Distribución de Gompertz desplazada - Shifted Gompertz distribution

Gompertz desplazado

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\ Displaystyle b \ geq 0}$ escala ( real ) forma (real) ${\ Displaystyle \ eta \ geq 0}$
Apoyo	${\ Displaystyle x \ in [0, \ infty) \!}$
PDF	${\ displaystyle be ^ {- bx} e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} \ left [1+ \ eta \ left (1-e ^ {- bx} \ right) \ right]}$
CDF	${\ Displaystyle \ left (1-e ^ {- bx} \ right) e ^ {- \ eta e ^ {- bx}}}$
Media	${\ Displaystyle (-1 / b) \ {\ mathrm {E} [\ ln (X)] - \ ln (\ eta) \} \,}$ donde y ${\ Displaystyle X = \ eta e ^ {- bx} \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {E} [\ ln (X)] = & [1 {+} 1 / \ eta] \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \! e ^ {- X} [\ ln (X)] dX \\ & - 1 / \ eta \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \ ! Xe ^ {- X} [\ ln (X)] dX \ end {alineado}}}$
Modo	${\ displaystyle 0 {\ text {para}} 0 <\ eta \ leq 0.5}$ ${\ Displaystyle (-1 / b) \ ln (z ^ {\ star}) {\ text {, para}} \ eta> 0.5}$ ${\ Displaystyle {\ text {donde}} z ^ {\ star} = [3+ \ eta - (\ eta ^ {2} +2 \ eta +5) ^ {1/2}] / (2 \ eta) }$
Diferencia	${\ Displaystyle (1 / b ^ {2}) (\ mathrm {E} \ {[\ ln (X)] ^ {2} \} - (\ mathrm {E} [\ ln (X)]) ^ { 2}) \,}$ donde y${\ Displaystyle X = \ eta e ^ {- bx} \,}$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {E} \ {[\ ln (X)] ^ {2} \} = & [1 {+} 1 / \ eta] \! \! \ int _ {0 } ^ {\ eta} \! \! \! \! e ^ {- X} [\ ln (X)] ^ {2} dX \\ & - 1 / \ eta \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \! Xe ^ {- X} [\ ln (X)] ^ {2} dX \ end {alineado}}}$

La distribución de Gompertz desplazada es la distribución de la mayor de dos variables aleatorias independientes , una de las cuales tiene una distribución exponencial con parámetro y la otra tiene una distribución de Gumbel con parámetros y . En su formulación original, la distribución se expresó haciendo referencia a la distribución de Gompertz en lugar de a la distribución de Gumbel pero, dado que la distribución de Gompertz es una distribución de Gumbel revertida, el etiquetado puede considerarse exacto. Se ha utilizado como modelo de adopción de innovaciones . Fue propuesto por Bemmaor (1994). Algunas de sus propiedades estadísticas han sido estudiadas más a fondo por Jiménez y Jodrá (2009) y Jiménez Torres (2014). ${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle b}$

Se ha utilizado para predecir el crecimiento y el declive de las redes sociales y los servicios en línea y ha demostrado ser superior al modelo Bass y la distribución de Weibull (Bauckhage y Kersting 2014).

Especificación

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Gompertz desplazada es:

${\ Displaystyle f (x; b, \ eta) = be ^ {- bx} e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} \ left [1+ \ eta \ left (1-e ^ {- bx}) \ right) \ right] {\ text {para}} x \ geq 0. \,}$

donde es un parámetro de escala y es un parámetro de forma . En el contexto de la difusión de innovaciones, se puede interpretar como el atractivo general de la innovación y es la propensión a adoptar en el paradigma de propensión a adoptar. Cuanto más grande es, más fuerte es el atractivo y cuanto más grande es, menor es la propensión a adoptar. ${\ Displaystyle b \ geq 0}$${\ Displaystyle \ eta \ geq 0}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ eta}$

La distribución puede reparametrizarse de acuerdo con el paradigma de influencia externa versus interna con el coeficiente de influencia externa y el coeficiente de influencia interna. Por lo tanto: ${\ Displaystyle p = f (0; b, \ eta) = be ^ {- \ eta}}$${\ Displaystyle q = bp}$

${\ Displaystyle f (x; p, q) = (p + q) e ^ {- (p + q) x} e ^ {- \ ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x}} \ left [1+ \ ln (1 + q / p) \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) \ right] {\ text {for}} x \ geq 0 , p, q \ geq 0. \,}$

${\ Displaystyle = (p + q) e ^ {- (p + q) x} {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} \ left [1+ \ ln (1 + q / p) \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) \ right] {\ text {for}} x \ geq 0, p, q \ geq 0. \ ,}$

Cuando , la distribución de Gompertz desplazada se reduce a una distribución exponencial. Cuando , la proporción de adoptantes es nula: la innovación es un completo fracaso. El parámetro de forma de la función de densidad de probabilidad es igual a . Similar al modelo de Bass, la tasa de riesgo se acerca a medida que se acerca . Consulte Bemmaor y Zheng para un análisis más detallado. ${\ Displaystyle q = 0}$${\ Displaystyle p = 0}$${\ Displaystyle q / p}$${\ Displaystyle z (x; p, q)}$${\ Displaystyle p + q}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ infty}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulada de la distribución de Gompertz desplazada es:

${\ Displaystyle F (x; b, \ eta) = \ left (1-e ^ {- bx} \ right) e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} {\ text {para}} x \ geq 0. \,}$

Equivalentemente,

${\ Displaystyle F (x; p, q) = \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) e ^ {- \ ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x}} {\ text {para}} x \ geq 0. \,}$

${\ Displaystyle = \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} {\ text {para}} x \ geq 0. \,}$

Propiedades

La distribución de Gompertz desplazada está sesgada a la derecha para todos los valores de . Es más flexible que la distribución de Gumbel . La tasa de riesgo es una función cóncava que aumenta de a : su curvatura es tanto más pronunciada cuanto más grande. En el contexto de la difusión de innovaciones, el efecto del boca a boca sobre la probabilidad de adopción es más fuerte en las primeras etapas de adopción que en las posteriores. El parámetro captura el crecimiento de la tasa de riesgo cuando varía de a . ${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle F (x; b, \ eta)}$${\ displaystyle be ^ {- \ eta}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle q = b (1-e ^ {- \ eta})}$${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ infty}$

Formas

La función de densidad de Gompertz desplazada puede adoptar diferentes formas según los valores del parámetro de forma : ${\ Displaystyle \ eta}$

• ${\ Displaystyle 0 <\ eta \ leq 0.5 \,}$ la función de densidad de probabilidad tiene su moda en 0.
• ${\ Displaystyle \ eta> 0.5 \,}$ la función de densidad de probabilidad tiene su modo en

${\ displaystyle {\ text {mode}} = - {\ frac {\ ln (z ^ {\ star})} {b}} \, \ qquad 0 <z ^ {\ star} <1}$

¿Dónde está la raíz más pequeña de ${\ Displaystyle z ^ {\ estrella} \,}$

${\ Displaystyle \ eta ^ {2} z ^ {2} - \ eta (3+ \ eta) z + \ eta + 1 = 0 \ ,,}$

cual es

${\ Displaystyle z ^ {\ star} = [3+ \ eta - (\ eta ^ {2} +2 \ eta +5) ^ {1/2}] / (2 \ eta).}$

Distribuciones relacionadas

Cuando varía según una distribución gamma con el parámetro de forma y el parámetro de escala (media = ), la distribución de es Gamma / Gompertz desplazado (G / SG). Cuando es igual a uno, el G / SG se reduce al modelo Bass (Bemmaor 1994). El G / SG de tres parámetros ha sido aplicado por Dover, Goldenberg y Shapira (2009) y Van den Bulte y Stremersch (2004) entre otros en el contexto de la difusión de innovaciones. El modelo se discute en Chandrasekaran y Tellis (2007). Similar a la distribución de Gompertz desplazada, el G / SG puede representarse según el paradigma de propensión a adoptar o según el paradigma de innovación-imitación. En este último caso, incluye tres parámetros: y con y . El parámetro modifica la curvatura de la tasa de riesgo expresada en función de : cuando es menor que 0.5, disminuye a un mínimo antes de aumentar a una tasa creciente a medida que aumenta, es convexa cuando es menor que uno y mayor o igual a 0.5, lineal cuando es igual a uno y cóncavo cuando es mayor que uno. A continuación se muestran algunos casos especiales de la distribución G / SG en el caso de homogeneidad (en la población) con respecto a la probabilidad de adoptar en un momento dado: ${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ alpha \ beta}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle p, q}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle p = f (0; b, \ beta, \ alpha) = b / (1+ \ beta) ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle q = bp}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle F (x; p, q, \ alpha)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle F (x; p, q, \ alpha <1/2)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$

                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =0)}$ = Exponential${\displaystyle (p+q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)}$ = Left-skewed two-parameter distribution${\displaystyle (p,q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1)}$  = Bass model${\displaystyle (p,q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =\infty )}$ = Shifted Gompertz${\displaystyle (p,q)}$
 

con:

              ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)/{(1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x})^{1/2}}{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

Se pueden comparar los parámetros y los valores de ya que capturan las mismas nociones. En todos los casos, la tasa de riesgo es constante o una función que aumenta monótonamente de (boca a boca positiva). Como la curva de difusión es tanto más sesgada cuanto más grande, esperamos que disminuya a medida que aumenta el nivel de sesgo a la derecha. ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle F (x; p, q, \ alpha)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle q}$

Ver también

• Distribución de Gumbel
• Distribución generalizada de valores extremos
• Modelo de mezcla
• Modelo de bajo
• Distribución de Gompertz

Referencias