Árbol de Pitágoras (fractal) - Pythagoras tree (fractal)

Animación de un árbol de Pitágoras imperfectamente parecido a sí mismo
El árbol de Pitágoras con un ángulo de 25 grados y coloración suave.

El árbol de Pitágoras es un fractal plano construido a partir de cuadrados . Inventado por el profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman en 1942, lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras porque cada triple de cuadrados en contacto encierra un triángulo rectángulo , en una configuración tradicionalmente utilizada para representar el teorema de Pitágoras . Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L  ×  L , todo el árbol encaja perfectamente dentro de Pitágoras una caja de tamaño de 6 L  x 4 L . Los detalles más finos del árbol se asemejan a la curva C de Lévy .

Construcción

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado . A esta plaza se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de √ 2 /2, de tal manera que las esquinas de los cuadrados por pares coinciden. A continuación, se aplica el mismo procedimiento de forma recursiva a los dos cuadrados más pequeños, ad infinitum . La siguiente ilustración muestra las primeras iteraciones del proceso de construcción.

Construcción del árbol de Pitágoras, orden 0
Orden 1
Orden 2
Orden 3
Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3

Este es el triángulo simétrico más simple. Alternativamente, los lados del triángulo son recursivamente proporciones iguales, lo que hace que los lados sean proporcionales a la raíz cuadrada de la proporción áurea inversa, y las áreas de los cuadrados estén en proporción áurea.

Área

La iteración n en la construcción agrega 2 n cuadrados de área , para un área total de 1. Por lo tanto, el área del árbol podría parecer crecer sin límite en el límite cuando n  → ∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la iteración de orden 5, y el árbol en realidad tiene un área finita porque cabe dentro de una caja de 6 × 4.

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango 5 <  A  <18, que se puede reducir aún más con un esfuerzo adicional. Poco parece ser conocido por el valor real de  una .

Variando el ángulo

Se puede construir un conjunto interesante de variaciones manteniendo un triángulo isósceles pero cambiando el ángulo de la base (90 grados para el árbol de Pitágoras estándar). En particular, cuando la mitad del ángulo de la base se establece en (30 °) = arcsin (0.5), se ve fácilmente que el tamaño de los cuadrados permanece constante. La primera superposición se produce en la cuarta iteración. El patrón general producido es el mosaico rombitrihexagonal , una serie de hexágonos bordeados por los cuadrados de construcción.

árbol de cuarto orden, una superposición visible árbol de décimo orden
Orden 4 Orden 10

En el límite donde la mitad del ángulo es de 90 grados, obviamente no hay superposición y el área total es el doble del área del cuadrado base. Sería interesante saber si existe una relación algorítmica entre el valor de la mitad del ángulo de la base y la iteración en la que los cuadrados se superponen por primera vez.

Historia

El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por Albert E. Bosman (1891-1961), un profesor de matemáticas holandés , en 1942.

Ver también

Referencias

enlaces externos