Cálculo de varillas - Rod calculus

El cálculo de varillas o cálculo de varillas fue el método mecánico de cálculo algorítmico con varillas de conteo en China desde los Estados Combatientes hasta la dinastía Ming antes de que las varillas de conteo fueran reemplazadas por el ábaco más conveniente y rápido . El cálculo de varillas jugó un papel clave en el desarrollo de las matemáticas chinas hasta su apogeo en la dinastía Song y la dinastía Yuan , que culminó con la invención de ecuaciones polinómicas de hasta cuatro incógnitas en el trabajo de Zhu Shijie .

Hardware

El equipo básico para realizar cálculos con varillas es un paquete de varillas y una tabla de contar. Las varillas de conteo suelen estar hechas de palos de bambú, de unos 12 cm a 15 cm de largo, de 2 mm a 4 mm de diámetro, a veces de huesos de animales o de marfil y jade (para los comerciantes adinerados). Un tablero de conteo puede ser un tablero de mesa, un tablero de madera con o sin rejilla, en el piso o en la arena.

En 1971, los arqueólogos chinos desenterraron un paquete de varillas de conteo de huesos de animales bien conservadas almacenadas en una bolsa de seda de una tumba en el condado de Qian Yang en la provincia de Shanxi, que se remonta a la primera mitad de la dinastía Han (206 a. C. - 8 d. C.). En 1975 se desenterró un paquete de varillas de bambú para contar.

El uso de varillas de conteo para el cálculo de varillas floreció en los Estados en Guerra , aunque no se encontraron artefactos arqueológicos antes de la dinastía Han Occidental (la primera mitad de la dinastía Han ; sin embargo, los arqueólogos descubrieron artefactos de software de cálculo de varillas que se remontan a los Estados en Guerra). ); Dado que el software de cálculo de barras debe haber ido junto con el hardware de cálculo de barras, no hay duda de que el cálculo de barras ya estaba floreciendo durante los Estados Combatientes hace más de 2.200 años.

Software

El software clave requerido para el cálculo de varillas era una simple tabla de multiplicación decimal posicional de 45 frases utilizada en China desde la antigüedad, llamada tabla nueve-nueve , que fue aprendida de memoria por alumnos, comerciantes, funcionarios gubernamentales y matemáticos por igual.

Números de varilla

Visualización de números

Los números de varilla es el único sistema numérico que utiliza una combinación de ubicación diferente de un solo símbolo para transmitir cualquier número o fracción en el sistema decimal. Para los números en el lugar de las unidades, cada varilla vertical representa 1. Dos varillas verticales representan 2, y así sucesivamente, hasta 5 varillas verticales, que representan 5. Para números entre 6 y 9, se utiliza un sistema biquinario , en el cual una barra horizontal en la parte superior de las barras verticales representan 5. La primera fila son los números del 1 al 9 en los números de las varillas, y la segunda fila son los mismos números en forma horizontal.

Para números mayores de 9, se usa un sistema decimal . Las barras colocadas en un lugar a la izquierda del lugar de las unidades representan 10 veces ese número. Para el lugar de las centenas, se coloca otro juego de varillas a la izquierda que representa 100 veces ese número, y así sucesivamente. Como se muestra en la imagen adyacente, el número 231 está representado con números de varilla en la fila superior, con una varilla en el lugar de las unidades que representa 1, tres varillas en el lugar de las decenas que representan 30 y dos varillas en el lugar de las centenas que representan 200, con una suma de 231.

Al hacer el cálculo, generalmente no había cuadrícula en la superficie. Si los números de varilla dos, tres y uno se colocan consecutivamente en forma vertical, existe la posibilidad de que se confunda con 51 o 24, como se muestra en la segunda y tercera fila de la imagen adyacente. Para evitar confusiones, los números en lugares consecutivos se colocan en forma alterna vertical y horizontal, con las unidades colocadas en forma vertical, como se muestra en la fila inferior a la derecha.

Visualización de ceros

En los números de Rod , los ceros están representados por un espacio, que sirve como número y como valor de marcador de posición. A diferencia de los números arábigos hindúes , no existe un símbolo específico para representar el cero. En la imagen adyacente, el número cero se representa simplemente con un espacio.

Números positivos y negativos

Los matemáticos de Song usaron el rojo para representar números positivos y el negro para números negativos . Sin embargo, otra forma es agregar una barra al último lugar para mostrar que el número es negativo.

Fracción decimal

El Tratado de Matemáticas de Sunzi utilizó la metrología de fracciones decimales. La unidad de longitud fue 1 chi ,

1 chi = 10 cun , 1 cun = 10 fen , 1 fen = 10 li , 1 li = 10 hao , 10 hao = 1 shi, 1 shi = 10 hu .

1 chi 2 cun 3 fen 4 li 5 hao 6 shi 7 hu se coloca en el tablero de conteo como

donde es la unidad de medida chi .

El matemático de la dinastía Song del Sur, Qin Jiushao, extendió el uso de la fracción decimal más allá de la metrología. En su libro Tratado matemático en nueve secciones , expresó formalmente 1.1446154 día como

日

Marcó la unidad con una palabra “日” (día) debajo.

Adición

El cálculo de varillas funciona según el principio de la suma. A diferencia de los números arábigos , los dígitos representados por varillas de conteo tienen propiedades aditivas. El proceso de suma implica mover mecánicamente las varillas sin necesidad de memorizar una tabla de suma . Esta es la mayor diferencia con los números arábigos, ya que uno no puede juntar mecánicamente 1 y 2 para formar 3, o 2 y 3 juntos para formar 5.

La imagen adyacente presenta los pasos para agregar 3748 a 289:

1. Coloque el augend 3748 en la primera fila y el sumando 289 en la segunda.
2. Calcule de IZQUIERDA a DERECHA, a partir del 2 de 289 primero.
3. Quite dos varillas de la parte inferior y agregue 7 en la parte superior para hacer 9.
4. Mueva 2 varillas de arriba hacia abajo 8, lleve una para avanzar a 9, que se convierte en cero y lleva a 3 para hacer 4, retire 8 de la fila inferior.
5. Mueva una barra de 8 en la fila superior a 9 en la parte inferior para formar un acarreo a la siguiente fila y agregue una barra a 2 barras en la fila superior para hacer 3 barras, fila superior izquierda 7.
6. Resultado 3748 + 289 = 4037

Las varillas en la leyenda cambian a lo largo de la adición, mientras que las varillas en el sumando en la parte inferior "desaparecen".

Sustracción

Sin pedir prestado

En una situación en la que no se necesita pedir prestado , solo se necesita tomar el número de barras en el sustraendo del minuendo . El resultado del cálculo es la diferencia. La imagen adyacente muestra los pasos para restar 23 de 54.

Préstamo

En situaciones en las que se necesita un préstamo, como 4231–789, es necesario utilizar un procedimiento más complicado. Los pasos de este ejemplo se muestran a la izquierda.

1. Coloque el minuendo 4231 en la parte superior y el sustraendo 789 en la parte inferior. Calcule de izquierda a derecha.
2. Tome prestado 1 del lugar de los miles para un diez en el lugar de las centenas, menos 7 de la fila de abajo, la diferencia 3 se suma al 2 en la parte superior para formar 5. El 7 en la parte inferior se resta, como se muestra en el espacio.
3. Toma prestado 1 del lugar de las centenas, lo que deja 4. El 10 en el lugar de las decenas menos el 8 de abajo da como resultado 2, que se suma al 3 de arriba para formar 5. La fila superior ahora es 3451, la inferior 9.
4. Pedir prestado 1 del 5 en el lugar de las decenas en la parte superior, lo que deja 4. El 1 tomado de las decenas es 10 en el lugar de las unidades, restando 9 lo que da como resultado 1, que se suma a la parte superior para formar 2. Con todas las barras en la fila inferior restada, el 3442 en la fila superior es entonces, el resultado del cálculo

Multiplicación

Sunzi Suanjing describió en detalle el algoritmo de multiplicación. A la izquierda están los pasos para calcular 38 × 76:

1. Coloque el multiplicando en la parte superior y el multiplicador en la parte inferior. Alinea el lugar de las unidades del multiplicador con el lugar más alto del multiplicando. Deje espacio en el medio para grabar.
2. Comience a calcular desde el lugar más alto del multiplicando (en el ejemplo, calcule 30 × 76 y luego 8 × 76). Usando la tabla de multiplicar 3 por 7 es 21. Coloca 21 en barras en el medio, con 1 alineado con el lugar de las decenas del multiplicador (encima de 7). Luego, 3 por 6 es igual a 18, coloca 18 como se muestra en la imagen. Con el 3 en el multiplicando multiplicado totalmente, quite las varillas.
3. Mueve el multiplicador un lugar a la derecha. Cambie 7 a forma horizontal, 6 a vertical.
4. 8 × 7 = 56, coloque 56 en la segunda fila en el medio, con el lugar de las unidades alineado con los dígitos multiplicados en el multiplicador. Saque 7 del multiplicador ya que se ha multiplicado.
5. 8 × 6 = 48, 4 sumados al 6 del último paso hace 10, se transfiere 1. Quite 8 de las unidades colocadas en el multiplicando y quite 6 en el lugar de las unidades del multiplicador.
6. Suma 2380 y 508 en el medio, lo que da como resultado 2888: el producto.

División

.

La animación de la izquierda muestra los pasos para calcular 309/7 = 441/7.

1. Coloque el dividendo, 309, en la fila del medio y el divisor, 7, en la fila de abajo. Deje espacio para la fila superior.
2. Mueva el divisor, 7, un lugar a la izquierda, cambiándolo a forma horizontal.
3. Usando la tabla de multiplicar y la división en chino , 30 ÷ 7 es igual a 4 resto 2. Coloque el cociente, 4, en la fila superior y el resto, 2, en la fila del medio.
4. Mueva el divisor un lugar a la derecha, cambiándolo a forma vertical. 29 ÷ 7 es igual a 4 resto 1. Coloca el cociente, 4, encima, dejando el divisor en su lugar. Coloque el resto en la fila del medio en lugar del dividendo en este paso. El resultado es que el cociente es 44 con un resto de 1

El algoritmo Sunzi para la división fue transmitido íntegramente por al Khwarizmi al país islámico de fuentes indias en 825AD. El libro de Al Khwarizmi se tradujo al latín en el siglo XIII. El algoritmo de la división Sunzi evolucionó posteriormente a la división Galley en Europa. El algoritmo de división en el libro 925AD de Abu'l-Hasan al-Uqlidisi , Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi, y en los Principios del cálculo hindú de Kushyar ibn Labban del siglo XI, eran idénticos al algoritmo de división de Sunzu.

Fracciones

Si hay un resto en una división de cálculo de varilla decimal con valor posicional, tanto el resto como el divisor deben dejarse en su lugar uno encima del otro. En las notas de Liu Hui a Jiuzhang suanshu (siglo II a. C.), el número de arriba se llama "shi" (实), mientras que el de abajo se llama "fa" (法). En Sunzi Suanjing , el número de arriba se llama "zi" (子) o "fenzi" (lit., hijo de fracción), y el de abajo se llama "mu" (母) o "fenmu" (lit. , madre de fracción). Fenzi y Fenmu son también el nombre chino moderno para numerador y denominador , respectivamente. Como se muestra a la derecha, 1 es el resto del numerador, 7 es el divisor del denominador, formado una fracción1/7. El cociente de la división309/7 es 44 + 1/7. Liu Hui usó muchos cálculos con fracciones en Haidao Suanjing .

Esta forma de fracción con numerador en la parte superior y denominador en la parte inferior sin una barra horizontal entremedio, fue transmitida al país árabe en un libro del 825 d.C. por al Khwarizmi a través de la India, y en uso por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y el siglo XV. el trabajo de Jamshīd al-Kāshī del siglo "Arithematic Key".

Adición

1/3 + 2/5

• Coloque los dos numeradores 1 y 2 en el lado izquierdo del tablero de conteo, coloque los dos denominadores 3 y 5 en el lado derecho
• Multiplica 1 con 5, 2 con 3 para obtener 5 y 6, reemplaza los numeradores con los productos cruzados correspondientes.
• Multiplica los dos denominadores 3 × 5 = 15, ponlos abajo a la derecha
• Sume los dos numeradores 5 y 6 = 11 colocados en la parte superior derecha del tablero de conteo.
• Resultado: 1/3 + 2/5 = 11/15

Sustracción

8/9 - 1/5

• Coloque el número de varilla para los numeradores 1 y 8 en el lado izquierdo de una tabla de conteo
• Coloque las barras para los denominadores 5 y 9 en el lado derecho de una tabla de conteo.
• Multiplica en cruz 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40, reemplaza los numeradores correspondientes
• Multiplica los denominadores 5 × 9 = 45, coloca 45 en la parte inferior derecha del tablero de conteo, reemplaza el denominador 5
• Restar 40 - 9 = 31, poner arriba a la derecha.
• Resultado: 8/9 - 1/5 = 31/45

Multiplicación

31/3 × 52/5

• Organizar las varillas de conteo para 31/3 y 52/5 en el tablero de conteo como formato de tabulación shang, shi, fa.
• shang veces fa suma a shi: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• shi multiplicado por shi: 10 × 27 = 270
• fa multiplicado por fa: 3 × 5 = 15
• shi dividido por fa: 31/3 × 52/5 = 18

Mayor factor común y reducción de fracciones

El algoritmo para encontrar el factor común más alto de dos números y la reducción de la fracción se diseñó en Jiuzhang suanshu . El factor común más alto se encuentra por división sucesiva con residuos hasta que los dos últimos residuos sean idénticos. La animación de la derecha ilustra el algoritmo para encontrar el factor común más alto de32,450,625/59,056,400 y reducción de una fracción.

En este caso, el hcf es 25.

Divide el numerador y el denominador por 25. La fracción reducida es1.298.025/2,362,256.

Interpolación

El calendarista y matemático He Chengtian (何承天) utilizó el método de interpolación de fracciones , llamado "armonización del divisor del día" (调 日 法) para obtener un valor aproximado mejor que el anterior al sumar iterativamente los numeradores y denominadores una fracción "más débil". con una "fracción más fuerte". Π legendario de Zu Chongzhi =355/113 podría obtenerse con el método de He Chengtian

Sistema de ecuaciones lineales

El capítulo ocho matrices rectangulares de Jiuzhang suanshu proporcionó un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones lineales por método de eliminación :

Problema 8-1: Suponga que tenemos 3 paquetes de cereales de alta calidad, 2 paquetes de cereales de calidad media y un paquete de cereales de baja calidad con un peso acumulado de 39 dou. También tenemos 2, 3 y 1 manojos de cereales respectivos por un valor de 34 dou; también tenemos 1,2 y 3 paquetes de cereales respectivos, por un total de 26 dou.

Encuentre la cantidad de cereales de calidad superior, media y baja. En álgebra, este problema se puede expresar en tres ecuaciones de sistema con tres incógnitas.

${\ Displaystyle {\ begin {cases} 3x + 2y + z = 39 \\ 2x + 3y + z = 34 \\ x + 2y + 3z = 26 \ end {cases}}}$

Este problema se resolvió en Jiuzhang suanshu con varillas de conteo dispuestas en un tablero de conteo en un formato tabular similar a una matriz de 3x4:

calidad	columna izquierda	columna central	columna derecha
cima
medio
bajo
shi

Algoritmo:

• Multiplique la columna central con el número de calidad superior de la columna derecha.
• Reste repetidamente la columna derecha de la columna central, hasta que el número superior de la columna central = 0
• multiplique la columna de la izquierda con el valor de la fila superior de la columna de la derecha
• Reste repetidamente la columna derecha de la columna izquierda, hasta que el número superior de la columna izquierda = 0
• Después de aplicar el algoritmo de eliminación anterior a la columna central reducida y la columna izquierda, la matriz se redujo a forma triangular:

calidad	columna izquierda	columna central	columna derecha
cima
medio
bajo
shi

La cantidad de un paquete de cereal de baja calidad =${\ Displaystyle {\ frac {99} {36}} = 2 {\ frac {3} {4}}}$

De donde se puede encontrar fácilmente la cantidad de un paquete de cereales de calidad superior y media:

Un paquete de cereales de primera calidad = 9 dou ${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}}}$

Un paquete de cereal mediano = 4 dou > ${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}}}$

Extracción de raíz cuadrada

El algoritmo para la extracción de la raíz cuadrada se describió en Jiuzhang suanshu y con una pequeña diferencia en la terminología en Sunzi Suanjing .

La animación muestra el algoritmo para la extracción del cálculo de varillas de una aproximación de la raíz cuadrada del algoritmo del problema 19 del capítulo 2 de Sunzi Suanjing: ${\ Displaystyle {\ sqrt {234567}} \ approx 484 {\ tfrac {311} {968}}}$

Ahora hay un área cuadrada 234567, encuentra un lado del cuadrado .

El algoritmo es como sigue:

• Coloque 234567 en el tablero de conteo, en la segunda fila desde arriba, llamado shi
• Configure un marcador 1 en la posición 10000 en la cuarta fila llamada xia fa
• Estime el primer dígito de la raíz cuadrada para contar el número 4 de la varilla, colóquelo en la posición de centenas de la fila superior ( shang ),
• Multiplique el shang 4 con xiafa 1, coloque el producto 4 en la tercera fila llamada fang fa
• Multiplica shang por fang fa, resta el producto 4x4 = 16 de shi : 23-16 = 7, sigue siendo el número 7.
• dobla el colmillo fa 4 para convertirlo en 8, cambia una posición a la derecha y cambia el 8 vertical a 8 horizontal después de moverlo a la derecha.
• Mueve xia fa dos posiciones a la derecha.
• Estime el segundo dígito de shang como 8: coloque el número 8 en la décima posición de la fila superior.
• Multiplica xia fa con el nuevo dígito de shang , suma a fang fa

.

• 8 llamadas 8 = 64, reste 64 del número de la fila superior "74", dejando una barra en el dígito más significativo.
• duplica el último dígito de fang fa 8, suma 80 = 96
• Mueva fang fa 96 una posición a la derecha, cambie la convención, mueva xia fa "1" dos posiciones a la derecha.
• Estima que el tercer dígito de shang es 4.
• Multiplica el nuevo dígito de shang 4 con xia fa 1, combinado con fang fa para hacer 964.
• reste sucesivamente 4 * 9 = 36,4 * 6 = 24,4 * 4 = 16 del shi , dejando 311
• duplica el último dígito 4 de fang fa en 8 y fusiona con fang fa
• resultado ${\ Displaystyle {\ sqrt {234567}} \ approx 484 {\ tfrac {311} {968}}}$

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, desarrolló un algoritmo multiplicativo aditivo para la extracción de raíces cuadradas , en el que reemplazó la tradicional "duplicación" de "fang fa" agregando el dígito shang al dígito fang fa , con el mismo efecto.

Extracción de raíz cúbica

Jiuzhang suanshu vol iv "shaoguang" proporcionó un algoritmo para la extracción de raíz cúbica.

〔一九〕 今 有 積 一百 八十 六萬 八百 六十 七尺。 問 為 立方 幾何？ 答曰 ： 一百 二十 三尺。

Problema 19: Tenemos un chi cúbico de 1860867, ¿cuál es la longitud de un lado? Respuesta: 123 chi.

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, inventó un método similar a la forma simplificada del esquema de Horner para la extracción de raíces cúbicas. La animación de la derecha muestra el algoritmo de Jia Xian para resolver el problema 19 en Jiuzhang suanshu vol 4.

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {(}} 1860867) = 123}$

Ecuación polinomial

El matemático de la dinastía Song del Norte, Jia Xian, inventó el esquema de Horner para resolver una ecuación simple de cuarto orden de la forma.

${\ Displaystyle x ^ {4} = a}$

El matemático de la dinastía Song del Sur, Qin Jiushao, mejoró el método Horner de Jia Xian para resolver la ecuación polinómica hasta el décimo orden. El siguiente es un algoritmo para resolver

${\ Displaystyle -x ^ {4} + 15245x ^ {2} -6262506.25 = 0}$en su Tratado de Matemáticas en Nueve Secciones, volumen 6, problema 2.

Esta ecuación se organizó de abajo hacia arriba con varillas de conteo en un tablero de conteo en forma tabular

0	shang	raíz
626250625	shi	constante
0	colmillo	coeficiente de x
15245	shang lian	coef positivo de x ^ 2
0	fu lian	coef negativo de x ^ 2
0	xia lian	coef de x ^ 3
1	yi yu	coef negativo de X ^ 4

Algoritmo:

1. Organice los coeficientes en forma tabular, constante en shi, coeficiente de x en shang lian, coeficiente de X ^ 4 en yi yu; alinee los números en el rango de la unidad.
2. Avanza shang lian dos rangos
3. Avanza yi yu tres rangos
4. Estimar shang = 20
5. sea ​​xia lian = shang * yi yu
6. deja fu lian = shang * yi yu
7. fusionar fu lian con shang lian
8. deja fang = shang * shang lian
9. restar shang * fang de shi
10. agregue shang * yi yu a xia lian
11. retractarse xia lian 3 rangos, retractarse yi yu 4 rangos
12. El segundo dígito de shang es 0
13. fusionar shang lian en fang
14. fusionar yi yu en xia lian
15. Suma yi yu a fu lian, resta el resultado de fang, deja que el resultado sea denominador
16. encuentra el factor común más alto = 25 y simplifica la fracción ${\ displaystyle {\ frac {32450625} {59056400}}}$
17. solución ${\ displaystyle x = 20 {\ frac {1298205} {2362256}}}$

Tian Yuan shu

El matemático de la dinastía Yuan Li Zhi desarrolló el cálculo de varillas en Tian yuan shu

Ejemplo Li Zhi Ceyuan haijing vol II, ecuación del problema 14 de una incógnita:

${\ Displaystyle -x ^ {2} -680x + 96000 = 0}$

元

Ecuaciones polinomiales de cuatro incógnitas

El matemático Zhu Shijie desarrolló aún más el cálculo de varillas para incluir ecuaciones polinómicas de 2 a cuatro incógnitas.

Por ejemplo, polinomios de tres incógnitas:

Ecuación 1:${\ Displaystyle -yzy ^ {2} * x-x + xyz = 0}$

太

Ecuación 2:${\ Displaystyle -y-z + xx ^ {2} + xz = 0}$

Ecuación 3:${\ Displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} + x ^ {2} = 0;}$

太

Después de la eliminación sucesiva de dos incógnitas, las ecuaciones polinómicas de tres incógnitas se redujeron a una ecuación polinomial de una incógnita:

${\ Displaystyle x ^ {4} -6x ^ {3} + 4x ^ {2} + 6x-5 = 0}$

Resuelto x = 5;

Ver también

• Matemáticas chinas
• Contando varillas

Referencias

• Lam Lay Yong (蓝 丽蓉) Ang Tian Se (洪 天赐), Pasos fugaces, World Scientific ISBN  981-02-3696-4
• Jean Claude Martzloff, Una historia de las matemáticas chinas ISBN  978-3-540-33782-9