derecha en a . ${\ Displaystyle q \ theta + \ theta _ {0}}$

Casos específicos

Estrófoides oblicuos

Deje C ser una línea a través de A . Luego, en la notación utilizada anteriormente, donde es una constante. Entonces y . Las ecuaciones polares del estrfoides resultante, llamado estrfoides oblicuo, con el origen en O son entonces ${\ Displaystyle l (\ theta) = \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle l_ {1} (\ theta) = (\ theta + \ alpha + \ pi) / 2}$ ${\ Displaystyle l_ {2} (\ theta) = (\ theta + \ alpha) / 2}$

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ cos ((\ alpha + \ theta) / 2)} {\ cos ((\ alpha - \ theta) / 2)}}}

y

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ sin ((\ alpha + \ theta) / 2)} {\ sin ((\ alpha - \ theta) / 2)}}}

.

Es fácil comprobar que estas ecuaciones describen la misma curva.

Mover el origen a A (nuevamente, ver Sectrix de Maclaurin ) y reemplazar - a con a produce

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ sin (2 \ theta - \ alpha)} {\ sin (\ theta - \ alpha)}}}

,

y girando a su vez produce ${\ Displaystyle \ alpha}$

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ sin (2 \ theta + \ alpha)} {\ sin (\ theta)}}}

.

En coordenadas rectangulares, con un cambio de parámetros constantes, esto es

{\ Displaystyle y (x ^ {2} + y ^ {2}) = b (x ^ {2} -y ^ {2}) + 2cxy}

.

Esta es una curva cúbica y, por la expresión en coordenadas polares, es racional. Tiene una cruzada en (0, 0) y la línea y = b es una asíntota.

El estrofoide correcto

Un estrofoide derecho

Poniendo en ${\ Displaystyle \ alpha = \ pi / 2}$

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ sin (2 \ theta - \ alpha)} {\ sin (\ theta - \ alpha)}}}

da

{\ Displaystyle r = a {\ frac {\ cos 2 \ theta} {\ cos \ theta}} = a (2 \ cos \ theta - \ sec \ theta)}

.

Esto se denomina estrofoide derecho y corresponde al caso en el que C es el eje y , A es el origen y O es el punto ( a , 0).

La ecuación cartesiana es

{\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} (ax) / (a ​​+ x)}

.

La curva se asemeja al Folio de Descartes y la línea x = - a es una asíntota de dos ramas. La curva tiene dos asíntotas más, en el plano con coordenadas complejas, dadas por

{\ Displaystyle x \ pm iy = -a}

.

Círculos

Sea C un círculo que pasa por O y A , donde O es el origen y A es el punto ( a , 0). Luego, en la notación utilizada anteriormente, donde es una constante. Entonces y . Las ecuaciones polares del estrofoide resultante, llamado estrofoide oblicuo, con el origen en O son entonces ${\ Displaystyle l (\ theta) = \ alpha + \ theta}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle l_ {1} (\ theta) = \ theta + (\ alpha + \ pi) / 2}$ ${\ Displaystyle l_ {2} (\ theta) = \ theta + \ alpha / 2}$