Espacio-tiempo estacionario - Stationary spacetime

En la relatividad general , específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein , se dice que un espacio-tiempo es estacionario si admite un vector de Killing que es asintóticamente similar al tiempo .

Descripción y análisis

En un espacio-tiempo estacionario, los componentes del tensor métrico,, pueden elegirse de modo que sean todos independientes de la coordenada temporal. El elemento lineal de un espaciotiempo estacionario tiene la forma ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ Displaystyle (i, j = 1,2,3)}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda (dt- \ omega _ {i} \, dy ^ {i}) ^ {2} - \ lambda ^ {- 1} h_ {ij} \, dy ^ {i } \, dy ^ {j},}$

donde es la coordenada de tiempo, son las tres coordenadas espaciales y es el tensor métrico del espacio tridimensional. En este sistema de coordenadas, el campo del vector Killing tiene los componentes . es un escalar positivo que representa la norma del vector de Killing, es decir, y es un vector tridimensional, llamado vector de torsión, que desaparece cuando el vector de Killing es ortogonal a la hipersuperficie. Este último surge como los componentes espaciales del 4-vector twist (ver, por ejemplo, p. 163) que es ortogonal al vector Killing , es decir, satisface . El vector de torsión mide hasta qué punto el vector de Killing no es ortogonal a una familia de 3 superficies. Un giro distinto de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo. ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle y ^ {i}}$${\ Displaystyle h_ {ij}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {\ mu} = (1,0,0,0)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda = g _ {\ mu \ nu} \ xi ^ {\ mu} \ xi ^ {\ nu}}$${\ Displaystyle \ omega _ {i}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ mu} = e _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ xi ^ {\ nu} \ nabla ^ {\ rho} \ xi ^ {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ mu} \ xi ^ {\ mu} = 0}$

La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interpretación geométrica interesante. El vector Killing de traducción temporal genera un grupo de movimiento de un parámetro en el espacio-tiempo . Al identificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita), se obtiene un espacio tridimensional (la variedad de trayectorias de Killing) , el espacio del cociente. Cada punto de representa una trayectoria en el espacio-tiempo . Esta identificación, llamada proyección canónica, es un mapeo que envía cada trayectoria hacia un punto e induce una métrica a través del retroceso. Las cantidades , y son todos campos activados y, en consecuencia, son independientes del tiempo. Por tanto, la geometría de un espacio-tiempo estacionario no cambia en el tiempo. En el caso especial, se dice que el espacio-tiempo es estático . Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo contrario no es generalmente cierto, ya que la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle V = M / G}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ pi: M \ rightarrow V}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle h = - \ lambda \ pi * g}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ omega _ {i}}$${\ Displaystyle h_ {ij}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ omega _ {i} = 0}$

Usar como punto de partida para ecuaciones de campo de vacío

En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío fuera de las fuentes, el 4-vector de torsión no tiene rizos, ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ omega _ {\ nu} - \ nabla _ {\ nu} \ omega _ {\ mu} = 0, \,}$

y, por lo tanto, es localmente el gradiente de un escalar (llamado escalar de torsión): ${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ omega. \,}$

En lugar de los escalares y es más cómodo de usar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y momento angular, y , como se define ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ Phi _ {M}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {J}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {M} = {\ frac {1} {4}} \ lambda ^ {- 1} (\ lambda ^ {2} + \ omega ^ {2} -1),}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {J} = {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {- 1} \ omega.}$

En la relatividad general, el potencial de masa juega el papel del potencial gravitacional newtoniano. Un potencial de momento angular no trivial surge para fuentes giratorias debido a la energía cinética de rotación que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitacional. La situación es análoga a un campo electromagnético estático donde uno tiene dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético. En la relatividad general, las fuentes rotativas producen un campo gravitomagnético que no tiene análogo newtoniano. ${\ Displaystyle \ Phi _ {M}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {J}}$

Por tanto, una métrica de vacío estacionaria se puede expresar en términos de los potenciales de Hansen ( , ) y la métrica 3 . En términos de estas cantidades, las ecuaciones de campo de vacío de Einstein se pueden poner en la forma ${\ Displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ Displaystyle A = M}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle h_ {ij}}$

${\ Displaystyle (h ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} -2R ^ {(3)}) \ Phi _ {A} = 0, \,}$

${\ Displaystyle R_ {ij} ^ {(3)} = 2 [\ nabla _ {i} \ Phi _ {A} \ nabla _ {j} \ Phi _ {A} - (1 + 4 \ Phi ^ {2 }) ^ {- 1} \ nabla _ {i} \ Phi ^ {2} \ nabla _ {j} \ Phi ^ {2}],}$

donde , y es el tensor de Ricci de la métrica espacial y el escalar de Ricci correspondiente. Estas ecuaciones forman el punto de partida para investigar métricas de vacío estacionarias exactas. ${\ Displaystyle \ Phi ^ {2} = \ Phi _ {A} \ Phi _ {A} = (\ Phi _ {M} ^ {2} + \ Phi _ {J} ^ {2})}$${\ Displaystyle R_ {ij} ^ {(3)}}$${\ Displaystyle R ^ {(3)} = h ^ {ij} R_ {ij} ^ {(3)}}$

Ver también

• Espacio-tiempo estático
• Espacio-tiempo esféricamente simétrico

Referencias