Optimización de escenarios - Scenario optimization

El enfoque de escenario o el enfoque de optimización de escenario es una técnica para obtener soluciones a problemas de optimización robusta y de optimización con restricciones de azar basadas en una muestra de las restricciones . También se relaciona con el razonamiento inductivo en el modelado y la toma de decisiones. La técnica ha existido durante décadas como un enfoque heurístico y más recientemente se le ha dado una base teórica sistemática.

En la optimización , las características de robustez se traducen en restricciones que son parametrizadas por los elementos inciertos del problema. En el método de escenarios, una solución se obtiene mirando solo una muestra aleatoria de restricciones ( enfoque heurístico ) llamadas escenarios y una teoría profundamente fundamentada le dice al usuario cuán “robusta” está relacionada la solución correspondiente con otras restricciones. Esta teoría justifica el uso de la aleatorización en la optimización robusta y con restricciones de azar.

Optimización basada en datos

A veces, los escenarios se obtienen como extracciones aleatorias de un modelo. Sin embargo, con mayor frecuencia, los escenarios son instancias de restricciones inciertas que se obtienen como observaciones ( ciencia impulsada por datos ). En este último caso, no se necesita un modelo de incertidumbre para generar escenarios. Además, lo más notable es que también en este caso la optimización de escenarios viene acompañada de una teoría completa porque todos los resultados de la optimización de escenarios están libres de distribución y, por lo tanto, pueden aplicarse incluso cuando no se dispone de un modelo de incertidumbre.

Resultados teóricos

Para las restricciones que son convexas (por ejemplo, en problemas semidefinidos que involucran LMI, desigualdades de matriz lineal ), se ha establecido un análisis teórico profundo que muestra que la probabilidad de que no se satisfaga una nueva restricción sigue una distribución que está dominada por una distribución Beta . Este resultado es ajustado ya que es exacto para toda una clase de problemas convexos. De manera más general, se ha demostrado que varios niveles empíricos siguen una distribución de Dirichlet , cuyos marginales son la distribución beta. También se ha considerado el enfoque de escenarios con regularización, y se encuentran disponibles algoritmos prácticos con complejidad computacional reducida. Las extensiones a configuraciones más complejas, no convexas, siguen siendo objeto de una investigación activa. ${\ Displaystyle L_ {1}}$

Junto con el enfoque de escenarios, también es posible buscar una compensación entre riesgo y rendimiento. Además, se puede utilizar un método completo para aplicar este enfoque al control. Primero se toman muestras de las restricciones y luego el usuario comienza a eliminar algunas de las restricciones en sucesión. Esto se puede hacer de diferentes maneras, incluso de acuerdo con algoritmos codiciosos. Después de eliminar una restricción más, se actualiza la solución óptima y se determina el valor óptimo correspondiente. A medida que avanza este procedimiento, el usuario construye una “curva de valores” empírica, es decir, la curva que representa el valor alcanzado después de eliminar un número creciente de restricciones. La teoría de escenarios proporciona evaluaciones precisas de cuán robustas son las diversas soluciones. ${\ Displaystyle N}$

Un avance notable en la teoría ha sido establecido por el reciente enfoque de esperar y juzgar: uno evalúa la complejidad de la solución (como se define con precisión en el artículo de referencia) y desde su valor formula evaluaciones precisas sobre la solidez de la solución. Estos resultados arrojan luz sobre vínculos profundamente arraigados entre los conceptos de complejidad y riesgo. Un enfoque relacionado, denominado "Diseño de escenario repetitivo" tiene como objetivo reducir la complejidad de la muestra de la solución alternando repetidamente una fase de diseño de escenario (con un número reducido de muestras) con una verificación aleatoria de la viabilidad de la solución resultante.

Ejemplo

Considere una función que representa el rendimiento de una inversión ; depende de nuestro vector de opciones de inversión y del estado del mercado que se experimentará al final del período de inversión. ${\ Displaystyle R _ {\ delta} (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ delta}$

Dado un modelo estocástico para las condiciones del mercado, consideramos los posibles estados (aleatorización de la incertidumbre). Alternativamente, los escenarios se pueden obtener a partir de un registro de observaciones. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ delta _ {1}, \ dots, \ delta _ {N}}$${\ Displaystyle \ delta _ {i}}$

Nos propusimos resolver el programa de optimización de escenarios

${\ Displaystyle \ max _ {x} \ min _ {i = 1, \ dots, N} R _ {\ delta _ {i}} (x). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Esto corresponde a elegir un vector de cartera x para obtener la mejor rentabilidad posible en el peor de los casos.

Después de resolver (1), se logra una estrategia de inversión óptima junto con el rendimiento óptimo correspondiente . Si bien se ha obtenido observando únicamente los posibles estados del mercado, la teoría de escenarios nos dice que la solución es robusta hasta cierto nivel , es decir, el rendimiento se logrará con probabilidad para otros estados del mercado. ${\ displaystyle x ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle 1- \ varepsilon}$

En las finanzas cuantitativas, el enfoque del peor de los casos puede ser demasiado conservador. Una alternativa es descartar algunas situaciones extrañas para reducir el pesimismo; Además, la optimización del escenario se puede aplicar a otras medidas de riesgo, incluido CVaR (valor condicional en riesgo), lo que aumenta la flexibilidad de su uso.

Campos de aplicación

Los campos de aplicación incluyen: predicción , teoría de sistemas , análisis de regresión ( modelos de predicción de intervalos en particular), ciencia actuarial , control óptimo , matemáticas financieras , aprendizaje automático , toma de decisiones , cadena de suministro y gestión .

Referencias