Solidez - Soundness
En lógica , más precisamente en razonamiento deductivo , un argumento es sólido si es válido en forma y sus premisas son verdaderas. La solidez también tiene un significado relacionado en la lógica matemática , en el que los sistemas lógicos son sólidos si y solo si cada fórmula que puede probarse en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema.
Definición
En el razonamiento deductivo , un argumento sólido es un argumento que es válido y todas sus premisas son verdaderas (y, como consecuencia, su conclusión también es verdadera). Un argumento es válido si, asumiendo que sus premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Un ejemplo de un argumento sólido es el siguiente silogismo bien conocido :
- Todos los hombres son mortales.
- Sócrates es un hombre.
- Por tanto, Sócrates es mortal.
Debido a la necesidad lógica de la conclusión, este argumento es válido; y debido a que el argumento es válido y sus premisas son verdaderas, el argumento es sólido.
Sin embargo, un argumento puede ser válido sin ser sólido. Por ejemplo:
- Todas las aves pueden volar.
- Los pingüinos son pájaros.
- Por tanto, los pingüinos pueden volar.
Este argumento es válido porque, asumiendo que las premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Sin embargo, la primera premisa es falsa. No todas las aves pueden volar (pingüinos, avestruces, kiwis, etc.) Para que un argumento sea sólido, el argumento debe ser válido y sus premisas deben ser verdaderas.
Uso en lógica matemática
Sistemas lógicos
En lógica matemática , un sistema lógico tiene la propiedad de solidez si y solo si cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema. En la mayoría de los casos, esto se reduce a que sus reglas tienen la propiedad de preservar la verdad . Lo contrario de la solidez se conoce como integridad .
Un sistema lógico con implicación sintáctica y implicación semántica es sólido si para cualquier secuencia de oraciones en su lenguaje, si , entonces . En otras palabras, un sistema es sólido cuando todos sus teoremas son tautologías .
La solidez es una de las propiedades más fundamentales de la lógica matemática. La propiedad de solidez proporciona la razón inicial para considerar un sistema lógico como deseable. La propiedad de integridad significa que toda validez (verdad) es demostrable. Juntos implican que todas y solo las validez son demostrables.
La mayoría de las pruebas de solidez son triviales. Por ejemplo, en un sistema axiomático , la prueba de solidez equivale a verificar la validez de los axiomas y que las reglas de inferencia preservan la validez (o la propiedad más débil, la verdad). Si el sistema permite la deducción al estilo de Hilbert , solo requiere verificar la validez de los axiomas y una regla de inferencia, a saber, modus ponens . (y a veces sustitución)
Las propiedades de solidez se presentan en dos variedades principales: solidez débil y fuerte, de las cuales la primera es una forma restringida de la segunda.
Solvencia
La solidez de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea demostrable en ese sistema deductivo también es verdadera en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica para el lenguaje en el que se basa esa teoría. En símbolos, donde S es el sistema deductivo, L la lengua junto con su teoría semántica, y P una sentencia de L : si ⊢ S P , entonces también ⊨ L P .
Solidez fuerte
La solidez fuerte de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración P del lenguaje en el que se basa el sistema deductivo que sea derivable de un conjunto Γ de oraciones de ese lenguaje es también una consecuencia lógica de ese conjunto, en el sentido de que cualquier modelo que hace que todos los miembros de Γ sean verdaderos también hará que P sea verdadero. En símbolos donde Γ es un conjunto de oraciones de L : si Γ ⊢ S P , entonces también Γ ⊨ L P . Observe que en la declaración de solidez fuerte, cuando Γ está vacío, tenemos la declaración de solidez débil.
Solidez aritmética
Si T es una teoría cuyos objetos de discurso pueden interpretarse como números naturales , decimos que T es aritméticamente sólido si todos los teoremas de T son realmente verdaderos sobre los números enteros matemáticos estándar. Para obtener más información, consulte la teoría ω-consistente .
Relación con la integridad
Lo contrario de la propiedad de solidez es la propiedad de completitud semántica . Un sistema deductivo con una teoría semántica es muy completo si cada oración P que es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones Γ puede derivarse en el sistema de deducción de ese conjunto. En símbolos: siempre gamma ⊨ P , entonces también gamma ⊢ P . La completitud de la lógica de primer orden fue establecida explícitamente por primera vez por Gödel , aunque algunos de los resultados principales estaban contenidos en trabajos anteriores de Skolem .
De manera informal, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las oraciones demostrables son verdaderas. La completitud establece que todas las oraciones verdaderas son demostrables.
El primer teorema de incompletitud de Gödel muestra que para lenguajes suficientes para hacer una cierta cantidad de aritmética, no puede haber un sistema deductivo consistente y efectivo que esté completo con respecto a la interpretación pretendida del simbolismo de ese lenguaje. Por tanto, no todos los sistemas deductivos sólidos están completos en este sentido especial de completitud, en el que la clase de modelos (hasta el isomorfismo ) se restringe al pretendido. La prueba de integridad original se aplica a todos los modelos clásicos, no a una subclase especial adecuada de los previstos.
Ver también
Referencias
Bibliografía
- Hinman, P. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
- Copi, Irving (1979), Symbolic Logic (5.a ed.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7
- Boolos, Burgess, Jeffrey. Computabilidad y lógica , 4a edición, Cambridge, 2002.