Espacio Sobolev - Sobolev space

En matemáticas , un espacio de Sobolev es un espacio vectorial de funciones equipado con una norma que es una combinación de L ^p -normas de la función junto con sus derivadas hasta un orden dado. Los derivados se entienden en un adecuado sentido débil para que el espacio completo , es decir, un espacio de Banach . Intuitivamente, un espacio de Sobolev es un espacio de funciones que posee suficientes derivadas para algún dominio de aplicación, como ecuaciones diferenciales parciales , y está equipado con una norma que mide tanto el tamaño como la regularidad de una función.

Los espacios de Sobolev llevan el nombre del matemático ruso Sergei Sobolev . Su importancia proviene del hecho de que existen soluciones débiles de algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes en espacios de Sobolev apropiados, incluso cuando no hay soluciones fuertes en espacios de funciones continuas con las derivadas entendidas en el sentido clásico.

Motivación

En esta sección y en todo el artículo hay un subconjunto abierto de${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Hay muchos criterios para la suavidad de las funciones matemáticas . El criterio más básico puede ser el de continuidad . Una noción más fuerte de suavidad es la de diferenciación (porque las funciones que son diferenciables también son continuas) y una noción aún más fuerte de suavidad es que la derivada también es continua (se dice que estas funciones son de clase ; consulte Clases de diferenciabilidad ). Las funciones diferenciables son importantes en muchas áreas y, en particular, para las ecuaciones diferenciales . En el siglo XX, sin embargo, se observó que el espacio (o , etc.) no era exactamente el espacio adecuado para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales. Los espacios de Sobolev son el reemplazo moderno de estos espacios en los que buscar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. ${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$

Las cantidades o propiedades del modelo subyacente de la ecuación diferencial generalmente se expresan en términos de normas integrales, en lugar de la norma uniforme . Un ejemplo típico es medir la energía de una distribución de temperatura o velocidad mediante una norma. Por tanto, es importante desarrollar una herramienta para diferenciar las funciones espaciales de Lebesgue . ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

La fórmula de integración por partes produce que para cada , donde es un número natural , y para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto${\ Displaystyle u \ en C ^ {k} (\ Omega)}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ en C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, D ^ {\ alpha \!} \ varphi \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi \, D ^ {\ alpha \!} u \, dx,}$

donde es un índice múltiple de orden y estamos usando la notación: ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ alpha | = k}$

${\ Displaystyle D ^ {\ alpha \!} f = {\ frac {\ parcial ^ {| \ alpha |} \! f} {\ parcial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ puntos \ parcial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación todavía tiene sentido si solo asumimos que es localmente integrable . Si existe una función integrable localmente , tal que ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, D ^ {\ alpha \!} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} v \, \ varphi \; dx \ qquad {\ text {para todos}} \ varphi \ en C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega),}$

entonces llamamos a la derivada parcial -ésima débil de . Si existe una derivada parcial -ésima débil de , entonces se define de forma única en casi todas partes y, por lo tanto, se determina de forma única como un elemento de un espacio de Lebesgue . Por otro lado, si , entonces la derivada clásica y la débil coinciden. Por lo tanto, si es una derivada parcial -ésima débil de , podemos denotarla por . ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u \ en C ^ {k} (\ Omega)}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$

Por ejemplo, la función

${\ Displaystyle u (x) = {\ begin {cases} 1 + x & -1 <x <0 \\ 10 & x = 0 \\ 1-x & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end { casos}}}$

no es continua en cero y no es diferenciable en -1, 0 o 1. Sin embargo, la función

${\ displaystyle v (x) = {\ begin {cases} 1 & -1 <x <0 \\ - 1 & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

satisface la definición de ser la derivada débil de la cual luego califica como estar en el espacio de Sobolev (para cualquier permitido , vea la definición a continuación). ${\ Displaystyle u (x),}$${\ Displaystyle W ^ {1, p}}$${\ Displaystyle p}$

Los espacios de Sobolev combinan los conceptos de diferenciabilidad débil y las normas de Lebesgue . ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega)}$

Espacios de Sobolev con entero k

Caso unidimensional

En el caso unidimensional, el espacio de Sobolev para se define como el subconjunto de funciones en el que y sus derivadas débiles hasta el orden tienen una norma L ^p finita . Como se mencionó anteriormente, se debe tener cierto cuidado para definir derivados en el sentido correcto. En el problema unidimensional, es suficiente asumir que la derivada -ésima es diferenciable en casi todas partes y es igual en casi todas partes a la integral de Lebesgue de su derivada (esto excluye ejemplos irrelevantes como la función de Cantor ). ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle (k {-} 1)}$${\ Displaystyle f ^ {(k-1)}}$

Con esta definición, los espacios de Sobolev admiten una norma natural ,

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, p} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {k} \ left \ | f ^ {(i)} \ right \ | _ {p} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {k} \ int \ left | f ^ {(i)} (t) \ right | ^ {p} \, dt \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Uno puede extender esto al caso , con la norma entonces definida usando el supremo esencial por ${\ Displaystyle p = \ infty}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ infty} = \ max _ {i = 0, \ ldots, k} \ left \ | f ^ {(i)} \ right \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 0, \ ldots, k} \ left ({\ text {ess}} \, \ sup _ {t} \ left | f ^ {(i)} (t) \ right | \ right) .}$

Equipado con la norma se convierte en un espacio Banach . Resulta que basta con tomar solo el primero y el último de la secuencia, es decir, la norma definida por ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k, p}, W ^ {k, p}}$

${\ Displaystyle \ left \ | f ^ {(k)} \ right \ | _ {p} + \ | f \ | _ {p}}$

es equivalente a la norma anterior (es decir, las topologías inducidas de las normas son las mismas).

El caso p = 2

Los espacios de Sobolev con p = 2 son especialmente importantes debido a su conexión con las series de Fourier y porque forman un espacio de Hilbert . Ha surgido una notación especial para cubrir este caso, ya que el espacio es un espacio de Hilbert:

${\ Displaystyle H ^ {k} = W ^ {k, 2}.}$

El espacio se puede definir naturalmente en términos de series de Fourier cuyos coeficientes decaen con suficiente rapidez, a saber, ${\ Displaystyle H ^ {k}}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {T}) = \ left \ {f \ in L ^ {2} (\ mathbb {T}): \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } \ left (1 + n ^ {2} + n ^ {4} + \ dots + n ^ {2k} \ right) \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | ^ {2} < \ infty \ right \}}$

donde es la serie de Fourier de y denota el 1-toro. Como arriba, se puede usar la norma equivalente ${\ Displaystyle {\ widehat {f}}}$${\ Displaystyle f,}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, 2} ^ {2} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (1+ | n | ^ {2} \ right) ^ {k} \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | ^ {2}.}$

Ambas representaciones se siguen fácilmente del teorema de Parseval y del hecho de que la diferenciación es equivalente a multiplicar el coeficiente de Fourier por in .

Además, el espacio admite un producto interior , como el espacio.De hecho, el producto interior se define en términos del producto interior: ${\ Displaystyle H ^ {k}}$${\ Displaystyle H ^ {0} = L ^ {2}.}$${\ Displaystyle H ^ {k}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {H ^ {k}} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ left \ langle D ^ {i} u, D ^ {i} v \ right \ rangle _ {L ^ {2}}.}$

El espacio se convierte en un espacio de Hilbert con este producto interior. ${\ Displaystyle H ^ {k}}$

Otros ejemplos

En una dimensión, algunos otros espacios de Sobolev permiten una descripción más simple. Por ejemplo, es el espacio de funciones absolutamente continuas en (0, 1) (o más bien, clases de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes a tales), mientras que es el espacio de las funciones de Lipschitz en I , para cada intervalo I . Sin embargo, estas propiedades se pierden o no son tan simples para funciones de más de una variable. ${\ Displaystyle W ^ {1,1} (0,1)}$${\ Displaystyle W ^ {1, \ infty} (I)}$

Todos los espacios son álgebras (normativas) , es decir, el producto de dos elementos es una vez más una función de este espacio de Sobolev, lo cual no es el caso de (Por ejemplo, las funciones que se comportan como | x | ^−1/3 en el origen están en pero el producto de dos de tales funciones no está en ). ${\ Displaystyle W ^ {k, \ infty}}$${\ Displaystyle p <\ infty.}$${\ Displaystyle L ^ {2},}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Caso multidimensional

La transición a múltiples dimensiones trae más dificultades, partiendo de la propia definición. El requisito de que sea ​​la integral de no se generaliza, y la solución más simple es considerar derivadas en el sentido de la teoría de la distribución . ${\ Displaystyle f ^ {(k-1)}}$${\ Displaystyle f ^ {(k)}}$

A continuación sigue una definición formal. Dejemos que el espacio de Sobolev se define como el conjunto de todas las funciones de tal que para cada índice múltiple con la derivada parcial mixta${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}, 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ alpha | \ leqslant k,}$

${\ Displaystyle f ^ {(\ alpha)} = {\ frac {\ parcial ^ {| \ alpha | \!} f} {\ parcial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ puntos \ parcial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}}$

existe en el sentido débil y está en ie ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle \ left \ | f ^ {(\ alpha)} \ right \ | _ {L ^ {p}} <\ infty.}$

Es decir, el espacio de Sobolev se define como ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ in L ^ {p} (\ Omega): D ^ {\ alpha} u \ in L ^ {p} (\ Omega) \, \, \ forall | \ alpha | \ leqslant k \ right \}.}$

El número natural se llama orden del espacio de Sobolev.${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega).}$

Hay varias opciones para una norma para Las dos siguientes son comunes y equivalentes en el sentido de equivalencia de normas : ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {cases} \ left (\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\ \ max _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty; \ end {cases} }}$

y

${\ Displaystyle \ | u \ | '_ {W ^ {k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {cases} \ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ { \ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty. \ end {cases}}}$

Con respecto a cualquiera de estas normas, es un espacio de Banach. Porque también es un espacio separable . Es convencional denotar por porque es un espacio de Hilbert con la norma . ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle p <\ infty, W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W ^ {k, 2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {k} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {W ^ {k, 2} (\ Omega)}}$

Aproximación por funciones suaves

Es bastante difícil trabajar con espacios de Sobolev basándose solo en su definición. Por tanto, es interesante saber que mediante el teorema de Meyers-Serrin una función puede aproximarse mediante funciones suaves . Este hecho a menudo nos permite traducir propiedades de funciones suaves a funciones de Sobolev. Si es finito y está abierto, entonces existe para cualquier una secuencia aproximada de funciones tal que: ${\ Displaystyle u \ in W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle u \ in W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u_ {m} \ en C ^ {\ infty} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ left \ | u_ {m} -u \ right \ | _ {W ^ {k, p} (\ Omega)} \ to 0.}$

Si tiene un límite de Lipschitz , incluso podemos suponer que son la restricción de funciones suaves con soporte compacto en todos los${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle u_ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Ejemplos de

En dimensiones superiores, ya no es cierto que, por ejemplo, solo contenga funciones continuas. Por ejemplo, ¿ dónde está la unidad de bola en tres dimensiones? Para k > n / p, el espacio contendrá solo funciones continuas, pero para las que k esto ya sea cierto depende tanto de p como de la dimensión. Por ejemplo, como se puede verificar fácilmente usando coordenadas polares esféricas para la función definida en la bola n- dimensional, tenemos: ${\ Displaystyle W ^ {1,1}}$${\ Displaystyle | x | ^ {- 1} \ in W ^ {1,1} (\ mathbb {B} ^ {3})}$${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {B} ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$

${\ Displaystyle f (x) = | x | ^ {- \ alpha} \ in W ^ {k, p} (\ mathbb {B} ^ {n}) \ Longleftrightarrow \ alpha <{\ tfrac {n} {p }} - k.}$

Intuitivamente, la explosión de f en 0 "cuenta menos" cuando n es grande, ya que la bola unitaria tiene "más afuera y menos adentro" en dimensiones más altas.

Caracterización absolutamente continua en líneas (ACL) de las funciones de Sobolev

Sea Si una función está en entonces, posiblemente después de modificar la función en un conjunto de medida cero, la restricción a casi todas las líneas paralelas a las direcciones de coordenadas en es absolutamente continua ; lo que es más, el derivado clásica a lo largo de las líneas que son paralelas a las direcciones de coordenadas está en el contrario, si la restricción de que casi todas las líneas paralelas a las direcciones de coordenadas es absolutamente continua, entonces el gradiente de punto a punto existe en casi todas partes , y es en proporcionado En en particular, en este caso, las derivadas parciales débiles y las derivadas parciales puntuales coinciden en casi todas partes. La caracterización del LCA de los espacios de Sobolev fue establecida por Otto M. Nikodym ( 1933 ); ver ( Maz'ya 2011 , §1.1.3). ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega),}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega).}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nabla f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f, | \ nabla f | \ in L ^ {p} (\ Omega).}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Un resultado más fuerte se cumple cuando una función en es, después de modificar en un conjunto de medida cero, Hölder continua de exponente por la desigualdad de Morrey . En particular, si y tiene límite de Lipschitz, entonces la función es Lipschitz continua . ${\ Displaystyle p> n.}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ gamma = 1 - {\ tfrac {n} {p}},}$${\ Displaystyle p = \ infty}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Funciones que desaparecen en el límite

El espacio de Sobolev también se denota por Es un espacio de Hilbert, con un subespacio importante definido como el cierre de las funciones infinitamente diferenciables soportadas de manera compacta en La norma de Sobolev definida anteriormente se reduce aquí a ${\ Displaystyle W ^ {1,2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {1} \! (\ Omega).}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {1} \! (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {1}} = \ left (\ int _ {\ Omega} \! | f | ^ {2} \! + \! | \ nabla \! f | ^ { 2} \ right) ^ {\! {\ Frac {1} {2}}}.}$

Cuando tiene un límite regular, se puede describir como el espacio de funciones que se desvanecen en el límite, en el sentido de trazas ( ver más abajo ). Cuando si es un intervalo acotado, entonces consta de funciones continuas de la forma ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle n = 1,}$${\ Displaystyle \ Omega = (a, b)}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (a, b)}$${\ Displaystyle [a, b]}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, \ mathrm {d} t, \ qquad x \ in [a, b]}$

donde la derivada generalizada está en y tiene 0 integral, de modo que${\ Displaystyle f '}$${\ Displaystyle L ^ {2} (a, b)}$${\ Displaystyle f (b) = f (a) = 0.}$

Cuando está acotada, la desigualdad de Poincaré establece que hay una constante tal que: ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle C = C (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} | f | ^ {2} \ leqslant C ^ {2} \ int _ {\ Omega} | \ nabla f | ^ {2}, \ qquad f \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega).}$

Cuando está acotado, la inyección de a es compacta . Este hecho juega un papel en el estudio del problema de Dirichlet , y en el hecho de que existe una base ortonormal de constar de vectores propios del operador de Laplace (con la condición de frontera de Dirichlet ). ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle L ^ {2} \! (\ Omega),}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$

Huellas

Los espacios de Sobolev a menudo se consideran cuando se investigan ecuaciones diferenciales parciales. Es esencial considerar los valores límite de las funciones de Sobolev. Si , esos valores límite están descritos por la restricción . Sin embargo, no está claro cómo describir los valores en el límite para , ya que la medida n- dimensional del límite es cero. El siguiente teorema resuelve el problema: ${\ Displaystyle u \ en C (\ Omega)}$${\ Displaystyle u | _ {\ parcial \ Omega}}$${\ Displaystyle u \ in W ^ {k, p} (\ Omega)}$

Teorema de seguimiento. Suponga que Ω está acotado con el límite de Lipschitz . Entonces existe un operador lineal acotado tal que ${\ Displaystyle T: W ^ {1, p} (\ Omega) \ to L ^ {p} (\ partial \ Omega)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} Tu & = u | _ {\ parcial \ Omega} && u \ en W ^ {1, p} (\ Omega) \ cap C ({\ overline {\ Omega}}) \\\ | Tu \ | _ {L ^ {p} (\ parcial \ Omega)} & \ leqslant c (p, \ Omega) \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega)} && u \ en W ^ {1, p} (\ Omega). \ End {alineado}}}$

Tu se llama el rastro de u . En términos generales, este teorema extiende el operador de restricción al espacio de Sobolev para Ω de buen comportamiento. Tenga en cuenta que el operador de traza T en general no es sobreyectivo, pero para 1 < p <∞ se mapea continuamente en el espacio Sobolev-Slobodeckij${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle W ^ {1 - {\ frac {1} {p}}, p} (\ parcial \ Omega).}$

Intuitivamente, tomar la traza cuesta 1 / p de una derivada. Las funciones u en W ^{1, p} (Ω) con traza cero, es decir, Tu  = 0, se pueden caracterizar por la igualdad

${\ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ in W ^ {1, p} (\ Omega): Tu = 0 \ right \},}$

dónde

${\ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega): = \ left \ {u \ in W ^ {1, p} (\ Omega): \ existe \ {u_ {m} \} _ { m = 1} ^ {\ infty} \ subset C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega), \ {\ text {tal que}} \ u_ {m} \ to u \ {\ textrm {in}} \ W ^ {1, p} (\ Omega) \ right \}.}$

En otras palabras, para Ω delimitado con el límite de Lipschitz, las funciones de traza cero en se pueden aproximar mediante funciones suaves con soporte compacto. ${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$

Espacios de Sobolev con k no enteros

Espacios potenciales de Bessel

Para un número natural k y 1 < p <∞ se puede demostrar (usando multiplicadores de Fourier ) que el espacio se puede definir de manera equivalente como ${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) = H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}): = \ left \ {f \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}): {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [(1+ | \ xi | ^ {2}) ^ {\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right \},}$

con la norma

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}: = \ left \ | {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [ \ left (1+ | \ xi | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ right \ | _ {L ^ {p} ( \ mathbb {R} ^ {n})}.}$

Esto motiva los espacios de Sobolev con un orden no entero, ya que en la definición anterior podemos reemplazar k por cualquier número real s . Los espacios resultantes

${\ Displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}): = \ left \ {f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}): {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [\ left (1+ | \ xi | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {s} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right \}}$

se denominan espacios potenciales de Bessel (en honor a Friedrich Bessel ). Son espacios de Banach en general y espacios de Hilbert en el caso especial p = 2.

Para es el conjunto de restricciones de funciones de a Ω equipado con la norma ${\ Displaystyle s \ geq 0, H ^ {s, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ inf \ left \ {\ | g \ | _ {H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}: g \ en H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), g | _ {\ Omega} = f \ right \}}$.

Nuevamente, H ^{s, p} (Ω) es un espacio de Banach y en el caso p = 2 un espacio de Hilbert.

Usando teoremas de extensión para espacios de Sobolev, se puede demostrar que también W ^{k, p} (Ω) = H ^{k, p} (Ω) se cumple en el sentido de normas equivalentes, si Ω es un dominio con un límite C ^k uniforme, k a natural número y 1 <p <∞ . Por las incrustaciones

${\ Displaystyle H ^ {k + 1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {s ', p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {s , p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k + 1 }$

los espacios potenciales de Bessel forman una escala continua entre los espacios de Sobolev Desde un punto de vista abstracto, los espacios potenciales de Bessel ocurren como espacios de interpolación complejos de espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes, sostiene que ${\ Displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ Displaystyle \ left [W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), W ^ {k + 1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right] _ { \ theta} = H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$

dónde:

${\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty, \ 0 <\ theta <1, \ s = (1- \ theta) k + \ theta (k + 1) = k + \ theta.}$

Espacios Sobolev – Slobodeckij

Otro enfoque para definir espacios de Sobolev de orden fraccionario surge de la idea de generalizar la condición de Hölder a la configuración L ^p . Para y la seminorm de Slobodeckij (aproximadamente análoga a la seminorm de Hölder) se define por ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty, \ theta \ in (0,1)}$${\ Displaystyle f \ in L ^ {p} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle [f] _ {\ theta, p, \ Omega}: = \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {\ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) | ^ {p}} {| xy | ^ {\ theta p + n}}} \; dx \; dy \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Sea s > 0 no un número entero y establézcalo . Utilizando la misma idea que para los espacios de Hölder , el espacio de Sobolev – Slobodeckij se define como ${\ Displaystyle \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor \ in (0,1)}$ ${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega): = \ left \ {f \ in W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega): \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega} <\ infty \ right \}.}$

Es un espacio de Banach para la norma

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ | f \ | _ {W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega)} + \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega}.}$

Si es adecuadamente regular en el sentido de que existen ciertos operadores de extensión, entonces también los espacios de Sobolev-Slobodeckij forman una escala de espacios de Banach, es decir, uno tiene las inyecciones o incrustaciones continuas${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s ', p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {k, p} (\ Omega), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k + 1.}$

Hay ejemplos de Ω irregulares tales que ni siquiera es un subespacio vectorial de para 0 < s <1 (vea el ejemplo 9.1 de) ${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

Desde un punto de vista abstracto, los espacios coinciden con los espacios de interpolación reales de los espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes, se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega) = \ left (W ^ {k, p} (\ Omega), W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ right) _ {\ theta , p}, \ quad k \ in \ mathbb {N}, s \ in (k, k + 1), \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor}$.

Los espacios de Sobolev-Slobodeckij juegan un papel importante en el estudio de los rastros de las funciones de Sobolev. Son casos especiales de espacios Besov .

Operadores de extensión

Si es un dominio cuyo límite no se comporta demasiado mal (por ejemplo, si su límite es una variedad, o satisface la " condición de cono " más permisiva ) entonces hay un operador A que asigna funciones de funciones de tal que: ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) para casi todo x en y${\ Displaystyle \ Omega}$
2. ${\ Displaystyle A: W ^ {k, p} (\ Omega) \ to W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$es continua para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞ y un entero k .

Llamaremos a dicho operador A operador de extensión para${\ Displaystyle \ Omega.}$

Caso de p = 2

Los operadores de extensión son la forma más natural de definir s no enteros (no podemos trabajar directamente ya que tomar la transformada de Fourier es una operación global). Definimos diciendo que si y solo si Equivalentemente, la interpolación compleja produce los mismos espacios siempre que tenga un operador de extensión. Si no tiene un operador de extensión, la interpolación compleja es la única forma de obtener los espacios. ${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle u \ in H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle Au \ en H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$

Como resultado, la desigualdad de interpolación aún se mantiene.

Extensión por cero

Como anteriormente , definimos como el cierre del espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. Dada la definición de traza, arriba, podemos afirmar lo siguiente ${\ Displaystyle H_ {0} ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$

Teorema. Vamos a ser uniformemente C ^m regular, m ≥ s y dejar que P sea la aplicación lineal de enviar u de a ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ left. \ left (u, {\ frac {du} {dn}}, \ dots, {\ frac {d ^ {k} u} {dn ^ {k}}} \ right) \ right | _{GRAMO}}$

donde d / dn es la derivada normal a G , y k es el mayor entero menor que s . Entonces es precisamente el núcleo de P .${\ Displaystyle H_ {0} ^ {s}}$

Si podemos definir su extensión por cero de forma natural, es decir ${\ Displaystyle u \ in H_ {0} ^ {s} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {u}} \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle {\ tilde {u}} (x) = {\ begin {cases} u (x) & x \ in \ Omega \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Teorema. Sea El mapa es continuo en si y solo si s no tiene la forma de n un número entero.${\ Displaystyle s> {\ tfrac {1} {2}}.}$${\ Displaystyle u \ mapsto {\ tilde {u}}}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$

Para f  ∈  L ^p (Ω) su extensión por cero,

${\ displaystyle Ef: = {\ begin {cases} f & {\ textrm {on}} \ \ Omega, \\ 0 & {\ textrm {de otro modo}} \ end {cases}}}$

es un elemento de Además, ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ Displaystyle \ | Ef \ | _ {L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} = \ | f \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}.}$

En el caso del espacio de Sobolev W ^{1, p} (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞, extender una función u por cero no necesariamente producirá un elemento de Pero si Ω está acotado con el límite de Lipschitz (por ejemplo, ∂Ω es C ¹ ) , entonces para cualquier conjunto abierto acotado O tal que Ω⊂⊂O (es decir, Ω está contenido de forma compacta en O), existe un operador lineal acotado ${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ Displaystyle E: W ^ {1, p} (\ Omega) \ to W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$

tal que para cada ae en Ω, Eu tiene soporte compacto dentro de O, y existe una constante C que depende solo de p , Ω, O y la dimensión n , tal que ${\ Displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ Omega): Eu = u}$

${\ Displaystyle \ | Eu \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leqslant C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega) }.}$

Llamamos Eu una extensión de u a${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Incrustaciones de Sobolev

Es una pregunta natural preguntarse si una función de Sobolev es continua o incluso continuamente diferenciable. En términos generales, bastantes derivadas débiles (es decir, k grande ) dan como resultado una derivada clásica. Esta idea se generaliza y precisa en el teorema de incrustación de Sobolev .

Escriba para el espacio de Sobolev de alguna variedad compacta de Riemann de dimensión n . Aquí k puede ser cualquier número real y 1 ≤  p  ≤ ∞. (Para p  = ∞ el espacio de Sobolev se define como el espacio de Hölder C ^{n , α} donde k  =  n  + α y 0 <α ≤ 1.) El teorema de inclusión de Sobolev establece que si y entonces ${\ Displaystyle W ^ {k, p}}$${\ Displaystyle W ^ {k, \ infty}}$ ${\ Displaystyle k \ geqslant m}$${\ Displaystyle k - {\ tfrac {n} {p}} \ geqslant m - {\ tfrac {n} {q}}}$

${\ Displaystyle W ^ {k, p} \ subseteq W ^ {m, q}}$

y la incrustación es continua. Además, si y entonces la incrustación es completamente continua (esto a veces se denomina teorema de Kondrachov o teorema de Rellich-Kondrachov ). Las funciones en tienen todas las derivadas de orden menor que m continua, por lo que, en particular, esto da condiciones en los espacios de Sobolev para que varias derivadas sean continuas. De manera informal, estas incorporaciones dicen que convertir una estimación de L ^p en una estimación de acotación cuesta 1 / p de derivadas por dimensión. ${\ Displaystyle k> m}$${\ Displaystyle k - {\ tfrac {n} {p}}> m - {\ tfrac {n} {q}}}$${\ Displaystyle W ^ {m, \ infty}}$

Existen variaciones similares del teorema de incrustación para variedades no compactas como ( Stein 1970 ). Las incrustaciones de Sobolev que no son compactas a menudo tienen una propiedad relacionada, pero más débil, de cocompactancia . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Notas

Referencias

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enlaces externos

• Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, Enrico Valdinoci (2011). "Guía del autoestopista a los espacios fraccionarios de Sobolev".