Tensor de curvatura de Riemann - Riemann curvature tensor

En el campo matemático de la geometría diferencial , el tensor de curvatura de Riemann o tensor de Riemann-Christoffel (después de Bernhard Riemann y Elwin Bruno Christoffel ) es la forma más común de expresar la curvatura de las variedades de Riemann . Asigna un tensor a cada punto de una variedad de Riemann (es decir, es un campo tensorial ). Es un invariante local de la métrica de Riemann que mide la falla de las segundas derivadas covariantes para conmutar. Una variedad de Riemann tiene curvatura cero si y solo si es plana , es decir, localmente isométrica al espacio euclidiano . El tensor de curvatura también se puede definir para cualquier variedad pseudo-Riemanniana , o de hecho cualquier variedad equipada con una conexión afín .

Es una herramienta matemática central en la teoría de la relatividad general , la teoría moderna de la gravedad , y la curvatura del espacio-tiempo es, en principio, observable a través de la ecuación de desviación geodésica . El tensor de curvatura representa la fuerza de marea experimentada por un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de una geodésica en un sentido precisado por la ecuación de Jacobi .

Definición

Sea ( M , g) una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana , y sea ​​el espacio de todos los campos vectoriales en M. Definimos el tensor de curvatura de Riemann como un mapa mediante la siguiente fórmula que está en términos de la conexión Levi-Civita :

o equivalente

donde [ X , Y ] es el soporte de Lie de los campos vectoriales y es un conmutador de operadores diferenciales. Para cada par de vectores tangentes u , v , R ( u , v ) es una transformación lineal del espacio tangente de la variedad. Es lineal en u y v , por lo que define un tensor. En ocasiones, el tensor de curvatura se define con el signo opuesto.

Si y son campos de vectores de coordenadas, entonces y, por lo tanto, la fórmula se simplifica a

El tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante , y como tal es la obstrucción de integrabilidad para la existencia de una isometría con el espacio euclidiano (llamado, en este contexto, espacio plano ). La transformación lineal también se denomina transformación de curvatura o endomorfismo .

La fórmula de la curvatura también se puede expresar en términos de la segunda derivada covariante definida como:

que es lineal en u y v . Luego:

Así, en el caso general de los vectores no coordinados u y v , el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la segunda derivada covariante.

Significado geométrico

Una ilustración de la motivación de la curvatura de Riemann en una variedad esférica . El hecho de que este transporte pueda definir dos vectores diferentes en el punto de inicio da lugar al tensor de curvatura de Riemann. El símbolo del ángulo recto denota que el producto interno (dado por el tensor métrico ) entre los vectores transportados (o vectores tangentes de las curvas) es 0.

Informalmente

Se pueden ver los efectos del espacio curvo comparando una cancha de tenis y la Tierra. Comience en la esquina inferior derecha de la cancha de tenis, con una raqueta hacia el norte. Luego, mientras camina por el contorno de la cancha, en cada paso asegúrese de que la raqueta de tenis se mantenga en la misma orientación, paralela a sus posiciones anteriores. Una vez que se completa el bucle, la raqueta de tenis estará paralela a su posición inicial. Esto se debe a que las canchas de tenis están construidas para que la superficie sea plana. Por otro lado, la superficie de la Tierra es curva: podemos completar un bucle en la superficie de la Tierra. Comenzando en el ecuador, apunte una raqueta de tenis hacia el norte a lo largo de la superficie de la Tierra. Una vez más, la raqueta de tenis debe permanecer siempre paralela a su posición anterior, tomando como referencia el plano local del horizonte. Para este camino, primero camine hacia el polo norte, luego gire 90 grados y camine hacia el ecuador, y finalmente gire 90 grados y camine de regreso al inicio. Sin embargo, ahora la raqueta de tenis apuntará hacia atrás (hacia el este). Este proceso es similar al transporte paralelo de un vector a lo largo del camino y la diferencia identifica cómo las líneas que parecen "rectas" son sólo "rectas" localmente. Cada vez que se completa un bucle, la raqueta de tenis se desviará más de su posición inicial en una cantidad que dependerá de la distancia y la curvatura de la superficie. Es posible identificar caminos a lo largo de una superficie curva donde el transporte paralelo funciona como lo hace en un espacio plano. Estas son las geodésicas del espacio, por ejemplo, cualquier segmento de un gran círculo de una esfera.

El concepto de espacio curvo en matemáticas difiere del uso conversacional. Por ejemplo, si el proceso anterior se completó en un cilindro, uno encontraría que no está curvado en general ya que la curvatura alrededor del cilindro se cancela con la planitud a lo largo del cilindro, esto es una consecuencia de la curvatura gaussiana y el teorema de Gauss-Bonnet . Un ejemplo familiar de esto es una rebanada de pizza flexible que permanecerá rígida a lo largo de su longitud si se curva a lo largo de su ancho.

El tensor de curvatura de Riemann es una forma de capturar una medida de la curvatura intrínseca. Cuando lo escribe en términos de sus componentes (como escribir los componentes de un vector), consiste en una matriz multidimensional de sumas y productos de derivadas parciales (algunas de esas derivadas parciales pueden considerarse similares a capturar la curvatura impuesta a alguien que camina en línea recta sobre una superficie curva).

Formalmente

Cuando un vector en un espacio euclidiano se transporta en paralelo alrededor de un bucle, nuevamente apuntará en la dirección inicial después de regresar a su posición original. Sin embargo, esta propiedad no se mantiene en el caso general. El tensor de curvatura de Riemann mide directamente la falla de este en una variedad Riemanniana general . Esta falla se conoce como la no holonomía de la variedad.

Vamos x t ser una curva en una variedad de Riemann M . Denote por τ x t  : T x 0 M → T x t M el mapa de transporte paralelo a lo largo de x t . Los mapas de transporte paralelo están relacionados con la derivada covariante por

para cada campo vectorial Y definido a lo largo de la curva.

Suponga que X e Y son un par de campos vectoriales de conmutación. Cada uno de estos campos genera un grupo de difeomorfismos de un parámetro en un entorno de x 0 . Denote por τ tX y τ tY , respectivamente, los transportes paralelos a lo largo de los flujos de X e Y para el tiempo t . El transporte paralelo de un vector Z ∈ T x 0 M alrededor del cuadrilátero con lados tY , sX , - tY , - sX viene dado por

Esto mide la insuficiencia de transporte paralelo a volver Z a su posición original en el espacio tangente T x 0 M . Reducir el ciclo enviando s , t → 0 da la descripción infinitesimal de esta desviación:

donde R es el tensor de curvatura de Riemann.

Expresión de coordenadas

Convirtiendo a la notación del índice del tensor , el tensor de curvatura de Riemann viene dado por

donde están los campos del vector de coordenadas. La expresión anterior se puede escribir usando símbolos de Christoffel :

(ver también la lista de fórmulas en geometría riemanniana ).

El tensor de curvatura de Riemann también es el conmutador de la derivada covariante de un covector arbitrario consigo mismo:

ya que la conexión no tiene torsión, lo que significa que el tensor de torsión desaparece.

Esta fórmula a menudo se denomina identidad de Ricci . Este es el método clásico utilizado por Ricci y Levi-Civita para obtener una expresión para el tensor de curvatura de Riemann. De esta forma se demuestra el carácter tensorial del conjunto de cantidades .

Esta identidad se puede generalizar para obtener los conmutadores de dos derivadas covariantes de tensores arbitrarios de la siguiente manera

Esta fórmula también se aplica a densidades de tensor sin alteración, porque para la conexión Levi-Civita ( no genérica ) se obtiene:

dónde

A veces es conveniente definir también la versión puramente covariante por

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes simetrías e identidades:

Simetría sesgada
Simetría sesgada
Primera identidad (algebraica) de Bianchi
Simetría de intercambio
Segunda identidad Bianchi (diferencial)

donde el corchete se refiere al producto interno en el espacio tangente inducido por el tensor métrico .

La primera identidad (algebraica) de Bianchi fue descubierta por Ricci , pero a menudo se la llama la primera identidad de Bianchi o identidad algebraica de Bianchi , porque se parece a la identidad de Bianchi a continuación. (Además, si hay una torsión distinta de cero , la primera identidad de Bianchi se convierte en una identidad diferencial del tensor de torsión ). A menudo se escribe:

donde los corchetes denotan la parte antisimétrica en los índices indicados. Esto es equivalente a la versión anterior de la identidad porque el tensor de Riemann ya está sesgado en sus dos últimos índices.

Las primeras tres identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisfaga las identidades anteriores, se puede encontrar una variedad riemanniana con tal tensor de curvatura en algún punto. Los cálculos simples muestran que dicho tensor tiene componentes independientes. De estos se sigue la simetría de intercambio. Las simetrías algebraicas también equivalen a decir que R pertenece a la imagen del simetrizador de Young correspondiente a la partición 2 + 2.

En una variedad de Riemann, uno tiene la derivada covariante y la identidad Bianchi (a menudo llamada la segunda identidad Bianchi o identidad Bianchi diferencial) toma la forma de la última identidad en la tabla.

Curvatura de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci es la contracción del primer y tercer índice del tensor de Riemann.

Casos especiales

Superficies

Para una superficie bidimensional , las identidades de Bianchi implican que el tensor de Riemann tiene solo un componente independiente, lo que significa que el escalar de Ricci determina completamente el tensor de Riemann. Solo hay una expresión válida para el tensor de Riemann que se ajusta a las simetrías requeridas:

y al contraer dos veces con la métrica encontramos la forma explícita:

donde es el tensor métrico y es una función llamada la curvatura gaussiana y una , b , c y d toman valores de 1 o 2. El Riemann tensor tiene sólo un componente funcionalmente independiente. La curvatura gaussiana coincide con la curvatura seccional de la superficie. También es exactamente la mitad de la curvatura escalar de la variedad 2, mientras que el tensor de curvatura de Ricci de la superficie viene dado simplemente por

Formas espaciales

Una variedad de Riemann es una forma de espacio si su curvatura en sección es igual a una constante K . El tensor de Riemann de una forma espacial está dado por

A la inversa, excepto en la dimensión 2, si la curvatura de una variedad de Riemann tiene esta forma para alguna función K , entonces las identidades de Bianchi implican que K es constante y, por lo tanto, que la variedad es (localmente) una forma espacial.

Ver también

Citas

Referencias