Mecánica routhiana - Routhian mechanics

Edward John Routh , 1831-1907.

En la mecánica clásica, el procedimiento de Routh o mecánica Routhian es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana desarrollado por John Edward Routh. En consecuencia, el routhiano es la función que reemplaza tanto la función lagrangiana como la hamiltoniana . Como ocurre con el resto de la mecánica analítica, la mecánica de Routh es completamente equivalente a la mecánica de Newton, todas las demás formulaciones de la mecánica clásica, y no introduce ninguna física nueva. Ofrece una forma alternativa de resolver problemas mecánicos.

Definiciones

El routhiano, como el hamiltoniano, se puede obtener de una transformada de Legendre del lagrangiano, y tiene una forma matemática similar al hamiltoniano, pero no es exactamente igual. La diferencia entre las funciones lagrangiana, hamiltoniana y routhiana son sus variables. Para un conjunto dado de coordenadas generalizadas que representan los grados de libertad en el sistema, el lagrangiano es una función de las coordenadas y velocidades, mientras que el hamiltoniano es una función de las coordenadas y momentos.

El routhiano se diferencia de estas funciones en que algunas coordenadas se eligen para tener las correspondientes velocidades generalizadas, el resto para tener los correspondientes momentos generalizados. Esta elección es arbitraria y se puede hacer para simplificar el problema. También tiene la consecuencia de que las ecuaciones de Routh son exactamente las ecuaciones de Hamilton para algunas coordenadas y momentos correspondientes, y las ecuaciones de Lagrange para el resto de las coordenadas y sus velocidades. En cada caso, las funciones lagrangiana y hamiltoniana se reemplazan por una única función, la routhiana. Por tanto, el conjunto completo tiene las ventajas de ambos conjuntos de ecuaciones, con la conveniencia de dividir un conjunto de coordenadas en las ecuaciones de Hamilton y el resto en las ecuaciones de Lagrange.

En el caso de la mecánica lagrangiana, las coordenadas generalizadas q 1 , q 2 , ... y las correspondientes velocidades dq 1 / dt , dq 2 / dt , ... , y posiblemente el tiempo t , ingresan al Lagrangiano,

donde los sobrepuntos denotan derivadas de tiempo .

En la mecánica hamiltoniana, las coordenadas generalizadas q 1 , q 2 , ... y los correspondientes momentos generalizados p 1 , p 2 , ..., y posiblemente el tiempo, ingresan al hamiltoniano,

donde la segunda ecuación es la definición del momento generalizado p i correspondiente a la coordenada q i ( las derivadas parciales se denotan mediante ). Las velocidades dq i / dt se expresan como funciones de sus momentos correspondientes invirtiendo su relación definitoria. En este contexto, se dice que p i es el momento "conjugado canónicamente" con q i .

El routhiano es intermedio entre L y H ; algunas coordenadas q 1 , q 2 , ..., q n se eligen para tener momentos generalizados correspondientes p 1 , p 2 , ..., p n , el resto de las coordenadas ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ s tener velocidades generalizadas 1 / dt , 2 / dt , ..., s / dt , y el tiempo puede aparecer explícitamente;

Routhian ( n + s grados de libertad)

donde nuevamente la velocidad generalizada dq i / dt debe expresarse como una función del momento generalizado p i a través de su relación definitoria. La elección de qué n coordenadas van a tener momentos correspondientes, fuera de las n + s coordenadas, es arbitraria.

Landau , Lifshitz y Goldstein utilizan lo anterior . Algunos autores pueden definir al routhiano como el negativo de la definición anterior.

Dada la longitud de la definición general, una notación más compacta es usar negrita para las tuplas (o vectores) de las variables, así q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ) , ζ = ( ζ 1 , ζ 2 , ..., ζ s ) , p = ( p 1 , p 2 , ..., p n ) , y d ζ / dt = ( 1 / dt , 2 / dt , ..., s / dt ) , de modo que

donde · es el producto escalar definido en las tuplas, para el ejemplo específico que aparece aquí:

Ecuaciones de movimiento

Como referencia, las ecuaciones de Euler-Lagrange para s grados de libertad son un conjunto de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas en las coordenadas

donde j = 1, 2, ..., s , y las ecuaciones hamiltonianas para n grados de libertad son un conjunto de 2 n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden acopladas en las coordenadas y momentos

A continuación, las ecuaciones de movimiento de Routh se obtienen de dos maneras, en el proceso se encuentran otras derivadas útiles que se pueden usar en otros lugares.

Dos grados de libertad

Considere el caso de un sistema con dos grados de libertad , q y ζ , con velocidades generalizadas dq / dt y / dt , y el Lagrangiano es dependiente del tiempo. (La generalización a cualquier número de grados de libertad sigue exactamente el mismo procedimiento que con dos). El lagrangiano del sistema tendrá la forma

El diferencial de L es

Ahora cambie las variables, del conjunto ( q , ζ , dq / dt , / dt ) a ( q , ζ , p , / dt ), simplemente cambiando la velocidad dq / dt al momento p . Este cambio de variables en los diferenciales es la transformación de Legendre . El diferencial de la nueva función para reemplazar L será una suma de diferenciales en dq , , dp , d ( / dt ) y dt . Usando la definición de momento generalizado y la ecuación de Lagrange para la coordenada q :

tenemos

y para reemplazar pd ( dq / dt ) por ( dq / dt ) dp , recuerde la regla del producto para diferenciales y sustituya

para obtener el diferencial de una nueva función en términos del nuevo conjunto de variables:

Presentando al routhiano

donde de nuevo la velocidad dq / dt es una función del momento p , tenemos

pero de la definición anterior, el diferencial del routhiano es

Al comparar los coeficientes de las diferenciales dq , , dp , d ( / dt ) y dt , los resultados son las ecuaciones de Hamilton para la coordenada q ,

y la ecuación de Lagrange para la coordenada ζ

que siguen de

y tomando la derivada de tiempo total de la segunda ecuación y equiparando a la primera. Observe que el routhiano reemplaza las funciones hamiltoniana y lagrangiana en todas las ecuaciones de movimiento.

La ecuación restante establece que las derivadas temporales parciales de L y R son negativas

Cualquier número de grados de libertad

Para las coordenadas n + s como se definió anteriormente, con Routhian

las ecuaciones de movimiento se pueden derivar mediante una transformación de Legendre de este routhiano como en la sección anterior, pero otra forma es simplemente tomar las derivadas parciales de R con respecto a las coordenadas q i y ζ j , momentos p i y velocidades j / dt , donde i = 1, 2, ..., n , y j = 1, 2, ..., s . Los derivados son

Los dos primeros son idénticamente las ecuaciones de Hamilton. Al igualar la derivada de tiempo total del cuarto conjunto de ecuaciones con el tercero (para cada valor de j ) se obtienen las ecuaciones lagrangianas. La quinta es la misma relación entre derivadas parciales en el tiempo que antes. Para resumir

Ecuaciones de movimiento de Routh ( n + s grados de libertad)

El número total de ecuaciones es 2 n + s , hay 2 n ecuaciones hamiltonianas más s ecuaciones de Lagrange.

Energía

Dado que el lagrangiano tiene las mismas unidades que la energía , las unidades del routhiano también son energía. En unidades SI, este es el Joule .

Tomar la derivada de tiempo total del Lagrangiano conduce al resultado general

Si el Lagrangiano es independiente del tiempo, la derivada parcial del tiempo del Lagrangiano es cero, L / ∂ t = 0 , por lo que la cantidad bajo la derivada total del tiempo entre paréntesis debe ser una constante, es la energía total del sistema.

(Si hay campos externos que interactúan con los componentes del sistema, pueden variar en el espacio pero no en el tiempo). Esta expresión requiere las derivadas parciales de L con respecto a todas las velocidades dq i / dt y j / dt . Bajo la misma condición de que R sea ​​independiente del tiempo, la energía en términos del routhiano es un poco más simple, sustituyendo la definición de R y las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades j / dt ,

Observe que solo se necesitan las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades j / dt . En el caso de que s = 0 y el routhiano sea explícitamente independiente del tiempo, entonces E = R , es decir, el routhiano es igual a la energía del sistema. La misma expresión para R en cuando s = 0 es también el hamiltoniano, por lo que en todo E = R = H .

Si el routhiano tiene una dependencia temporal explícita, la energía total del sistema no es constante. El resultado general es

que se pueden derivar a partir de la derivada en el tiempo total de R en la misma forma que para L .

Coordenadas cíclicas

A menudo, el enfoque routhiano puede no ofrecer ninguna ventaja, pero un caso notable en el que esto es útil es cuando un sistema tiene coordenadas cíclicas (también llamadas "coordenadas ignorables"), por definición, aquellas coordenadas que no aparecen en el Lagrangiano original. Las ecuaciones de Lagrange son resultados poderosos, que se utilizan con frecuencia en la teoría y la práctica, ya que las ecuaciones de movimiento en las coordenadas son fáciles de configurar. Sin embargo, si se producen coordenadas cíclicas, todavía habrá ecuaciones por resolver para todas las coordenadas, incluidas las coordenadas cíclicas a pesar de su ausencia en el lagrangiano. Las ecuaciones hamiltonianas son resultados teóricos útiles, pero menos útiles en la práctica porque las coordenadas y los momentos están relacionados entre sí en las soluciones; después de resolver las ecuaciones, las coordenadas y los momentos deben eliminarse entre sí. Sin embargo, las ecuaciones de Hamilton se adaptan perfectamente a las coordenadas cíclicas porque las ecuaciones en las coordenadas cíclicas desaparecen trivialmente, dejando solo las ecuaciones en las coordenadas no cíclicas.

El enfoque routhiano tiene lo mejor de ambos enfoques, porque las coordenadas cíclicas se pueden dividir en las ecuaciones hamiltonianas y eliminar, dejando atrás las coordenadas no cíclicas para resolver a partir de las ecuaciones lagrangianas. En general, es necesario resolver menos ecuaciones en comparación con el enfoque lagrangiano.

La formulación Routhian es útil para sistemas con coordenadas cíclicos , porque por definición esas coordenadas no entran en L , y por lo tanto R . Las correspondientes derivadas parciales de L y R con respecto a esas coordenadas son cero, lo que equivale a los correspondientes momentos generalizados que se reducen a constantes. Para hacer esto concreto, si q i son todas coordenadas cíclicas, y ζ j son todas no cíclicas, entonces

donde las α i son constantes. Con estas constantes sustituidas en el routhiano, R es una función solo de las coordenadas y velocidades no cíclicas (y en general también del tiempo)

La ecuación 2 n hamiltoniana en las coordenadas cíclicas desaparece automáticamente,

y la s ecuaciones de Lagrange están en las coordenadas no cíclicos

Por tanto, el problema se ha reducido a resolver las ecuaciones lagrangianas en las coordenadas no cíclicas, con la ventaja de que las ecuaciones hamiltonianas eliminan limpiamente las coordenadas cíclicas. Usando esas soluciones, las ecuaciones para se pueden integrar para calcular .

Si estamos interesados ​​en cómo cambian las coordenadas cíclicas con el tiempo, se pueden integrar las ecuaciones para las velocidades generalizadas correspondientes a las coordenadas cíclicas.

Ejemplos

El procedimiento de Routh no garantiza que las ecuaciones de movimiento sean simples, sin embargo, dará lugar a menos ecuaciones.

Potencial central en coordenadas esféricas

Una clase general de sistemas mecánicos con coordenadas cíclicas son los que tienen potenciales centrales , porque los potenciales de esta forma solo dependen de las separaciones radiales y no dependen de los ángulos.

Considere una partícula de masa m bajo la influencia de un potencial central V ( r ) en coordenadas polares esféricas ( r , θ , φ )

Observe que φ es cíclico, porque no aparece en el lagrangiano. El momento conjugado con φ es la constante

en el que r y / dt pueden variar con el tiempo, pero el momento angular p φ es constante. El routhiano puede ser tomado por

Podemos resolver para r y θ usando las ecuaciones de Lagrange, y no necesitamos resolver para φ ya que es eliminado por las ecuaciones de Hamilton. La ecuación r es

y la ecuación θ es

El enfoque de Routh ha obtenido dos ecuaciones no lineales acopladas. Por el contrario, el enfoque lagrangiano conduce a tres ecuaciones acopladas no lineales, mezclando la primera y la segunda derivadas temporales de φ en todas ellas, a pesar de su ausencia en el lagrangiano.

La ecuación r es

la ecuación θ es

la ecuación φ es

Sistemas mecánicos simétricos

Péndulo esférico

Péndulo esférico: ángulos y velocidades.

Considere el péndulo esférico , una masa m (conocida como "péndulo oscilante") unida a una barra rígida de longitud l de masa despreciable, sujeta a un campo gravitacional local g . El sistema gira con velocidad angular / dt que no es constante. El ángulo entre la varilla y la vertical es θ y no es constante.

El lagrangiano es

y φ es la coordenada cíclica del sistema con momento constante

que nuevamente es físicamente el momento angular del sistema con respecto a la vertical. El ángulo θ y la velocidad angular / dt varían con el tiempo, pero el momento angular es constante. El routhiano es

La ecuación θ se encuentra a partir de las ecuaciones de Lagrange

o simplificando introduciendo las constantes

da

Esta ecuación se parece a la ecuación de péndulo no lineal simple , porque puede oscilar a través del eje vertical, con un término adicional para explicar la rotación alrededor del eje vertical (la constante a está relacionada con el momento angular p φ ).

Aplicando el enfoque de Lagrange, hay dos ecuaciones acopladas no lineales para resolver.

La ecuación θ es

y la ecuación φ es

Parte superior simétrica pesada

Parte superior simétrica pesada en términos de ángulos de Euler.

La pesada parte superior simétrica de la masa M tiene lagrangiana

donde ψ , φ , θ son los ángulos de Euler , θ es el ángulo entre el eje z vertical y el eje z ′ de la parte superior , ψ es la rotación de la parte superior sobre su propio eje z , y φ el azimutal de la eje z ' superior alrededor del eje z vertical . Los principales momentos de inercia son I 1 sobre el eje x de la parte superior , I 2 sobre los ejes y de la parte superior e I 3 sobre el eje z ′ de la parte superior . Dado que la parte superior es simétrica con respecto a su eje z , I 1 = I 2 . Aquí se usa la relación simple para la energía potencial gravitacional local V = Mgl cos θ donde g es la aceleración debida a la gravedad, y el centro de masa de la parte superior está a una distancia l de su punta a lo largo de su eje z ' .

Los ángulos ψ , φ son cíclicos. Los momentos constantes son los momentos angulares de la parte superior sobre su eje y su precesión sobre la vertical, respectivamente:

De estos, eliminando / dt :

tenemos

y para eliminar / dt , sustituya este resultado en p ψ y resuelva para / dt para encontrar

El routhiano puede tomarse por

y desde

tenemos

El primer término es constante y se puede ignorar ya que solo las derivadas de R entrarán en las ecuaciones de movimiento. El routhiano simplificado, sin pérdida de información, es así

La ecuación de movimiento para θ es, por cálculo directo,

o introduciendo las constantes

se obtiene una forma más simple de la ecuación

Aunque la ecuación es altamente no lineal, solo hay una ecuación para resolver, se obtuvo directamente y las coordenadas cíclicas no están involucradas.

Por el contrario, el enfoque lagrangiano conduce a tres ecuaciones acopladas no lineales para resolver, a pesar de la ausencia de las coordenadas ψ y φ en el lagrangiano.

La ecuación θ es

la ecuación ψ es

y la ecuación φ es

Potenciales dependientes de la velocidad

Partícula cargada clásica en un campo magnético uniforme

Partícula cargada clásica en campo B uniforme , usando coordenadas cilíndricas. Arriba: Si la coordenada radial ry la velocidad angular / dt varían, la trayectoria es un helicoide con radio variable pero movimiento uniforme en la dirección z . Inferior: Constant r y / dt medios una helicoidales con radio constante.

Considere un clásico partícula cargada de masa m y carga eléctrica q en un estático (independiente del tiempo) uniforme (constante a través del espacio) de campo magnético B . El lagrangiano para una partícula cargada en un campo electromagnético general dado por el potencial magnético A y el potencial eléctrico es

Es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) , de modo que

En este caso sin campo eléctrico, el potencial eléctrico es cero , y podemos elegir el calibre axial para el potencial magnético

y el lagrangiano es

Observe que este potencial tiene una simetría efectivamente cilíndrica (aunque también depende de la velocidad angular), ya que la única dependencia espacial está en la longitud radial de un eje cilíndrico imaginario.

Hay dos coordenadas cíclicas, θ y z . La canónica momentos conjugados a θ y z son las constantes

entonces las velocidades son

El momento angular sobre el eje z no es p θ , sino la cantidad mr 2 / dt , que no se conserva debido a la contribución del campo magnético. El momento canónico p θ es la cantidad conservada. Sigue siendo cierto que p z es el momento lineal o de traslación a lo largo del eje z , que también se conserva.

La componente radial r y la velocidad angular / dt pueden variar con el tiempo, pero p θ es constante, y como p z es constante, se sigue que dz / dt es constante. El routhiano puede tomar la forma

donde en la última línea, el p z 2 /2 m término es una constante y se puede omitir sin pérdida de continuidad. Las ecuaciones hamiltonianas para θ y z desaparecen automáticamente y no necesitan ser resueltos para. La ecuación de Lagrange en r

es por cálculo directo

que después de recoger los términos es

y simplificando aún más introduciendo las constantes

la ecuación diferencial es

Para ver cómo cambia z con el tiempo, integre la expresión de momentos para p z anterior

donde c z es una constante arbitraria, el valor inicial de z se especificará en las condiciones iniciales .

El movimiento de la partícula en este sistema es helicoidal , con el movimiento axial uniforme (constante) pero los componentes radial y angular varían en una espiral de acuerdo con la ecuación de movimiento derivada anteriormente. Las condiciones iniciales en r , dr / dt , θ , / dt , determinarán si la trayectoria de la partícula tiene una r constante o una r variable . Si inicialmente r es distinto de cero pero dr / dt = 0 , mientras que θ y / dt son arbitrarios, entonces la velocidad inicial de la partícula no tiene componente radial, r es constante, por lo que el movimiento será en una hélice perfecta. Si r es constante, la velocidad angular también es constante de acuerdo con el p θ conservado .

Con el enfoque de Lagrange, la ecuación para r incluiría / dt que debe eliminarse, y habría ecuaciones para θ y z para resolver.

La ecuación r es

la ecuación θ es

y la ecuación z es

El z ecuación es trivial para integrar, pero el r y theta ecuaciones no son, en cualquier caso, el tiempo de derivados se mezclan en todas las ecuaciones y deben ser eliminadas.

Ver también

Notas al pie

Notas

Referencias

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