Recuperación de fase - Phase retrieval

La recuperación de fase es el proceso de encontrar soluciones algorítmicamente al problema de fase . Dada una señal compleja , de amplitud y fase : ${\ Displaystyle F (k)}$${\ Displaystyle | F (k) |}$${\ Displaystyle \ psi (k)}$

${\ Displaystyle F (k) = | F (k) | e ^ {i \ psi (k)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi ik \ cdot x} \, dx}$

donde x es una coordenada espacial M -dimensional yk es una coordenada de frecuencia espacial M -dimensional. La recuperación de fase consiste en encontrar la fase que satisface un conjunto de restricciones para una amplitud medida. Las aplicaciones importantes de la recuperación de fase incluyen la cristalografía de rayos X , la microscopía electrónica de transmisión y la formación de imágenes por difracción coherente , para las cuales . Los teoremas de unicidad para los casos 1-D y 2-D del problema de recuperación de fase, incluido el problema de dispersión inversa 1-D sin fase, fueron probados por Klibanov y sus colaboradores (ver Referencias). ${\ Displaystyle M = 2}$

Métodos

Algoritmo de reducción de errores

Vista esquemática del algoritmo de reducción de errores para la recuperación de fase

La reducción de errores es una generalización del algoritmo de Gerchberg-Saxton . Se resuelve a partir de mediciones de iterando un proceso de cuatro pasos. Para la th iteración, los pasos son los siguientes: ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle | F (u) |}$${\ Displaystyle k}$

Paso (1): ,, y son estimaciones de, respectivamente , y . En el primer paso calculamos la transformada de Fourier de : ${\ Displaystyle G_ {k} (u)}$${\ Displaystyle \ phi _ {k}}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$${\ Displaystyle F (u)}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$

${\ Displaystyle G_ {k} (u) = | G_ {k} (u) | e ^ {i \ phi _ {k} (u)} = {\ mathcal {F}} (g_ {k} (x) ).}$

Paso (2): El valor experimental de , calculado a partir del patrón de difracción a través de la ecuación de la señal, se sustituye luego por , dando una estimación de la transformada de Fourier: ${\ Displaystyle | F (u) |}$${\ Displaystyle | G_ {k} (u) |}$

${\ Displaystyle G '_ {k} (u) = | F (u) | e ^ {i \ phi _ {k} (u)},}$

donde 'denota un resultado intermedio que se descartará más adelante.

Paso (3): la estimación de la transformada de Fourier se transforma entonces a la inversa de la transformada de Fourier: ${\ Displaystyle G '_ {k} (u)}$

${\ Displaystyle g '_ {k} (x) = | g' _ {k} (x) | e ^ {i \ theta '_ {k} (x)} = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} (G '_ {k} (u)).}$

Paso (4): luego debe cambiarse para que la nueva estimación del objeto , satisfaga las restricciones del objeto. por lo tanto, se define por partes como: ${\ Displaystyle g '_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$

${\ displaystyle g_ {k + 1} (x) \ equiv {\ begin {cases} g '_ {k} (x), & x \ notin \ gamma, \\ 0, & x \ in \ gamma, \ end {cases }}}$

donde es el dominio en el que no satisface las restricciones del objeto. Se obtiene una nueva estimación y se repite el proceso de cuatro pasos. ${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle g '_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$

Este proceso continúa hasta que se satisfacen tanto la restricción de Fourier como la restricción del objeto. Teóricamente, el proceso siempre conducirá a una convergencia , pero el gran número de iteraciones necesarias para producir una imagen satisfactoria (generalmente> 2000) hace que el algoritmo de reducción de errores por sí solo no sea adecuado para aplicaciones prácticas.

Algoritmo híbrido de entrada y salida

El algoritmo híbrido de entrada-salida es una modificación del algoritmo de reducción de errores: las tres primeras etapas son idénticas. Sin embargo, ya no actúa como una estimación de , sino como la función de entrada correspondiente a la función de salida , que es una estimación de . En el cuarto paso, cuando la función viola las restricciones del objeto, el valor de se fuerza a cero, pero óptimamente no a cero. La principal ventaja del algoritmo híbrido de entrada y salida es que la función contiene información de retroalimentación sobre iteraciones anteriores, lo que reduce la probabilidad de estancamiento. Se ha demostrado que el algoritmo híbrido de entrada-salida converge a una solución significativamente más rápido que el algoritmo de reducción de errores. Su tasa de convergencia se puede mejorar aún más mediante algoritmos de optimización del tamaño de paso. ${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle g '_ {k} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle g '_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$

${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x) \ equiv {\ begin {cases} g '_ {k} (x), & x \ notin \ gamma, \\ g_ {k} (x) - \ beta {g '_ {k} (x)}, & x \ in \ gamma. \ end {cases}}}$

Este es un parámetro de comentarios que puede tomar un valor entre 0 y 1. Para la mayoría de las aplicaciones, brinda resultados óptimos. {Scientific Reports volumen 8, número de artículo: 6436 (2018)} ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ beta \ approx 0.9}$

Envoltura retráctil

Para un problema de recuperación de fase bidimensional, hay una degeneración de soluciones ya que y su conjugado tienen el mismo módulo de Fourier. Esto conduce a un "hermanamiento de imágenes" en el que el algoritmo de recuperación de fase se estanca produciendo una imagen con características tanto del objeto como de su conjugado . La técnica de envoltura retráctil actualiza periódicamente la estimación del soporte mediante el filtrado de paso bajo de la estimación actual de la amplitud del objeto (por convolución con un gaussiano ) y aplicando un umbral, lo que conduce a una reducción de la ambigüedad de la imagen. ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f ^ {*} (- x)}$

Algoritmo semidefinito basado en relajación para transformada de Fourier de corto tiempo

La recuperación de fase es un problema mal planteado. Para identificar de forma única la señal subyacente, además de los métodos que agregan información previa adicional como el algoritmo de Gerchberg-Saxton , la otra forma es agregar mediciones de solo magnitud como la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT).

El método que se presenta a continuación se basa principalmente en el trabajo de Jaganathan et al .

Transformada de Fourier de corto tiempo

Dada una señal discreta de la que se muestrea . Usamos una ventana de longitud W : para calcular el STFT de , denotado por : ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (f [0], f [1], ..., f [N-1]) ^ {T}}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {w} = (w [0], w [1], ..., w [W-1]) ^ {T}}$${\ Displaystyle \ mathrm {f}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ Displaystyle Y [m, r] = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {f [n] w [rL-n] e ^ {- i2 \ pi {\ frac {mn} {N }}}}}$

para y , donde el parámetro denota la separación en el tiempo entre secciones adyacentes de corta duración y el parámetro indica el número de secciones de corta duración consideradas. ${\ Displaystyle 0 \ leq m \ leq N-1}$${\ Displaystyle 0 \ leq r \ leq R-1}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle R = \ left \ lceil {\ frac {N + W-1} {L}} \ right \ rceil}$

La otra interpretación (llamada interpretación de ventana deslizante) de STFT se puede utilizar con la ayuda de la transformada discreta de Fourier (DFT). Let denota el elemento de ventana obtenido de la ventana desplazada y volteada . Entonces nosotros tenemos ${\ Displaystyle w_ {r} [n] = w [rL-n]}$${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = [\ mathbf {Y} _ {0}, \ mathbf {Y} _ {1}, ..., \ mathbf {Y} _ {R-1}]}$, donde . ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} _ {r} = \ mathbf {x} \ circ \ mathbf {w} _ {r}}$

Definición del problema

Sean las medidas correspondientes al cuadrado de la magnitud de la STFT de , sea ​​la matriz diagonal con elementos diagonales La recuperación de fase STFT se puede expresar como: ${\ Displaystyle {Z} _ {w} [m, r] = | Y [m, r] | ^ {2}}$${\ Displaystyle N \ times R}$${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {r}}$${\ Displaystyle N \ times N}$${\ Displaystyle \ left (w_ {r} [0], w_ {r} [1], \ ldots, w_ {r} [N-1] \ right).}$

Encuentre tal que para y , donde es la -ésima columna de la matriz DFT inversa de -puntos. ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle Z_ {w} [m, r] = \ left | \ left \ langle \ mathbf {f} _ {m}, \ mathbf {W} _ {r} \ mathbf {x} \ right \ rangle \ right | ^ {2}}$${\ Displaystyle 0 \ leq m \ leq N-1}$${\ Displaystyle 0 \ leq r \ leq R-1}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {m}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle N}$

Intuitivamente, la creciente complejidad computacional hace que el método sea impráctico. De hecho, sin embargo, para la mayoría de los casos en la práctica solo necesitamos considerar las medidas correspondientes a , para cualquier parámetro satisfactorio . ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle 0 \ leq m \ leq M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle 2W \ leq M \ leq N}$

Para ser más específico, si tanto la señal como la ventana no desaparecen , es decir, para todos y para todos , la señal se puede identificar de forma única a partir de su magnitud STFT si se cumplen los siguientes requisitos: ${\ Displaystyle x [n] \ neq 0}$${\ Displaystyle 0 \ leq n \ leq N-1}$${\ Displaystyle w [n] \ neq 0}$${\ Displaystyle 0 \ leq}$ ${\ Displaystyle n \ leq W-1}$${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$

1. ${\ Displaystyle L <W \ leq N / 2}$,
2. ${\ Displaystyle 2W \ leq M \ leq N}$.

La prueba se puede encontrar en el trabajo de Jaganathan, que reformula la recuperación de la fase STFT como el siguiente problema de mínimos cuadrados:

${\ Displaystyle \ min _ {\ mathbf {x}} \ sum _ {r = 0} ^ {R-1} \ sum _ {m = 0} ^ {N-1} \ left (Z_ {w} [m , r] - \ left | \ left \ langle \ mathbf {f} _ {m}, \ mathbf {W} _ {r} \ mathbf {x} \ right \ rangle \ right | ^ {2} \ right) ^ {2}}$.

El algoritmo, aunque sin garantías teóricas de recuperación, empíricamente es capaz de converger al mínimo global cuando existe una superposición sustancial entre secciones adyacentes de corta duración.

Algoritmo semidefinito basado en relajación

Para establecer garantías de recuperación, una forma es formular los problemas como un programa semidefinito (SDP), incrustando el problema en un espacio dimensional superior utilizando la transformación y relajar la restricción de rango uno para obtener un programa convexo. El problema reformulado se enuncia a continuación: ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ ast}}$

Obtenga resolviendo:${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {X}}}$

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathrm {minimizar} ~~~ \ mathrm {trace} (\ mathbf {X}) \\ [6pt] & \ mathrm {sujeto ~ a} ~~ Z [m, r ] = \ mathrm {trace} (\ mathbf {W} _ {r} ^ {\ ast} \ mathbf {f} _ {m} \ mathbf {f} _ {m} ^ {\ ast} \ mathbf {W} _ {r} \ mathbf {X}) \\ [0pt] & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ mathbf {X} \ successq 0 \ end {alineado}}}$$

${\ Displaystyle 1 \ leq m \ leq M}$

${\ Displaystyle 0 \ leq r \ leq R-1}$

Una vez que se encuentra, podemos recuperar la señal mediante la mejor aproximación de rango uno. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {X}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$

Aplicaciones

La recuperación de fase es un componente clave de la formación de imágenes por difracción coherente (CDI). En CDI, se mide la intensidad del patrón de difracción dispersado desde un objetivo. A continuación, se obtiene la fase del patrón de difracción utilizando algoritmos de recuperación de fase y se construye una imagen del objetivo. De esta manera, la recuperación de fase permite la conversión de un patrón de difracción en una imagen sin lente óptica .

Usando algoritmos de recuperación de fase, es posible caracterizar sistemas ópticos complejos y sus aberraciones. Otras aplicaciones de la recuperación de fase incluyen la cristalografía de rayos X y la microscopía electrónica de transmisión .

Ver también

• Problema de fase
• Cristalografía
• Cristalografía de rayos X
• Imágenes de difracción coherente
• Ecuación de transporte de intensidad

Referencias

• Klibanov, MV (1985). "Sobre la unicidad de la determinación de una función de soporte compacto a partir del módulo de su transformada de Fourier". Matemáticas soviéticas - Doklady . 32 : 668–670.
• Klibanov, MV (1987). "Determinación de una función con soporte compacto a partir del valor absoluto de su transformada de Fourier y un problema de dispersión inversa". Ecuaciones diferenciales . 22 : 1232-1240.
• Klibanov, MV (1987). "Problemas de dispersión inversa y restauración de una función a partir del módulo de su transformada de Fourier". Siberian Math J . 27 (5): 708–719. doi : 10.1007 / bf00969199 .
• Klibanov, MV (1989). "Unicidad de la determinación de distorsiones de una red cristalina por difracción de rayos X en un modelo dinámico continuo". Ecuaciones diferenciales . 25 : 520–527.
• Klibanov, MV y Sacks, PE (1992). "Dispersión inversa sin fase y el problema de fase en óptica". J. Math. Phys . 33 (11): 2813–3821. Código bibliográfico : 1992JMP .... 33.3813K . doi : 10.1063 / 1.529990 .
• Klibanov, MV; Sacks, PE (1994). "Uso del conocimiento parcial del potencial en el problema de fase de la dispersión inversa". J. Comput. Phys . 112 (2): 273–281. Código bibliográfico : 1994JCoPh.112..273K . doi : 10.1006 / jcph.1994.1099 .
• Klibanov, MV; Sacos, PE; Tikhonravov, AV (1995). "El problema de recuperación de fase". Problemas inversos . 11 (1): 1–28. Código Bibliográfico : 1995InvPr..11 .... 1K . doi : 10.1088 / 0266-5611 / 11/1/001 .
• Klibanov, MV (2006). "Sobre la recuperación de una función 2-D a partir del módulo de su transformada de Fourier" . J. Math. Anal. Apl . 323 (2): 818–843. doi : 10.1016 / j.jmaa.2005.10.079 .