Función simple - Simple function

En el campo matemático del análisis real , una función simple es una función real (o compleja ) valorada sobre un subconjunto de la línea real , similar a una función escalonada . Las funciones simples son lo suficientemente "agradables" como para que usarlas facilite el razonamiento matemático, la teoría y la demostración. Por ejemplo, las funciones simples alcanzan solo un número finito de valores. Algunos autores también requieren funciones simples para ser medibles ; como se usa en la práctica, invariablemente lo son.

Un ejemplo básico de una función simple es la función piso en el intervalo semiabierto [1, 9), cuyos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un ejemplo más avanzado es la función de Dirichlet sobre la línea real, que toma el valor 1 si x es racional y 0 en caso contrario. (Por lo tanto, el "simple" de "función simple" tiene un significado técnico algo en desacuerdo con el lenguaje común). Todas las funciones de paso son simples.

Las funciones simples se utilizan como una primera etapa en el desarrollo de teorías de integración , como la integral de Lebesgue , porque es fácil definir la integración para una función simple y también es sencillo aproximar funciones más generales por secuencias de funciones simples.

Definición

Formalmente, una función simple es una combinación lineal finita de funciones indicadoras de conjuntos medibles . Más precisamente, sea ( X , Σ) un espacio medible . Vamos A ₁ , ..., A _n ∈ Σ haber una secuencia de conjuntos medibles disjuntos, y sea un ₁ , ..., un _n ser una secuencia de reales o números complejos . Una función simple es una función de la forma ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

donde es la función indicadora del conjunto A . ${\ Displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$

Propiedades de funciones simples

La suma, la diferencia y el producto de dos funciones simples son nuevamente funciones simples, y la multiplicación por constante mantiene simple una función simple; de ahí se sigue que la colección de todas las funciones simples en un espacio medible dado forma un álgebra conmutativa sobre . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Integración de funciones simples

Si se define una medida μ en el espacio ( X , Σ), la integral de f con respecto a μ es

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}),}$

si todos los sumandos son finitos.

Relación con la integración de Lebesgue

Cualquier función medible no negativa es el límite puntual de una secuencia creciente monótona de funciones simples no negativas. De hecho, sea ​​una función medible no negativa definida sobre el espacio de medida como antes. Para cada uno , subdivida el rango de en intervalos, de los cuales tienen longitud . Para cada uno , establezca ${\ Displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n} +1}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right)}$para , y .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} +1} = [2 ^ {n}, \ infty)}$

(Tenga en cuenta que, para fijo , los conjuntos son disjuntos y cubren la línea real no negativa). ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle I_ {n, k}}$

Ahora defina los conjuntos medibles

${\ Displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) \,}$para .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n} +1}$

Entonces la secuencia creciente de funciones simples

${\ Displaystyle f_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} +1} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

converge puntualmente a como . Tenga en cuenta que, cuando está acotado, la convergencia es uniforme. Esta aproximación de por funciones simples (que son fácilmente integrables) nos permite definir una integral en sí; consulte el artículo sobre la integración de Lebesgue para obtener más detalles. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Referencias

• JFC Kingman, SJ Taylor . Introducción a la medida y la probabilidad , 1966, Cambridge.
• S. Lang . Análisis real y funcional , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Análisis real y complejo , 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Análisis real , 1968, Collier Macmillan.