Estimación de la densidad espectral - Spectral density estimation

En el procesamiento estadístico de señales , el objetivo de la estimación de densidad espectral ( SDE ) es estimar la densidad espectral (también conocida como densidad espectral de potencia ) de una señal aleatoria a partir de una secuencia de muestras de tiempo de la señal. Hablando intuitivamente, la densidad espectral caracteriza el contenido de frecuencia de la señal. Uno de los propósitos de estimar la densidad espectral es detectar cualquier periodicidad en los datos, observando picos en las frecuencias correspondientes a estas periodicidades.

Algunas técnicas de SDE asumen que una señal se compone de un número limitado (generalmente pequeño) de frecuencias generadoras más ruido y buscan encontrar la ubicación e intensidad de las frecuencias generadas. Otros no hacen suposiciones sobre el número de componentes y buscan estimar todo el espectro de generación.

Visión general

Ejemplo de forma de onda de voz y su espectro de frecuencia

Una forma de onda periódica (onda triangular ) y su espectro de frecuencia, que muestra una frecuencia "fundamental" a 220 Hz seguida de múltiplos (armónicos) de 220 Hz.

La densidad espectral de potencia de un segmento de música se estima mediante dos métodos diferentes, a modo de comparación.

El análisis de espectro , también denominado análisis en el dominio de la frecuencia o estimación de la densidad espectral, es el proceso técnico de descomponer una señal compleja en partes más simples. Como se describió anteriormente, muchos procesos físicos se describen mejor como una suma de muchos componentes de frecuencia individuales. Cualquier proceso que cuantifique las diversas cantidades (por ejemplo, amplitudes, potencias, intensidades) frente a la frecuencia (o fase ) puede denominarse análisis de espectro .

El análisis de espectro se puede realizar en toda la señal. Alternativamente, una señal se puede dividir en segmentos cortos (a veces llamados cuadros ) y se puede aplicar el análisis de espectro a estos segmentos individuales. Las funciones periódicas (como ) son especialmente adecuadas para esta subdivisión. Las técnicas matemáticas generales para analizar funciones no periódicas entran en la categoría de análisis de Fourier . ${\ Displaystyle \ sin (t)}$

La transformada de Fourier de una función produce un espectro de frecuencia que contiene toda la información sobre la señal original, pero en una forma diferente. Esto significa que la función original se puede reconstruir ( sintetizar ) completamente mediante una transformada de Fourier inversa . Para una reconstrucción perfecta, el analizador de espectro debe preservar tanto la amplitud como la fase de cada componente de frecuencia. Estas dos piezas de información se pueden representar como un vector bidimensional, como un número complejo o como magnitud (amplitud) y fase en coordenadas polares (es decir, como un fasor ). Una técnica común en el procesamiento de señales es considerar la amplitud o potencia al cuadrado ; en este caso, el gráfico resultante se denomina espectro de potencia .

Debido a la reversibilidad, la transformada de Fourier se denomina representación de la función, en términos de frecuencia en lugar de tiempo; por tanto, es una representación en el dominio de la frecuencia . Las operaciones lineales que podrían realizarse en el dominio del tiempo tienen contrapartes que a menudo se pueden realizar más fácilmente en el dominio de la frecuencia. El análisis de frecuencia también simplifica la comprensión e interpretación de los efectos de varias operaciones en el dominio del tiempo, tanto lineales como no lineales. Por ejemplo, solo las operaciones no lineales o variantes en el tiempo pueden crear nuevas frecuencias en el espectro de frecuencias.

En la práctica, casi todo el software y los dispositivos electrónicos que generan espectros de frecuencia utilizan una transformada discreta de Fourier (DFT), que opera en muestras de la señal y que proporciona una aproximación matemática a la solución integral completa. La DFT se implementa casi invariablemente mediante un algoritmo eficiente llamado transformada rápida de Fourier (FFT). Los componentes de magnitud cuadrada de una DFT son un tipo de espectro de potencia llamado periodograma , que se usa ampliamente para examinar las características de frecuencia de funciones libres de ruido, como las respuestas de impulso de filtro y las funciones de ventana. Pero el periodograma no proporciona ganancia de procesamiento cuando se aplica a señales similares a ruido o incluso a sinusoides con relaciones bajas de señal a ruido. En otras palabras, la varianza de su estimación espectral a una frecuencia determinada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. Esto se puede mitigar promediando a lo largo del tiempo ( método de Welch ) o sobre frecuencia ( suavizado ). El método de Welch se usa ampliamente para la estimación de densidad espectral (SDE). Sin embargo, las técnicas basadas en periodograma introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. Por tanto, en la siguiente sección se presentan otras alternativas.

Técnicas

Se han desarrollado muchas otras técnicas de estimación espectral para mitigar las desventajas del periodograma básico. Estas técnicas generalmente se pueden dividir en métodos paramétricos y no paramétricos . Los enfoques no paramétricos estiman explícitamente la covarianza o el espectro del proceso sin asumir que el proceso tiene una estructura particular. Algunos de los estimadores más comunes en uso para aplicaciones básicas (por ejemplo, el método de Welch ) son estimadores no paramétricos estrechamente relacionados con el periodograma. Por el contrario, los enfoques paramétricos asumen que el proceso estocástico estacionario subyacente tiene una cierta estructura que se puede describir utilizando una pequeña cantidad de parámetros (por ejemplo, utilizando un modelo de media móvil o autorregresivo ). En estos enfoques, la tarea es estimar los parámetros del modelo que describe el proceso estocástico.

A continuación se muestra una lista parcial de técnicas de estimación de densidad espectral no paramétricas:

Periodograma , el módulo al cuadrado de la transformada discreta de Fourier
El método de Bartlett es el promedio de los periodogramas tomados de múltiples segmentos de la señal para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral
El método de Welch una versión en ventana del método de Bartlett que usa segmentos superpuestos
Multitaper es un método basado en periodograma que utiliza múltiples ahusamientos, o ventanas, para formar estimaciones independientes de la densidad espectral para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral
Análisis espectral de mínimos cuadrados , basado en mínimos cuadrados ajustados a frecuencias conocidas
La transformada discreta de Fourier no uniforme se usa cuando las muestras de señal están espaciadas de manera desigual en el tiempo
El análisis de espectro singular es un método no paramétrico que utiliza una descomposición de valor singular de la matriz de covarianza para estimar la densidad espectral
Transformada de Fourier de corta duración
El filtro crítico es un método no paramétrico basado en la teoría del campo de información que puede tratar el ruido, los datos incompletos y las funciones de respuesta instrumental.

A continuación se muestra una lista parcial de técnicas paramétricas:

Modelo autorregresivo (AR) de estimación, que asume que la n ésima muestra se correlaciona con los anteriores p muestras.
De media móvil modelo (MA) de estimación, que asume que la n ésima muestra se correlaciona con los términos de ruido en los últimos p muestras.
Estimación de media móvil autorregresiva (ARMA), que generaliza los modelos AR y MA.
La clasificación múltiple de señales (MUSIC) es un método popular de superresolución .
La estimación espectral de entropía máxima es un método de todos los polos útil para SDE cuando se esperan características espectrales singulares, como picos agudos.

Estimación paramétrica

En la estimación espectral paramétrica, se supone que la señal se modela mediante un proceso estacionario que tiene una función de densidad espectral (SDF) que es una función de la frecuencia y los parámetros . El problema de la estimación se convierte entonces en uno de estimar estos parámetros. ${\ Displaystyle S (f; a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {p}}$

La forma más común de estimación SDF paramétrica utiliza como modelo un modelo de orden autorregresivo . Una secuencia de señales que obedece a un proceso de media cero satisface la ecuación ${\ Displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ {Y_ {t} \}}$ ${\ Displaystyle {\ text {AR}} (p)}$

{\ Displaystyle Y_ {t} = \ phi _ {1} Y_ {t-1} + \ phi _ {2} Y_ {t-2} + \ cdots + \ phi _ {p} Y_ {tp} + \ epsilon _ {t},}

donde son coeficientes fijos y es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza de innovación . El SDF para este proceso es ${\ Displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2}}$

{\ Displaystyle S (f; \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}) = {\ frac {\ sigma _ {p} ^ {2} \ Delta t} {\ left | 1- \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ phi _ {k} e ^ {- 2i \ pi fk \ Delta t} \ right | ^ {2}}} \ qquad | f | <f_ {N},}

con el intervalo de tiempo de muestreo y la frecuencia de Nyquist . ${\ Displaystyle \ Delta t}$ ${\ Displaystyle f_ {N}}$

Hay varios enfoques para estimar los parámetros del proceso y, por lo tanto, la densidad espectral: ${\ Displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ text {AR}} (p)}$

Los estimadores de Yule-Walker se encuentran resolviendo recursivamente las ecuaciones de Yule-Walker para un proceso ${\ Displaystyle {\ text {AR}} (p)}$
Los estimadores de Burg se encuentran tratando las ecuaciones de Yule-Walker como una forma de problema de mínimos cuadrados ordinarios. Los estimadores de Burg generalmente se consideran superiores a los estimadores de Yule-Walker. Burg los asoció con la estimación espectral de máxima entropía .
Los estimadores de mínimos cuadrados hacia adelante y hacia atrás tratan el proceso como un problema de regresión y resuelven ese problema utilizando el método hacia adelante y hacia atrás. Son competitivos con los estimadores Burg. ${\ Displaystyle {\ text {AR}} (p)}$
Los estimadores de máxima verosimilitud estiman los parámetros utilizando un enfoque de máxima verosimilitud . Esto implica una optimización no lineal y es más complejo que los tres primeros.

Los métodos paramétricos alternativos incluyen el ajuste a un modelo de promedio móvil (MA) y a un modelo de promedio móvil autorregresivo completo (ARMA).

Estimación de frecuencia

La estimación de frecuencia es el proceso de estimar los componentes de frecuencia complejos de una señal en presencia de ruido dados los supuestos sobre el número de componentes. Esto contrasta con los métodos generales anteriores, que no hacen suposiciones previas sobre los componentes.

Tono único

Si solo se desea estimar la frecuencia más alta, se puede usar un algoritmo de detección de tono . Si la frecuencia dominante cambia con el tiempo, entonces el problema se convierte en la estimación de la frecuencia instantánea como se define en la representación tiempo-frecuencia . Los métodos para la estimación de frecuencia instantánea incluyen aquellos basados en la distribución de Wigner-Ville y funciones de ambigüedad de orden superior .

Si se desea conocer todos los componentes de frecuencia (posiblemente complejos) de una señal recibida (incluida la señal transmitida y el ruido), se utiliza un enfoque de tonos múltiples.

Múltiples tonos

Un modelo típico para una señal consiste en una suma de exponenciales complejos en presencia de ruido blanco , ${\ Displaystyle x (n)}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle w (n)}$

{\ Displaystyle x (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} A_ {i} e ^ {jn \ omega _ {i}} + w (n)}

.

La densidad espectral de potencia de está compuesta por funciones de impulso además de la función de densidad espectral debida al ruido. ${\ Displaystyle x (n)}$ ${\ Displaystyle p}$

Los métodos más comunes para la estimación de frecuencias implican identificar el subespacio de ruido para extraer estos componentes. Estos métodos se basan en la descomposición propia de la matriz de autocorrelación en un subespacio de señal y un subespacio de ruido. Una vez identificados estos subespacios, se utiliza una función de estimación de frecuencia para encontrar las frecuencias componentes del subespacio de ruido. Los métodos más populares de estimación de frecuencia basado subespacio de ruido son el método de Pisarenko , la clasificación múltiple señal de método (música), el método de vector propio, y el método de norma mínima.

El método de Pisarenko: ${\ Displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {PHD}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ {H } \ mathbf {v} _ {\ text {min}} \ right | ^ {2}}}}$
MÚSICA: ${\ Displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MU}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$ ,
Método de vector propio: ${\ Displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {EV}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} {\ frac {1} {\ lambda _ {i}}} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$
Método de norma mínima: ${\ Displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MN}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ {H } \ mathbf {a} \ right | ^ {2}}}; \ \ mathbf {a} = \ lambda \ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {u} _ {1}}$

Ejemplo de cálculo

Supongamos que de a es una serie de tiempo (tiempo discreto) con media cero. Supongamos que es una suma de un número finito de componentes periódicos (todas las frecuencias son positivas): ${\ Displaystyle x_ {n}}$ ${\ Displaystyle n = 0}$ ${\ Displaystyle N-1}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x_ {n} & = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n + \ phi _ {k}) \\ & = \ suma _ {k} A_ {k} \ left (\ sin (\ phi _ {k}) \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ cos (\ phi _ {k}) \ sin ( 2 \ pi \ nu _ {k} n) \ right) \\ & = \ sum _ {k} \ left (\ overbrace {a_ {k}} ^ {A_ {k} \ sin (\ phi _ {k} )} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ overbrace {b_ {k}} ^ {A_ {k} \ cos (\ phi _ {k})} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n) \ derecha) \ end {alineado}}}

La varianza de es, para una función de media cero como la anterior, dada por ${\ Displaystyle x_ {n}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

Si estos datos fueran muestras tomadas de una señal eléctrica, esta sería su potencia promedio (la potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que es análoga a la varianza si la energía es análoga a la amplitud al cuadrado).

Ahora, por simplicidad, suponga que la señal se extiende infinitamente en el tiempo, por lo que pasamos al límite como si la potencia promedio está acotada, que es casi siempre el caso en la realidad, entonces existe el siguiente límite y es la varianza de los datos. ${\ Displaystyle N \ a \ infty.}$

{\ Displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

De nuevo, por simplicidad, pasaremos al tiempo continuo y asumiremos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo en ambas direcciones. Entonces estas dos fórmulas se vuelven

{\ Displaystyle x (t) = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}

y

{\ Displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) ^ {2} dt.}

La raíz cuadrada media de es , entonces la varianza de es Por lo tanto, la contribución a la potencia promedio de venir del componente con frecuencia es Todas estas contribuciones se suman a la potencia promedio de ${\ Displaystyle \ sin}$ ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ Displaystyle x (t)}$ ${\ Displaystyle \ nu _ {k}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ Displaystyle x (t).}$

Entonces la potencia en función de la frecuencia es y su función de distribución acumulativa estadística será ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2},}$ ${\ Displaystyle S (\ nu)}$

{\ Displaystyle S (\ nu) = \ sum _ {k: \ nu _ {k} <\ nu} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}

${\ Displaystyle S}$ es una función escalonada , monótonamente no decreciente. Sus saltos ocurren en las frecuencias de los componentes periódicos de , y el valor de cada salto es la potencia o la varianza de ese componente. ${\ Displaystyle x}$

La varianza es la covarianza de los datos consigo misma. Si ahora consideramos los mismos datos pero con un retraso de , podemos tomar la covarianza de con y definir esta como la función de autocorrelación de la señal (o datos) : ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle x (t)}$ ${\ Displaystyle x (t + \ tau)}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle x}$

{\ Displaystyle c (\ tau) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) x (t + \ tau) dt.}

Si existe, es una función par de Si la potencia promedio está limitada, entonces existe en todas partes, es finita y está limitada por cuál es la potencia promedio o la varianza de los datos. ${\ Displaystyle \ tau.}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle c (0),}$

Se puede demostrar que se puede descomponer en componentes periódicos con los mismos períodos que : ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle x}$

{\ Displaystyle c (\ tau) = \ sum _ {k} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} \ tau).}

Esta es, de hecho, la descomposición espectral de las diferentes frecuencias y está relacionada con la distribución de la potencia de las frecuencias: la amplitud de un componente de frecuencia es su contribución a la potencia media de la señal. ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle c}$

El espectro de potencia de este ejemplo no es continuo y, por lo tanto, no tiene una derivada y, por lo tanto, esta señal no tiene una función de densidad espectral de potencia. En general, el espectro de potencia suele ser la suma de dos partes: un espectro de línea como en este ejemplo, que no es continuo y no tiene una función de densidad, y un residuo, que es absolutamente continuo y tiene una función de densidad. .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Porat, B. (1994). Procesamiento digital de señales aleatorias: teoría y métodos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2 .
Priestley, MB (1991). Análisis espectral y series temporales . Prensa académica. ISBN 978-0-12-564922-3 .

Stoica, P .; Moisés, R. (2005). Análisis espectral de señales . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5 .

Thomson, DJ (1982). "Estimación de espectro y análisis armónico". Actas del IEEE . 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109 / PROC.1982.12433 .

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