Paradoja del cuervo - Raven paradox

Un cuervo negro
Un cuervo negro
Manzanas verdes y rojas ("no cuervos no negros")
No
cuervos no negros
La paradoja del cuervo sugiere que ambas imágenes aportan evidencia a la suposición de que todos los cuervos son negros.

La paradoja del cuervo , también conocida como la paradoja de Hempel , los cuervos de Hempel , o raramente la paradoja de la ornitología de interior , es una paradoja que surge de la cuestión de qué constituye evidencia para una declaración. La observación de objetos que no son ni negros ni cuervos puede aumentar formalmente la probabilidad de que todos los cuervos sean negros aunque, intuitivamente, estas observaciones no están relacionadas.

Este problema fue propuesto por el lógico Carl Gustav Hempel en la década de 1940 para ilustrar una contradicción entre la lógica inductiva y la intuición .

Paradoja

Hempel describe la paradoja en términos de la hipótesis :

(1) Todos los cuervos son negros . En forma de implicación, esto se puede expresar como: Si algo es un cuervo, entonces es negro.

Por contraposición , esta afirmación equivale a:

(2) Si algo no es negro, entonces no es un cuervo.

En todas las circunstancias en las que (2) es verdadera, (1) también es verdadera, y del mismo modo, en todas las circunstancias en las que (2) es falsa (es decir, si se imagina un mundo en el que algo que no era negro, pero era un cuervo, existido), (1) también es falso.

Dada una declaración general como que todos los cuervos son negros , una forma de la misma declaración que se refiere a una instancia observable específica de la clase general normalmente se consideraría que constituye evidencia para esa declaración general. Por ejemplo,

(3) Mi cuervo mascota es negro.

Hay evidencia que apoya la hipótesis de que todos los cuervos son negros .

La paradoja surge cuando este mismo proceso se aplica al enunciado (2). Al avistar una manzana verde, se puede observar:

(4) Esta manzana verde no es negra y no es un cuervo.

Por el mismo razonamiento, esta afirmación es evidencia de que (2) si algo no es negro, entonces no es un cuervo. Pero dado que (como arriba) esta afirmación es lógicamente equivalente a (1) todos los cuervos son negros , se deduce que la vista de una manzana verde es evidencia que apoya la noción de que todos los cuervos son negros. Esta conclusión parece paradójica porque implica que se ha obtenido información sobre los cuervos mirando una manzana.

Resoluciones propuestas

El criterio de Nicod dice que solo las observaciones de los cuervos deberían afectar la opinión de uno sobre si todos los cuervos son negros. La observación de más casos de cuervos negros debería respaldar la vista, la observación de cuervos blancos o de colores debería contradecirla, y las observaciones de los que no son cuervos no deberían tener ninguna influencia.

La condición de equivalencia de Hempel establece que cuando una proposición, X, proporciona evidencia a favor de otra proposición Y, entonces X también proporciona evidencia a favor de cualquier proposición que sea lógicamente equivalente a Y.

Siendo realistas, el conjunto de cuervos es finito. El conjunto de cosas no negras es infinito o está más allá de la enumeración humana. Para confirmar la afirmación 'Todos los cuervos son negros', sería necesario observar a todos los cuervos. Esto es difícil pero posible. Para confirmar la afirmación 'Todas las cosas que no son negras son no cuervos', sería necesario examinar todas las cosas que no son negras. Esto no es posible. Observar un cuervo negro podría considerarse una cantidad finita de evidencia confirmatoria, pero observar un no cuervo que no sea negro sería una cantidad infinitesimal de evidencia.

La paradoja muestra que el criterio de Nicod y la condición de equivalencia de Hempel no son mutuamente consistentes. Una resolución a la paradoja debe rechazar al menos uno de:

  1. instancias negativas que no tienen influencia (! PC),
  2. condición de equivalencia (EC), o,
  3. validación por instancias positivas (NC).

Una resolución satisfactoria también debería explicar por qué ingenuamente parece haber una paradoja. Las soluciones que aceptan la conclusión paradójica pueden hacer esto presentando una proposición que intuitivamente sabemos que es falsa pero que se confunde fácilmente con (PC), mientras que las soluciones que rechazan (EC) o (NC) deben presentar una proposición que intuitivamente sabemos que ser cierto pero que se confunde fácilmente con (EC) o (NC).

Aceptando no cuervos como relevantes

Aunque esta conclusión de la paradoja parece contraria a la intuición, algunos enfoques aceptan que las observaciones de los no cuervos (de color) pueden de hecho constituir una evidencia válida en apoyo de las hipótesis sobre (la negrura universal de) los cuervos.

La resolución de Hempel

El mismo Hempel aceptó la conclusión paradójica, argumentando que la razón por la que el resultado parece paradójico es que poseemos información previa sin la cual la observación de un no cuervo no negro proporcionaría evidencia de que todos los cuervos son negros.

Lo ilustra con el ejemplo de la generalización "Todas las sales de sodio se queman de color amarillo" y nos pide que consideremos la observación que ocurre cuando alguien sostiene un trozo de hielo puro en una llama incolora que no se vuelve amarilla:

Este resultado confirmaría la afirmación, "Todo lo que no arde de color amarillo no es sal de sodio" y, en consecuencia, en virtud de la condición de equivalencia, confirmaría la formulación original. ¿Por qué esto nos impresiona como paradójico? La razón se vuelve clara cuando comparamos la situación anterior con el caso de un experimento en el que un objeto cuya constitución química es aún desconocida para nosotros se mantiene en una llama y no lo vuelve amarillo, y donde el análisis posterior revela que no contiene sodio. sal. Este resultado, sin duda deberíamos estar de acuerdo, es lo que se esperaba sobre la base de la hipótesis ... por lo tanto, los datos aquí obtenidos constituyen evidencia que confirma la hipótesis. ... En los casos aparentemente paradójicos de confirmación, a menudo no estamos juzgando realmente la relación de la evidencia dada, solo E con la hipótesis H ... introducimos tácitamente una comparación de H con un cuerpo de evidencia que consiste en E en junto con una cantidad adicional de información que tenemos a nuestra disposición; en nuestra ilustración, esta información incluye el conocimiento (1) de que la sustancia utilizada en el experimento es hielo y (2) de que el hielo no contiene sal de sodio. Si asumimos esta información adicional como dada, entonces, por supuesto, el resultado del experimento no puede agregar fuerza a la hipótesis bajo consideración. Pero si tenemos cuidado de evitar esta referencia tácita al conocimiento adicional ... las paradojas se desvanecen.

Solución estándar bayesiana

Una de las resoluciones propuestas más populares es aceptar la conclusión de que la observación de una manzana verde proporciona evidencia de que todos los cuervos son negros, pero argumentar que la cantidad de confirmación proporcionada es muy pequeña, debido a la gran discrepancia entre el número de cuervos y el número de objetos que no son negros. Según esta resolución, la conclusión parece paradójica porque intuitivamente estimamos que la cantidad de evidencia proporcionada por la observación de una manzana verde es cero, cuando en realidad es diferente de cero pero extremadamente pequeña.

La presentación de IJ Good de este argumento en 1960 es quizás la más conocida, y las variaciones del argumento han sido populares desde entonces, aunque se había presentado en 1958 y las primeras formas del argumento aparecieron ya en 1940.

El argumento de Good implica calcular el peso de la evidencia proporcionada por la observación de un cuervo negro o un zapato blanco a favor de la hipótesis de que todos los cuervos en una colección de objetos son negros. El peso de la evidencia es el logaritmo del factor de Bayes , que en este caso es simplemente el factor por el cual las probabilidades de la hipótesis cambian cuando se realiza la observación. El argumento es el siguiente:

... supongamos que hay objetos que pueden verse en cualquier momento, de los cuales son cuervos y son negros, y que cada uno de los objetos tiene probabilidad de ser visto. Sea la hipótesis de que existen cuervos no negros, y supongamos que las hipótesis son inicialmente equiprobables. Entonces, si vemos un cuervo negro, el factor de Bayes a favor es
es decir, alrededor de 2 si se sabe que el número de cuervos en existencia es grande. Pero el factor si vemos un zapato blanco es solo
y esto excede la unidad solo en aproximadamente si es grande en comparación con . Por lo tanto, el peso de la evidencia proporcionada por la vista de un zapato blanco es positivo, pero es pequeño si se sabe que el número de cuervos es pequeño en comparación con el número de objetos que no son negros.

Muchos de los proponentes de esta resolución y variantes de la misma han sido defensores de la probabilidad bayesiana, y ahora se la llama comúnmente la solución bayesiana, aunque, como observa Chihara , "no existe tal cosa como la solución bayesiana. Hay muchas diferentes". soluciones 'que los bayesianos han presentado utilizando técnicas bayesianas ". Los enfoques notables que utilizan técnicas bayesianas (algunas de las cuales aceptan! PC y en su lugar rechazan NC) incluyen a Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum , Howson y Urbach, Mackie y Hintikka, quien afirma que su enfoque es "más bayesiano que el llamada 'solución bayesiana' de la misma paradoja ". Los enfoques bayesianos que utilizan la teoría de la inferencia inductiva de Carnap incluyen a Humburg, Maher y Fitelson & Hawthorne. Vranas introdujo el término "Solución Bayesiana Estándar" para evitar confusiones.

Enfoque Carnap

Maher acepta la conclusión paradójica y la refina:

Un no cuervo (de cualquier color) confirma que todos los cuervos son negros porque

(i) la información de que este objeto no es un cuervo elimina la posibilidad de que este objeto sea un contraejemplo de la generalización, y
(ii) reduce la probabilidad de que los objetos no observados sean cuervos, reduciendo así la probabilidad de que sean contraejemplos de la generalización.

Para llegar a (ii), apela a la teoría de la probabilidad inductiva de Carnap, que es (desde el punto de vista bayesiano) una forma de asignar probabilidades previas que implementa naturalmente la inducción. Según la teoría de Carnap, la probabilidad posterior`` de que un objeto`` tenga un predicado`` , después de que se haya observado la evidencia , es:

donde es la probabilidad inicial que tiene el predicado ; es el número de objetos que se han examinado (según la evidencia disponible ); es el número de objetos examinados que resultaron tener el predicado , y es una constante que mide la resistencia a la generalización.

Si está cerca de cero, estará muy cerca de uno después de una sola observación de un objeto que resultó tener el predicado , mientras que si es mucho más grande que , estará muy cerca, independientemente de la fracción de objetos observados que tengan el predicado. .

Usando este enfoque de Carnapio, Maher identifica una proposición que intuitivamente (y correctamente) sabemos que es falsa, pero que fácilmente confundimos con la conclusión paradójica. La proposición en cuestión es que la observación de los no cuervos nos dice sobre el color de los cuervos. Si bien esto es intuitivamente falso y también es falso de acuerdo con la teoría de la inducción de Carnap, la observación de no cuervos (de acuerdo con esa misma teoría) hace que reduzcamos nuestra estimación del número total de cuervos y, por lo tanto, reduce el número estimado de posibles contraejemplos a la regla de que todos los cuervos son negros.

Por lo tanto, desde el punto de vista bayesiano-carnapiano, la observación de un no cuervo no nos dice nada sobre el color de los cuervos, pero nos dice sobre la prevalencia de los cuervos, y apoya "Todos los cuervos son negros" al reducir nuestro estimación del número de cuervos que podrían no ser negros.

Papel del conocimiento previo

Gran parte de la discusión sobre la paradoja en general y el enfoque bayesiano en particular se ha centrado en la relevancia del conocimiento previo. Sorprendentemente, Maher muestra que, para una gran clase de posibles configuraciones de conocimiento previo, la observación de un no cuervo no negro proporciona exactamente la misma confirmación que la observación de un cuervo negro. Las configuraciones de conocimiento de fondo que él considera son aquellas que son proporcionadas por una proposición de muestra , es decir, una proposición que es una conjunción de proposiciones atómicas, cada una de las cuales atribuye un solo predicado a un solo individuo, sin dos proposiciones atómicas que involucren al mismo individuo. . Por tanto, una proposición de la forma "A es un cuervo negro y B es un zapato blanco" puede considerarse una proposición de muestra tomando como predicados "cuervo negro" y "zapato blanco".

La prueba de Maher parece contradecir el resultado del argumento bayesiano, que era que la observación de un no cuervo no negro proporciona mucha menos evidencia que la observación de un cuervo negro. La razón es que el conocimiento de fondo que utilizan Good y otros no puede expresarse en forma de una proposición de muestra; en particular, las variantes del enfoque bayesiano estándar a menudo suponen (como Good hizo en el argumento citado anteriormente) que el número total de cuervos, objetos no negros y / o el número total de objetos, son cantidades conocidas. Maher comenta que, "La razón por la que pensamos que hay más cosas no negras que cuervos es porque eso ha sido cierto para las cosas que hemos observado hasta la fecha. La evidencia de este tipo se puede representar mediante una proposición de muestra. Pero ... dado cualquier proposición de muestra como evidencia de fondo, un no-cuervo no negro confirma A tan fuertemente como lo hace un cuervo negro ... Por lo tanto, mi análisis sugiere que esta respuesta a la paradoja [es decir, la Bayesiana estándar] no puede ser correcta ".

Fitelson & Hawthorne examinaron las condiciones bajo las cuales la observación de un cuervo no negro proporciona menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Muestran que, si es un objeto seleccionado al azar, es la proposición de que el objeto es negro, y es la proposición de que el objeto es un cuervo, entonces la condición:

es suficiente para que la observación de un no cuervo no negro proporcione menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Aquí, una línea sobre una proposición indica la negación lógica de esa proposición.

Esta condición no nos dice qué tan grande es la diferencia en la evidencia proporcionada, pero un cálculo posterior en el mismo documento muestra que el peso de la evidencia proporcionada por un cuervo negro excede en aproximadamente a la proporcionada por un no cuervo no negro . Esto es igual a la cantidad de información adicional (en bits, si la base del logaritmo es 2) que se proporciona cuando se descubre que un cuervo de color desconocido es negro, dada la hipótesis de que no todos los cuervos son negros.

Fitelson & Hawthorne explican que:

En circunstancias normales, puede rondar entre 0,9 o 0,95; también lo es alrededor de 1,11 o 1,05. Por lo tanto, puede parecer que una sola instancia de un cuervo negro no brinda mucho más apoyo que un no cuervo no negro. Sin embargo, en condiciones plausibles, se puede demostrar que una secuencia de instancias (es decir, de n cuervos negros, en comparación con n no cuervos no negros) produce una proporción de razones de probabilidad del orden de , que aumenta significativamente para grandes .

Los autores señalan que su análisis es completamente consistente con la suposición de que un no cuervo no negro proporciona una cantidad extremadamente pequeña de evidencia, aunque no intentan probarlo; simplemente calculan la diferencia entre la cantidad de evidencia que proporciona un cuervo negro y la cantidad de evidencia que proporciona un no cuervo que no es negro.

Disputando la inducción de instancias positivas

Algunos enfoques para resolver la paradoja se centran en el paso inductivo. Discuten si la observación de una instancia particular (como un cuervo negro) es el tipo de evidencia que necesariamente aumenta la confianza en la hipótesis general (como que los cuervos son siempre negros).

Cortina de humo

Good da un ejemplo de conocimiento previo con respecto al cual la observación de un cuervo negro disminuye la probabilidad de que todos los cuervos sean negros:

Supongamos que sabemos que estamos en uno u otro de dos mundos, y la hipótesis, H, bajo consideración es que todos los cuervos en nuestro mundo son negros. Sabemos de antemano que en un mundo hay cien cuervos negros, no hay cuervos que no sean negros y un millón de otras aves; y que en el otro mundo hay mil cuervos negros, un cuervo blanco y un millón de pájaros más. Un pájaro se selecciona al azar de forma equiprobable de entre todos los pájaros de nuestro mundo. Resulta ser un cuervo negro. Esta es una fuerte evidencia ... de que estamos en el segundo mundo, en el que no todos los cuervos son negros.

Good concluye que el zapato blanco es una " pista falsa ": a veces, incluso un cuervo negro puede constituir una evidencia contra la hipótesis de que todos los cuervos son negros, por lo que el hecho de que la observación de un zapato blanco pueda respaldarlo no es sorprendente y no merece atención. . El criterio de Nicod es falso, según Good, por lo que no se sigue la conclusión paradójica.

Hempel rechazó esto como una solución a la paradoja, insistiendo en que la proposición 'c es un cuervo y es negro' debe ser considerada "por sí misma y sin referencia a ninguna otra información", y señalando que "... se enfatizó en sección 5.2 (b) de mi artículo en Mind ... que la misma apariencia de paradójica en casos como el del zapato blanco resulta en parte de la falta de observación de esta máxima ".

La pregunta que surge entonces es si la paradoja debe entenderse en el contexto de absolutamente ninguna información de fondo (como sugiere Hempel), o en el contexto de la información de fondo que realmente poseemos con respecto a los cuervos y los objetos negros, o con respecto a todos los antecedentes. posibles configuraciones de la información de fondo.

Good había demostrado que, para algunas configuraciones de conocimientos previos, el criterio de Nicod es falso (siempre que estemos dispuestos a equiparar "apoyo inductivo" con "aumentar la probabilidad de" - ver más abajo). Quedaba la posibilidad de que, con respecto a nuestra configuración real de conocimiento, que es muy diferente del ejemplo de Good, el criterio de Nicod podría seguir siendo cierto y, por lo tanto, podríamos llegar a la conclusión paradójica. Hempel, por otro lado, insiste en que nuestro conocimiento previo en sí mismo es la pista falsa, y que deberíamos considerar la inducción con respecto a una condición de perfecta ignorancia.

Bebé de bueno

En su resolución propuesta, Maher implícitamente hizo uso del hecho de que la proposición "Todos los cuervos son negros" es altamente probable cuando es altamente probable que no haya cuervos. Good había utilizado este hecho antes para responder a la insistencia de Hempel de que se debía entender que el criterio de Nicod era válido en ausencia de información de fondo:

... imagina un bebé recién nacido infinitamente inteligente que tiene circuitos neuronales incorporados que le permiten lidiar con la lógica formal, la sintaxis inglesa y la probabilidad subjetiva. Ahora podría argumentar, después de definir un cuervo en detalle, que es extremadamente improbable que haya cuervos y, por lo tanto, es extremadamente probable que todos los cuervos sean negros, es decir, eso es cierto. 'Por otro lado', continúa argumentando, 'si hay cuervos, entonces existe una posibilidad razonable de que sean de una variedad de colores. Por lo tanto, si descubriera que incluso existe un cuervo negro, lo consideraría menos probable de lo que era inicialmente ''.

Esto, según Good, es lo más cercano que uno puede esperar razonablemente a una condición de perfecta ignorancia, y parece que la condición de Nicod sigue siendo falsa. Maher hizo el argumento de Good más preciso utilizando la teoría de la inducción de Carnap para formalizar la noción de que si hay un cuervo, es probable que haya muchos.

El argumento de Maher considera un universo de exactamente dos objetos, cada uno de los cuales es muy poco probable que sea un cuervo (una probabilidad de uno en mil) y razonablemente improbable que sea negro (una probabilidad de uno en diez). Usando la fórmula de Carnap para la inducción, encuentra que la probabilidad de que todos los cuervos sean negros disminuye de 0,9985 a 0,8995 cuando se descubre que uno de los dos objetos es un cuervo negro.

Maher concluye que no solo es cierta la conclusión paradójica, sino que el criterio de Nicod es falso en ausencia de conocimientos previos (excepto por el conocimiento de que la cantidad de objetos en el universo es dos y que los cuervos son menos probables que las cosas negras).

Predicados distinguidos

Quine argumentó que la solución a la paradoja radica en el reconocimiento de que ciertos predicados , a los que llamó clases naturales , tienen un estatus distinguido con respecto a la inducción. Esto se puede ilustrar con el ejemplo de Nelson Goodman del predicado grue . Un objeto es gris si es azul antes (digamos) de 2021 y verde después. Claramente, esperamos que los objetos que eran azules antes de 2021 sigan siendo azules después, pero no esperamos que los objetos que se encontraron grises antes de 2021 sean azules después de 2021, ya que después de 2021 serían verdes. La explicación de Quine es que el "azul" es un tipo natural; un predicado privilegiado que podemos usar para la inducción, mientras que "grue" no es un tipo natural y usar la inducción con él conduce al error.

Esto sugiere una resolución a la paradoja: el criterio de Nicod es verdadero para los tipos naturales, como "azul" y "negro", pero es falso para predicados artificiales, como "grue" o "no cuervo". La paradoja surge, según esta resolución, porque implícitamente interpretamos que el criterio de Nicod se aplica a todos los predicados cuando en realidad solo se aplica a las clases naturales.

Hintikka adoptó otro enfoque, que favorece los predicados específicos sobre otros. Hintikka estaba motivado para encontrar un enfoque bayesiano de la paradoja que no utilizaba el conocimiento sobre las frecuencias relativas de los cuervos y las cosas negras. Los argumentos sobre frecuencias relativas, sostiene, no siempre pueden explicar la irrelevancia percibida de la evidencia que consiste en observaciones de objetos de tipo A con el propósito de aprender sobre objetos de tipo no-A.

Su argumento puede ilustrarse reformulando la paradoja utilizando predicados distintos de "cuervo" y "negro". Por ejemplo, "Todos los hombres son altos" equivale a "Todas las personas bajas son mujeres", por lo que observar que una persona seleccionada al azar es una mujer baja debe proporcionar evidencia de que todos los hombres son altos. A pesar de que carecemos de conocimientos previos que indiquen que hay dramáticamente menos hombres que personas bajas, todavía nos sentimos inclinados a rechazar la conclusión. El ejemplo de Hintikka es: "... una generalización como 'ningún cuerpo material es infinitamente divisible' parece no verse afectada por cuestiones relativas a entidades inmateriales, independientemente de lo que uno piense de las frecuencias relativas de las entidades materiales e inmateriales en el propio universo de discurso. "

Su solución es introducir un orden en el conjunto de predicados. Cuando el sistema lógico está equipado con este orden, es posible restringir el alcance de una generalización como "Todos los cuervos son negros" para que se aplique solo a los cuervos y no a las cosas que no son negras, ya que el orden privilegia a los cuervos sobre los no negros. -cosas negras. Como él dice:

"Si estamos justificados al suponer que el alcance de la generalización 'Todos los cuervos son negros' puede restringirse a los cuervos, entonces esto significa que tenemos alguna información externa en la que podemos confiar en relación con la situación fáctica. La paradoja surge del hecho que esta información, que matiza nuestra visión espontánea de la situación, no está incorporada en los tratamientos habituales de la situación inductiva ”.

Rechazos de la condición de equivalencia de Hempel

Algunos enfoques para la resolución de la paradoja rechazan la condición de equivalencia de Hempel. Es decir, es posible que no consideren evidencia que respalde la afirmación de que todos los objetos que no son negros son no cuervos para respaldar necesariamente afirmaciones lógicamente equivalentes, como que todos los cuervos son negros .

Confirmación selectiva

Scheffler y Goodman adoptaron un enfoque de la paradoja que incorpora la opinión de Karl Popper de que las hipótesis científicas nunca se confirman realmente, solo se falsifican.

El enfoque comienza señalando que la observación de un cuervo negro no prueba que "Todos los cuervos son negros", pero refuta la hipótesis contraria, "Ningún cuervo es negro". Un no cuervo no negro, por otro lado, es consistente con "Todos los cuervos son negros" y con "Ningún cuervo es negro". Como dicen los autores:

... la afirmación de que todos los cuervos son negros no se satisface meramente con la evidencia de un cuervo negro, sino que se ve favorecida por dicha evidencia, ya que un cuervo negro desautoriza la afirmación contraria de que todos los cuervos no son negros, es decir, satisface su negación. Un cuervo negro, en otras palabras, satisface la hipótesis de que todos los cuervos son negros en lugar de no: confirma selectivamente que todos los cuervos son negros .

La confirmación selectiva viola la condición de equivalencia ya que un cuervo negro confirma selectivamente "Todos los cuervos son negros" pero no "Todas las cosas que no son negras son no cuervos".

Inducción probabilística o no probabilística

El concepto de confirmación selectiva de Scheffler y Goodman es un ejemplo de una interpretación de "proporciona evidencia a favor de ..." que no coincide con "aumentar la probabilidad de ..." Esta debe ser una característica general de todas las resoluciones que rechazan la condición de equivalencia, ya que las proposiciones lógicamente equivalentes siempre deben tener la misma probabilidad.

Es imposible que la observación de un cuervo negro aumente la probabilidad de la proposición "Todos los cuervos son negros" sin causar exactamente el mismo cambio en la probabilidad de que "Todas las cosas que no son negras son no cuervos". Si una observación apoya inductivamente al primero pero no al segundo, entonces "apoyo inductivo" debe referirse a algo distinto a los cambios en las probabilidades de las proposiciones. Una posible escapatoria es interpretar "Todos" como "Casi todos" - "Casi todos los cuervos son negros" no es equivalente a "Casi todas las cosas que no son negras son no cuervos", y estas proposiciones pueden tener probabilidades muy diferentes.

Esto plantea la cuestión más amplia de la relación de la teoría de la probabilidad con el razonamiento inductivo. Karl Popper argumentó que la teoría de la probabilidad por sí sola no puede explicar la inducción. Su argumento implica dividir una hipótesis, en una parte que está implícita deductivamente por la evidencia , y en otra parte. Esto se puede hacer de dos maneras.

Primero, considere la división:

donde , y son probabilísticamente independientes: y así sucesivamente. La condición que es necesaria para que tal división de H y E sea posible es , es decir, que esté respaldada probabilísticamente por .

La observación de Popper es que la parte , de la que recibe el apoyo de realidad sigue deductivamente de , mientras que la parte que no se sigue deductivamente de no recibe ningún apoyo en absoluto de - es decir, .

En segundo lugar, la división:

se separa en , que como dice Popper, "es la parte lógicamente más fuerte de (o del contenido de ) que sigue [deductivamente] de ", y , que, dice, "contiene todo lo que va más allá ". Él continúa:

¿ Proporciona, en este caso, algún apoyo para el factor , que en presencia de es solo necesario para obtener ? La respuesta es: No. Nunca lo hace. De hecho, contraapoya a menos que o (que son posibilidades sin interés). ...
Este resultado es completamente devastador para la interpretación inductiva del cálculo de probabilidad. Todo apoyo probabilístico es puramente deductivo: la parte de una hipótesis que no está implícita deductivamente por la evidencia siempre está fuertemente contrarrestada por la evidencia ... Existe algo así como el apoyo probabilístico; incluso podría existir el apoyo inductivo (aunque difícilmente lo creemos). Pero el cálculo de probabilidad revela que el apoyo probabilístico no puede ser un apoyo inductivo.

Enfoque ortodoxo

La teoría ortodoxa de Neyman-Pearson de la prueba de hipótesis considera cómo decidir si aceptar o rechazar una hipótesis, en lugar de qué probabilidad asignar a la hipótesis. Desde este punto de vista, la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros" no se acepta de forma paulatina , ya que su probabilidad aumenta hacia uno cuando se hacen más y más observaciones, sino que se acepta en una sola acción como resultado de evaluar los datos que se han obtenido. ya se ha recogido. Como lo expresaron Neyman y Pearson:

Sin esperar saber si cada hipótesis por separado es verdadera o falsa, podemos buscar reglas que gobiernen nuestro comportamiento con respecto a ellas, siguiendo las cuales nos aseguramos de que, a lo largo de la experiencia, no estaremos equivocados con demasiada frecuencia.

De acuerdo con este enfoque, no es necesario asignar ningún valor a la probabilidad de una hipótesis , aunque ciertamente se debe tener en cuenta la probabilidad de los datos dada la hipótesis, o dada una hipótesis en competencia, al decidir si aceptar o rechazar. . La aceptación o el rechazo de una hipótesis conlleva el riesgo de error .

Esto contrasta con el enfoque bayesiano, que requiere que a la hipótesis se le asigne una probabilidad previa, que se revisa a la luz de los datos observados para obtener la probabilidad final de la hipótesis. Dentro del marco bayesiano no hay riesgo de error ya que las hipótesis no son aceptadas o rechazadas; en su lugar, se les asignan probabilidades.

Se ha realizado un análisis de la paradoja desde el punto de vista ortodoxo, que conduce, entre otras intuiciones, al rechazo de la condición de equivalencia:

Parece obvio que no se puede aceptar la hipótesis de que todos los P son Q y también rechazar la contrapositiva, es decir, que todos los que no son Q son no P. Sin embargo, es fácil ver que en la teoría de prueba de Neyman-Pearson, una prueba de "Todas las P son Q" no es necesariamente una prueba de "Todas las que no son Q son no P" o viceversa. Una prueba de "Todos los P son Q" requiere referencia a alguna hipótesis estadística alternativa de la forma en que todos los P son Q , mientras que una prueba de "Todos los que no son Q son no P" requiere referencia a alguna alternativa estadística de la forma de todos los no-Q son no-P, . Pero estos dos conjuntos de posibles alternativas son diferentes ... Por lo tanto, uno podría tener una prueba de sin tener una prueba de su contrapositivo.

Rechazar la implicación material

Las siguientes proposiciones se implican entre sí: "Todo objeto es negro o no es un cuervo", "Todo cuervo es negro" y "Todo objeto que no es negro es un no cuervo". Por tanto, son, por definición, lógicamente equivalentes. Sin embargo, las tres proposiciones tienen dominios diferentes: la primera proposición dice algo sobre "cada objeto", mientras que la segunda dice algo sobre "cada cuervo".

La primera proposición es la única cuyo dominio de cuantificación no está restringido ("todos los objetos"), por lo que esta es la única que puede expresarse en lógica de primer orden . Es lógicamente equivalente a:

y tambien a

donde indica el material condicional , según el cual "Si entonces " puede entenderse que significa " o ".

Varios autores han argumentado que la implicación material no capta completamente el significado de "Si entonces " (ver las paradojas de la implicación material ). "Por cada objeto, , es ya sea negro o no un cuervo" es cierto cuando no hay cuervos. Es por esto que "Todos los cuervos son negros" se considera cierto cuando no hay cuervos. Además, los argumentos que Good y Maher usaron para criticar el criterio de Nicod (ver § El bebé de Good , arriba) se basaron en este hecho: que "Todos los cuervos son negros" es altamente probable cuando es altamente probable que no haya cuervos.

Decir que todos los cuervos son negros en ausencia de cuervos es una afirmación vacía. No se refiere a nada. "Todos los cuervos son blancos" es igualmente relevante y verdadero, si se considera que esta afirmación tiene alguna verdad o relevancia.

Algunas aproximaciones a la paradoja han buscado encontrar otras formas de interpretar "Si entonces " y "Todos son ", lo que eliminaría la equivalencia percibida entre "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras son no cuervos".

Uno de estos enfoques implica la introducción de una lógica de muchos valores según la cual "Si entonces " tiene el valor de verdad , es decir , "Indeterminado" o "Inadecuado" cuando es falso. En tal sistema, la contraposición no se permite automáticamente: "Si entonces " no es equivalente a "Si entonces ". En consecuencia, "Todos los cuervos son negros" no es equivalente a "Todas las cosas que no son negras son no cuervos".

En este sistema, cuando ocurre la contraposición, la modalidad del condicional involucrado cambia del indicativo ("Si ese trozo de mantequilla se ha calentado a 32 ° C, entonces se ha derretido") al contrafactual ("Si ese trozo de mantequilla se hubiera calentado a 32 ° C entonces se habría derretido "). Según este argumento, esto elimina la supuesta equivalencia que es necesaria para concluir que las vacas amarillas pueden informarnos sobre los cuervos:

En el uso gramatical adecuado, un argumento contrapositivo no debe expresarse completamente en indicativo. Por lo tanto:
Del hecho de que si este fósforo se raya se encenderá, se deduce que si no se enciende no se rayó.
es incómodo. Deberíamos decir:
Del hecho de que si este fósforo está rayado se encenderá, se deduce que si no se hubiera encendido no se habría rayado. ...
Cabría preguntarse qué efecto tiene esta interpretación de la ley de la contraposición en la paradoja de la confirmación de Hempel. "Si es un cuervo, entonces es negro" es equivalente a "Si no fuera negro, entonces no sería un cuervo". Por lo tanto, todo lo que confirme lo último debe también, por la condición de equivalencia, confirmar lo primero. Es cierto, pero las vacas amarillas todavía no pueden figurar en la confirmación de "Todos los cuervos son negros" porque, en la ciencia, la confirmación se logra mediante predicción, y las predicciones se expresan correctamente en el modo indicativo. No tiene sentido preguntar qué confirma un contrafactual.

Diferentes resultados de aceptar las hipótesis

Varios comentaristas han observado que las proposiciones "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras son no cuervos" sugieren diferentes procedimientos para probar las hipótesis. Por ejemplo, Good escribe:

Como proposiciones, los dos enunciados son lógicamente equivalentes. Pero tienen un efecto psicológico diferente en el experimentador. Si se le pide que pruebe si todos los cuervos son negros, buscará un cuervo y luego decidirá si es negro. Pero si se le pide que pruebe si todas las cosas que no son negras son no cuervos, puede buscar un objeto que no sea negro y luego decidir si es un cuervo.

Más recientemente, se ha sugerido que "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras son no cuervos" pueden tener efectos diferentes cuando se aceptan . El argumento considera situaciones en las que el número total o prevalencia de cuervos y objetos negros se desconoce, pero se estima. Cuando se acepta la hipótesis "Todos los cuervos son negros", según el argumento, el número estimado de objetos negros aumenta, mientras que el número estimado de cuervos no cambia.

Puede ilustrarse considerando la situación de dos personas que tienen información idéntica sobre cuervos y objetos negros, y que tienen estimaciones idénticas del número de cuervos y objetos negros. Para ser más concretos, suponga que hay 100 objetos en total y, de acuerdo con la información disponible para las personas involucradas, es tan probable que cada objeto sea un no cuervo como un cuervo, y también que sea negro. como es no ser negro:

y las proposiciones son independientes para diferentes objetos , etc. Entonces, el número estimado de cuervos es 50; el número estimado de cosas negras es 50; el número estimado de cuervos negros es 25 y el número estimado de cuervos no negros (contraejemplos de las hipótesis) es 25.

Una de las personas realiza una prueba estadística (por ejemplo, una prueba de Neyman-Pearson o la comparación del peso acumulado de la evidencia con un umbral) de la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros", mientras que la otra prueba la hipótesis de que "Todos los no- los objetos negros no son cuervos ". Para simplificar, suponga que la evidencia utilizada para la prueba no tiene nada que ver con la colección de 100 objetos que se tratan aquí. Si la primera persona acepta la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros", entonces, según el argumento, ahora se piensa que alrededor de 50 objetos cuyos colores antes estaban en duda (los cuervos) son negros, mientras que no se piensa nada diferente sobre los objetos restantes. (los no cuervos). En consecuencia, debería estimar el número de cuervos negros en 50, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 25. Al especificar estos cambios, este argumento restringe explícitamente el dominio de "Todos los cuervos son negros "para los cuervos.

Por otro lado, si la segunda persona acepta la hipótesis de que "Todos los objetos que no son negros son no cuervos", entonces se considerará que los aproximadamente 50 objetos no negros acerca de los cuales no estaba claro si cada uno era un cuervo. -cuervos. Al mismo tiempo, no se pensará nada diferente sobre los aproximadamente 50 objetos restantes (los objetos negros). En consecuencia, debería estimar el número de cuervos negros en 25, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 50. Según este argumento, dado que las dos personas no están de acuerdo sobre sus estimaciones después de que han aceptado las diferentes hipótesis, aceptar "Todos los cuervos son negros" no equivale a aceptar "Todas las cosas que no son negras son no cuervos"; Aceptar lo primero significa estimar que más cosas son negras, mientras que aceptar lo último implica estimar que más cosas no son cuervos. En consecuencia, prosigue el argumento, el primero requiere como evidencia cuervos que resultan ser negros y el segundo requiere cosas no negras que resultan ser no cuervos.

Presuposiciones existenciales

Varios autores han argumentado que las proposiciones de la forma "Todos son " presuponen que hay objetos que son . Este análisis se ha aplicado a la paradoja del cuervo:

... : "Todos los cuervos son negros" y : "Todas las cosas que no son negras son no cuervos" no son estrictamente equivalentes ... debido a sus diferentes presuposiciones existenciales. Además, aunque y describen la misma regularidad, la inexistencia de cuervos no negros, tienen diferentes formas lógicas. Las dos hipótesis tienen sentidos diferentes e incorporan diferentes procedimientos para probar la regularidad que describen.

Una lógica modificada puede tener en cuenta las presuposiciones existenciales utilizando el operador presuposicional, '*'. Por ejemplo,

puede denotar "Todos los cuervos son negros" al tiempo que indica que son cuervos y no objetos no negros los que se presupone que existen en este ejemplo.

... la forma lógica de cada hipótesis la distingue con respecto a su tipo recomendado de evidencia de apoyo: las instancias de sustitución posiblemente verdaderas de cada hipótesis se relacionan con diferentes tipos de objetos. El hecho de que las dos hipótesis incorporen diferentes tipos de procedimientos de prueba se expresa en el lenguaje formal anteponiendo el operador '*' a un predicado diferente. El operador presuposicional también sirve como operador de relevancia. Está antepuesto al predicado ' es un cuervo' porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todos los cuervos son negros" incluyen sólo cuervos; se antepone al predicado ' no es negro', en , porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todas las cosas que no son negras son no cuervos" incluyen sólo cosas que no son negras. ... Utilizando términos fregeanos : siempre que sus presuposiciones sean válidas, las dos hipótesis tienen el mismo referente (valor de verdad), pero sentidos diferentes ; es decir, expresan dos formas diferentes de determinar ese valor de verdad.

Ver también

Notas

Otras lecturas