Teorema de Pascal - Pascal's theorem

Línea pascal GHK del hexágono autocruzado ABCDEF inscrito en elipse. Los lados opuestos del hexágono tienen el mismo color.
Las intersecciones de los lados opuestos extendidos del hexágono cíclico simple ABCDEF (derecha) se encuentran en la línea de Pascal MNP (izquierda).
Hexágono autocruzado ABCDEF , inscrito en un círculo. Sus lados se extienden de modo que pares de lados opuestos se crucen en la línea de Pascal. Cada par de lados opuestos extendidos tiene su propio color: uno rojo, uno amarillo, uno azul. La línea de Pascal se muestra en blanco.

En geometría proyectiva , el teorema de Pascal (también conocido como el teorema del hexagrammum mysticum ) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse , parábola o hipérbola en un plano afín apropiado ) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , los tres pares de lados opuestos del hexágono ( extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Lleva el nombre de Blaise Pascal .

El teorema también es válido en el plano euclidiano , pero el enunciado debe ajustarse para tratar los casos especiales en los que los lados opuestos son paralelos.

Variantes euclidianas

El escenario más natural para el teorema de Pascal es en un plano proyectivo, ya que dos líneas cualesquiera se encuentran y no es necesario hacer excepciones para las líneas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.

Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinada por los dos puntos de intersección es paralela a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay línea Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea Pascal de el hexágono).

Resultados relacionados

Este teorema es una generalización del teorema de Pappus (hexágono): el teorema de Pappus es el caso especial de una cónica degenerada de dos líneas. El teorema de Pascal es el dual polar recíproco y proyectivo del teorema de Brianchon . Fue formulado por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639 cuando tenía 16 años y publicada al año siguiente como una andanada titulada "Essay pour les coniques. Par BP"

El teorema de Pascal es un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .

Es interesante un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos); dados los puntos ABCD en una cónica Γ , la intersección de lados alternos, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto con la intersección de tangentes en vértices opuestos ( A , C ) y ( B , D ) son colineales en cuatro puntos; las tangentes son "lados" degenerados, tomados en dos posiciones posibles en el "hexágono" y la línea Pascal correspondiente que comparte una intersección degenerada. Esto se puede probar de forma independiente utilizando una propiedad de polo-polar . Si la cónica es un círculo, entonces otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne , son colineales.

Seis es el número mínimo de puntos en una cónica sobre los cuales se pueden hacer declaraciones especiales, ya que cinco puntos determinan una cónica .

Lo contrario es el teorema de Braikenridge-Maclaurin , llamado así por los matemáticos británicos del siglo XVIII William Braikenridge y Colin Maclaurin ( Mills 1984 ), que establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que atraviesan los lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea , entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica; la cónica puede estar degenerada, como en el teorema de Pappus. El teorema de Braikenridge-Maclaurin se puede aplicar en la construcción de Braikenridge-Maclaurin , que es una construcción sintética de la cónica definida por cinco puntos, variando el sexto punto.

El teorema fue generalizado por August Ferdinand Möbius en 1847, de la siguiente manera: supongamos que un polígono con 4 n + 2 lados está inscrito en una sección cónica, y los pares opuestos de lados se extienden hasta que se encuentran en 2 n + 1 puntos. Entonces, si 2 n de esos puntos se encuentran en una línea común, el último punto también estará en esa línea.

Hexagrammum Mysticum

Si se dan seis puntos desordenados en una sección cónica, se pueden conectar en un hexágono de 60 formas diferentes, lo que da como resultado 60 instancias diferentes del teorema de Pascal y 60 líneas de Pascal diferentes. Esta configuración de 60 líneas se llama Hexagrammum Mysticum .

Como demostró Thomas Kirkman en 1849, estas 60 líneas se pueden asociar con 60 puntos de tal manera que cada punto está en tres líneas y cada línea contiene tres puntos. Los 60 puntos formados de esta manera ahora se conocen como puntos Kirkman . Las líneas de Pascal también pasan, de tres en tres, a través de 20 puntos Steiner . Hay 20 líneas Cayley que constan de un punto Steiner y tres puntos Kirkman. Los puntos Steiner también se encuentran, cuatro a la vez, en 15 líneas Plücker . Además, las 20 líneas Cayley pasan cuatro a la vez a través de 15 puntos conocidos como los puntos Salmon .

Pruebas

La nota original de Pascal no tiene prueba, pero hay varias pruebas modernas del teorema.

Es suficiente demostrar el teorema cuando la cónica es un círculo, porque cualquier cónica (no degenerada) puede reducirse a un círculo mediante una transformación proyectiva. Pascal se dio cuenta de esto, cuyo primer lema establece el teorema de un círculo. Su segundo lema establece que lo que es verdadero en un plano permanece verdadero al ser proyectado a otro plano. Las cónicas degeneradas siguen por continuidad (el teorema es cierto para las cónicas no degeneradas y, por lo tanto, se mantiene en el límite de las cónicas degeneradas).

Van Yzeren (1993) encontró una breve demostración elemental del teorema de Pascal en el caso de un círculo , basada en la demostración de ( Guggenheimer 1967 ). Esta demostración prueba el teorema del círculo y luego lo generaliza a las cónicas.

Stefanovic (2010) encontró una breve demostración computacional elemental en el caso del plano proyectivo real .

También podemos inferir la prueba de la existencia de un conjugado isogonal . Si vamos a mostrar que X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA son colineales para ABCDEF concíclico , entonces observe que △ EYB y △ CYF son similares, y que X y Z corresponderán al isogonal conjugar si superponemos los triángulos semejantes. Esto significa que ∠ BYX = ∠ CYZ , por lo que XYZ es colineal.

Se puede construir una prueba corta usando preservación de relación cruzada. Proyectando la tétrada ABCE desde D sobre la línea AB , obtenemos la tétrada ABPX , y proyectando la tétrada ABCE desde F sobre la línea BC , obtenemos la tétrada QBCY . Por lo tanto, esto significa que R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , donde uno de los puntos en las dos tétradas se superpone, lo que significa que otras líneas que conectan los otros tres pares deben coincidir para preservar la relación cruzada. Por lo tanto, XYZ son colineales.

Otra prueba del teorema de Pascal para un círculo usa el teorema de Menelao repetidamente.

Dandelin , el geómetro que descubrió las célebres esferas de Dandelin , presentó una hermosa prueba utilizando la técnica de "elevación 3D" que es análoga a la prueba 3D del teorema de Desargues . La demostración hace uso de la propiedad de que por cada sección cónica podemos encontrar un hiperboloide de una hoja que atraviesa la cónica.

También existe una prueba simple del teorema de Pascal para un círculo usando la ley de los senos y la similitud .

Prueba mediante curvas cúbicas

El teorema de Pascal tiene una prueba corta usando el teorema de Cayley-Bacharach que dados cualesquiera 8 puntos en posición general, hay un noveno punto único tal que todos los cúbicos a través de los primeros 8 también pasan por el noveno punto. En particular, si 2 cúbicos generales se cruzan en 8 puntos, cualquier otro cúbico que pase por los mismos 8 puntos se encuentra con el noveno punto de intersección de los dos primeros cúbicos. El teorema de Pascal sigue tomando los 8 puntos como los 6 puntos en el hexágono y dos de los puntos (digamos, M y N en la figura) en la línea potencial de Pascal, y el noveno punto como el tercer punto ( P en el figura). Los dos primeros cúbicos son dos conjuntos de 3 líneas a través de los 6 puntos del hexágono (por ejemplo, el conjunto AB, CD, EF y el conjunto BC, DE, FA ), y el tercer cúbico es la unión de la cónica y la línea MN . En este caso, la "novena intersección" P no puede estar en la cónica por carácter genérico y, por lo tanto, se encuentra en MN .

El teorema de Cayley-Bacharach también se usa para demostrar que la operación de grupo en curvas elípticas cúbicas es asociativa. La misma operación de grupo se puede aplicar a un cono si elegimos un punto E en el cono y una línea MP en el plano. La suma de A y B se obtiene mediante la búsqueda primero el punto de intersección línea AB con MP , que es M . Siguiente A y B se suman a la segunda punta del cono con la línea de intersección EM , que es D . Entonces, si Q es el segundo punto de intersección del cono con la línea EN , entonces

Por tanto, la operación de grupo es asociativa. Por otro lado, el teorema de Pascal se deriva de la fórmula de asociatividad anterior y, por tanto, de la asociatividad de la operación de grupo de curvas elípticas mediante la continuidad.

Prueba usando el teorema de Bézout

Supongamos que f es el polinomio cúbico de fuga en las tres líneas a través de AB, CD, EF y g es la cúbico de fuga en las otras tres líneas BC, DE, FA . Elija un punto genérico P en la cónica y elija λ de modo que el cúbico h = f + λg anula en P . Entonces h = 0 es una cúbica que tiene 7 puntos A, B, C, D, E, F, P en común con la cónica. Pero según el teorema de Bézout, una cúbica y una cónica tienen como máximo 3 × 2 = 6 puntos en común, a menos que tengan un componente común. Entonces, la cúbica h = 0 tiene un componente en común con la cónica que debe ser la cónica misma, por lo que h = 0 es la unión de la cónica y una línea. Ahora es fácil comprobar que esta línea es la línea Pascal.

Una propiedad del hexágono de Pascal

De nuevo, dado el hexágono en una cónica del teorema de Pascal con la notación anterior para puntos (en la primera figura), tenemos

Degeneraciones del teorema de Pascals

Teorema de Pascal: degeneraciones

Existen casos degenerados de 5 puntos, 4 puntos y 3 puntos del teorema de Pascal. En un caso degenerado, dos puntos de la figura previamente conectados coincidirán formalmente y la línea de conexión se convierte en la tangente en el punto fusionado. Vea los casos degenerados dados en el esquema agregado y el enlace externo sobre geometrías circulares . Si se eligen líneas adecuadas de las figuras de Pascal como líneas en el infinito, se obtienen muchas figuras interesantes en parábolas e hipérbolas .

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos