Esclerónomo - Scleronomous

Un sistema mecánico es esclerónomo si las ecuaciones de restricciones no contienen el tiempo como una variable explícita y la ecuación de restricciones puede describirse mediante coordenadas generalizadas. Estas restricciones se denominan restricciones escleronómicas . Lo contrario de esclerónomo es reónomo .

Solicitud

En el espacio 3-D, una partícula con masa , la velocidad tiene energía cinética${\ Displaystyle m \, \!}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \, \!}$ ${\ Displaystyle T \, \!}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \, \ !.}$

La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo . Utilice la regla de la cadena para varias variables : ${\ Displaystyle r \, \!}$${\ Displaystyle t \, \!}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ sum _ {i} \ {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial q_ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} \, \ !.}$

donde están las coordenadas generalizadas . ${\ Displaystyle q_ {i} \, \!}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m \ izquierda (\ sum _ {i} \ {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} \ derecha) ^ {2} \, \ !.}$

Reorganizando los términos con cuidado,

${\ Displaystyle T = T_ {0} + T_ {1} + T_ {2} \, \ !:}$

${\ Displaystyle T_ {0} = {\ frac {1} {2}} m \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} \ derecha) ^ {2} \, \ !,}$

${\ Displaystyle T_ {1} = \ sum _ {i} \ m {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} \ cdot {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \, \ !,}$

${\ Displaystyle T_ {2} = \ sum _ {i, j} \ {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j} \, \ !,}$

donde , , son, respectivamente, las funciones homogéneas de grado 0, 1, y 2 en velocidades generalizadas. Si este sistema es esclerónomo, entonces la posición no depende explícitamente del tiempo: ${\ Displaystyle T_ {0} \, \!}$${\ Displaystyle T_ {1} \, \!}$${\ Displaystyle T_ {2} \, \!}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} = 0 \, \ !.}$

Por tanto, solo el término no desaparece: ${\ Displaystyle T_ {2} \, \!}$

${\ Displaystyle T = T_ {2} \, \ !.}$

La energía cinética es una función homogénea de grado 2 en velocidades generalizadas.

Ejemplo: péndulo

Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por un peso y una cuerda. La cuerda está unida en el extremo superior a un pivote y en el extremo inferior a un peso. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es una constante. Por tanto, este sistema es esclerónomo; obedece a la restricción escleronómica

${\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0 \, \ !,}$

donde es la posición del peso y es la longitud de la cuerda. ${\ Displaystyle (x, y) \, \!}$${\ Displaystyle L \, \!}$

Tome un ejemplo más complicado. Consulte la siguiente figura a la derecha. Suponga que el extremo superior de la cuerda está unido a un punto de pivote que experimenta un movimiento armónico simple.

${\ Displaystyle x_ {t} = x_ {0} \ cos \ omega t \, \ !,}$

donde es amplitud, es frecuencia angular y es tiempo. ${\ Displaystyle x_ {0} \, \!}$${\ Displaystyle \ omega \, \!}$${\ Displaystyle t \, \!}$

Aunque el extremo superior de la cuerda no es fijo, la longitud de esta cuerda inextensible sigue siendo una constante. La distancia entre el extremo superior y el peso debe permanecer igual. Por lo tanto, este sistema es reónomo ya que obedece a una restricción que depende explícitamente del tiempo.

${\ Displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {0} \ cos \ omega t) ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0 \, \ !.}$

Ver también

• Mecánica lagrangiana
• Sistema holonómico
• Sistema no holonómico
• Reónomo
• Matriz de masa

Referencias