La ley de Snell - Snell's law

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios de diferentes índices de refracción , con n 2 > n 1 . Dado que la velocidad es menor en el segundo medio (v 2 <v 1 ), el ángulo de refracción θ 2 es menor que el ángulo de incidencia θ 1 ; es decir, el rayo en el medio de índice más alto está más cerca de lo normal.

La ley de Snell (también conocida como ley de Snell-Descartes y ley de refracción ) es una fórmula que se utiliza para describir la relación entre los ángulos de incidencia y refracción , cuando se hace referencia a la luz u otras ondas que atraviesan un límite entre dos medios isotrópicos diferentes , como como agua, vidrio o aire. La ley lleva el nombre de Willebrord Snellius , un astrónomo y matemático holandés, conocido en el mundo inglés como Snell.

En óptica, la ley se utiliza en el trazado de rayos para calcular los ángulos de incidencia o refracción, y en óptica experimental para encontrar el índice de refracción de un material. La ley también se cumple en los metamateriales , que permiten que la luz se doble "hacia atrás" en un ángulo de refracción negativo con un índice de refracción negativo .

La ley de Snell establece que la razón de los senos de los ángulos de incidencia y refracción es equivalente a la razón de las velocidades de fase en los dos medios, o equivalente al recíproco de la razón de los índices de refracción :

con cada uno como el ángulo medido desde la normal del límite, como la velocidad de la luz en el medio respectivo (las unidades SI son metros por segundo, om / s), y como el índice de refracción (que es sin unidades) del medio respectivo.

La ley sigue de Fermat 's principio del mínimo de tiempo , que a su vez se deriva de la propagación de la luz en forma de ondas.

Historia

Reproducción de una página del manuscrito de Ibn Sahl que muestra su descubrimiento de la ley de refracción.

Ptolomeo , en Alejandría , Egipto, había encontrado una relación con respecto a los ángulos de refracción, pero era inexacta para ángulos que no eran pequeños. Ptolomeo confiaba en haber encontrado una ley empírica precisa, en parte como resultado de alterar ligeramente sus datos para ajustarlos a la teoría (ver: sesgo de confirmación ). Alhazen , en su Libro de Óptica (1021), estuvo más cerca de descubrir la ley de la refracción, aunque no dio este paso.

Una visión de 1837 de la historia de "la Ley de los senos"

La ley que finalmente recibió el nombre de Snell fue descrita con precisión por primera vez por el científico persa Ibn Sahl en la corte de Bagdad en 984. En el manuscrito On Burning Mirrors and Lenses , Sahl usó la ley para derivar formas de lentes que enfocan la luz sin aberraciones geométricas.

La ley fue redescubierta por Thomas Harriot en 1602, quien sin embargo no publicó sus resultados aunque había mantenido correspondencia con Kepler sobre este mismo tema. En 1621, el astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580-1626) —Snell — derivó una forma matemáticamente equivalente, que permaneció inédita durante su vida. René Descartes derivó de forma independiente la ley utilizando argumentos heurísticos de conservación del momento en términos de senos en su ensayo de 1637 Dioptrique , y la utilizó para resolver una variedad de problemas ópticos. Al rechazar la solución de Descartes, Pierre de Fermat llegó a la misma solución basándose únicamente en su principio del mínimo tiempo . Descartes asumió que la velocidad de la luz era infinita, pero en su derivación de la ley de Snell también asumió que cuanto más denso es el medio, mayor es la velocidad de la luz. Fermat apoyó los supuestos opuestos, es decir, la velocidad de la luz es finita, y su derivación dependía de que la velocidad de la luz fuera más lenta en un medio más denso. La derivación de Fermat también utilizó su invención de la adecuación , un procedimiento matemático equivalente al cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos y tangentes.

En su influyente libro de matemáticas Geometría , Descartes resuelve un problema en el que trabajaron Apolonio de Perge y Papo de Alejandría . Dadas n líneas L y un punto P (L) en cada línea, encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tal que las longitudes de los segmentos de línea QP (L) satisfagan ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando n = 4, dadas las rectas a, b, cyd y un punto A en a, B en b, etc., encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tal que el producto QA * QB sea igual al producto QC * QD. Cuando las líneas no son todas paralelas, Pappus mostró que los loci son cónicos, pero cuando Descartes consideró una n mayor, obtuvo curvas cúbicas y de mayor grado. Para demostrar que las curvas cúbicas eran interesantes, mostró que surgían naturalmente en óptica de la ley de Snell.

Según Dijksterhuis, "In De natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossius dijo que Descartes había visto el artículo de Snell y había elaborado su propia prueba. Ahora sabemos que esta acusación es inmerecida, pero ha sido adoptada muchas veces desde entonces". Tanto Fermat como Huygens repitieron esta acusación de que Descartes había copiado a Snell. En francés , la ley de Snell se llama "la loi de Descartes" o "loi de Snell-Descartes".

Construcción de Christiaan Huygens

En su Traité de la Lumière de 1678 , Christiaan Huygens mostró cómo la ley de los senos de Snell podría explicarse o derivarse de la naturaleza ondulatoria de la luz, utilizando lo que hemos llegado a llamar el principio de Huygens-Fresnel .

Con el desarrollo de la teoría óptica y electromagnética moderna, la antigua ley de Snell pasó a una nueva etapa. En 1962, Bloembergen demostró que en el límite del medio no lineal, la ley de Snell debería escribirse en forma general. En 2008 y 2011, también se demostró que las metasuperficies plasmónicas cambian las direcciones de reflexión y refracción del haz de luz.

Explicación

Ley de Snell en una pared en Leiden

La ley de Snell se utiliza para determinar la dirección de los rayos de luz a través de medios refractivos con índices de refracción variables. Los índices de refracción de los medios, etiquetados , etc., se utilizan para representar el factor por el cual la velocidad de un rayo de luz disminuye cuando viaja a través de un medio refractivo, como vidrio o agua, en contraposición a su velocidad en el vacío.

A medida que la luz pasa por el borde entre los medios, dependiendo de los índices de refracción relativos de los dos medios, la luz se refractará a un ángulo menor o mayor. Estos ángulos se miden con respecto a la línea normal , representada perpendicular al límite. En el caso de que la luz viaje del aire al agua, la luz se refractaría hacia la línea normal, porque la luz se ralentiza en el agua; la luz que viaja del agua al aire se refracta lejos de la línea normal.

La refracción entre dos superficies también se conoce como reversible porque si todas las condiciones fueran idénticas, los ángulos serían los mismos para la luz que se propaga en la dirección opuesta.

La ley de Snell generalmente es cierta solo para medios isotrópicos o especulares (como el vidrio ). En medios anisotrópicos como algunos cristales , la birrefringencia puede dividir el rayo refractado en dos rayos, el ordinario o rayo o que sigue la ley de Snell, y el otro extraordinario o rayo- e que puede no ser coplanar con el rayo incidente.

Cuando la luz u otra onda involucrada es monocromática, es decir, de una sola frecuencia, la ley de Snell también se puede expresar en términos de una relación de longitudes de onda en los dos medios, y :

Derivaciones y fórmula

Wavefronts de una fuente puntual en el contexto de la ley de Snell. La región por debajo de la línea gris tiene un índice de refracción más alto y una velocidad de la luz proporcionalmente más baja que la región por encima de ella.

La ley de Snell se puede derivar de varias formas.

Derivación del principio de Fermat

La ley de Snell se puede derivar del principio de Fermat , que establece que la luz viaja por el camino que toma menos tiempo. Al tomar la derivada de la longitud del camino óptico , se encuentra el punto estacionario que da el camino tomado por la luz. (Hay situaciones en las que la luz viola el principio de Fermat al no tomar la menor trayectoria temporal, como en la reflexión en un espejo (esférico).) En una analogía clásica, el área de índice de refracción más bajo es reemplazada por una playa, el área de índice de refracción más alto. índice junto al mar, y la forma más rápida para que un rescatista en la playa llegue a una persona que se está ahogando en el mar es correr por un camino que sigue la ley de Snell.

La luz del medio 1, punto Q, entra en el medio 2, se produce la refracción y finalmente llega al punto P.

Como se muestra en la figura de la derecha, suponga que el índice de refracción del medio 1 y el medio 2 son y respectivamente. La luz ingresa al medio 2 desde el medio 1 a través del punto O.

es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción con respecto a la normal.

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y el medio 2 son

y
respectivamente.

es la velocidad de la luz en el vacío.

Sea T el tiempo requerido para que la luz viaje desde el punto Q a través del punto O hasta el punto P.

donde a, b, lyx se indican en la figura de la derecha, siendo x el parámetro variable.

Para minimizarlo, se puede diferenciar:

(punto estacionario)

Tenga en cuenta que

y

Por lo tanto,

Derivación del principio de Huygens

Alternativamente, la ley de Snell se puede derivar usando la interferencia de todos los caminos posibles de la onda de luz desde la fuente al observador (da como resultado una interferencia destructiva en todas partes excepto en los extremos de fase (donde la interferencia es constructiva)) que se convierten en caminos reales.

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

Otra forma de derivar la Ley de Snell implica una aplicación de las condiciones generales de contorno de las ecuaciones de Maxwell para la radiación electromagnética .

Derivación de la conservación de energía y momento.

Otra forma más de derivar la ley de Snell se basa en consideraciones de simetría de traducción. Por ejemplo, una superficie homogénea perpendicular a la dirección z no puede cambiar el momento transversal. Dado que el vector de propagación es proporcional al momento del fotón, la dirección de propagación transversal debe permanecer igual en ambas regiones. Suponga sin pérdida de generalidad un plano de incidencia en el plano . Usando la conocida dependencia del número de onda del índice de refracción del medio, derivamos la ley de Snell inmediatamente.

¿Dónde está el número de onda en el vacío? Aunque ninguna superficie es verdaderamente homogénea a escala atómica, la simetría de traslación completa es una excelente aproximación siempre que la región sea homogénea en la escala de la longitud de onda de la luz.

Forma vectorial

Dado un vector de luz normalizado (apuntando desde la fuente de luz hacia la superficie) y un vector normal plano normalizado , se pueden calcular los rayos reflejados y refractados normalizados, a través de los cosenos del ángulo de incidencia y el ángulo de refracción , sin utilizar explícitamente el valores de seno o cualquier función o ángulo trigonométrico:

Nota: debe ser positivo, que será si es el vector normal que apunta desde la superficie hacia el lado de donde viene la luz, la región con índice . Si es negativo, entonces apunta hacia el lado sin luz, así que comience de nuevo reemplazándolo por su negativo.

Este vector de dirección reflejada apunta hacia el lado de la superficie de donde proviene la luz.

Ahora aplique la ley de Snell a la razón de los senos para derivar la fórmula del vector de dirección del rayo refractado:

La fórmula puede parecer más simple en términos de valores simples renombrados y , evitando cualquier aparición de nombres de funciones trigonométricas o nombres de ángulos:

Ejemplo:

Los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.

La reflexión interna total está indicada por un radicando negativo en la ecuación para , lo que solo puede ocurrir para rayos que se cruzan en un medio menos denso ( ).

Reflexión interna total y ángulo crítico

Demostración de no refracción en ángulos mayores que el ángulo crítico.

Cuando la luz viaja desde un medio con un índice de refracción más alto a uno con un índice de refracción más bajo, la ley de Snell parece requerir en algunos casos (siempre que el ángulo de incidencia sea lo suficientemente grande) que el seno del ángulo de refracción sea mayor que uno. Por supuesto, esto es imposible, y la luz en tales casos se refleja completamente en el límite, un fenómeno conocido como reflexión interna total . El ángulo de incidencia más grande posible que todavía da como resultado un rayo refractado se llama ángulo crítico ; en este caso, el rayo refractado viaja a lo largo del límite entre los dos medios.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios.

Por ejemplo, considere un rayo de luz que se mueve del agua al aire con un ángulo de incidencia de 50 °. Los índices de refracción del agua y el aire son aproximadamente 1.333 y 1, respectivamente, por lo que la ley de Snell nos da la relación

que es imposible de satisfacer. El ángulo crítico θ crit es el valor de θ 1 para el cual θ 2 es igual a 90 °:

Dispersión

En muchos medios de propagación de ondas, la velocidad de las ondas cambia con la frecuencia o la longitud de onda de las ondas; esto es cierto para la propagación de la luz en la mayoría de las sustancias transparentes distintas del vacío. Estos medios se denominan dispersivos. El resultado es que los ángulos determinados por la ley de Snell también dependen de la frecuencia o longitud de onda, por lo que un rayo de longitudes de onda mixtas, como la luz blanca, se extenderá o dispersará. Tal dispersión de la luz en el vidrio o el agua subyace en el origen de los arcoíris y otros fenómenos ópticos , en los que diferentes longitudes de onda aparecen como colores diferentes.

En los instrumentos ópticos, la dispersión conduce a una aberración cromática ; un desenfoque dependiente del color que a veces es el efecto que limita la resolución. Esto fue especialmente cierto en los telescopios refractores , antes de la invención de los objetivos acromáticos .

Medios con pérdidas, absorbentes o conductores

En un medio conductor, la permitividad y el índice de refracción tienen valores complejos. En consecuencia, también lo son el ángulo de refracción y el vector de onda. Esto implica que, mientras que las superficies de fase real constante son planos cuyas normales forman un ángulo igual al ángulo de refracción con la interfaz normal, las superficies de amplitud constante, por el contrario, son planos paralelos a la propia interfaz. Dado que estos dos planos no coinciden en general entre sí, se dice que la onda no es homogénea. La onda refractada se atenúa exponencialmente, con un exponente proporcional al componente imaginario del índice de refracción.

Ver también

Referencias

enlaces externos