Calculadora de Pascal - Pascal's calculator

Diseño

Un Pascaline firmado por Pascal en 1652

Vista superior y descripción general de todo el mecanismo.

La calculadora de Pascal (también conocida como máquina aritmética o Pascaline ) es una calculadora mecánica inventada por Blaise Pascal a mediados del siglo XVII. Pascal fue llevado a desarrollar una calculadora por los laboriosos cálculos aritméticos requeridos por el trabajo de su padre como supervisor de impuestos en Rouen . Diseñó la máquina para sumar y restar dos números directamente y para realizar multiplicaciones y divisiones mediante sumas o restas repetidas.

La calculadora de Pascal fue especialmente exitosa en el diseño de su mecanismo de transporte , que agrega 1 a 9 en un dial, y lleva 1 al siguiente dial cuando el primer dial cambia de 9 a 0. Su innovación hizo que cada dígito fuera independiente del estado del dial. otros, lo que permite que varios acarreos pasen en cascada rápidamente de un dígito a otro independientemente de la capacidad de la máquina. Pascal también fue el primero en encoger y adaptar para su propósito un engranaje de linterna , utilizado en relojes de torreta y ruedas hidráulicas . Esta innovación permitió que el dispositivo resistiera la fuerza de cualquier entrada del operador con muy poca fricción adicional.

Pascal diseñó la máquina en 1642. Después de 50 prototipos , presentó el dispositivo al público en 1645 y se lo dedicó a Pierre Séguier , entonces canciller de Francia . Pascal construyó alrededor de veinte máquinas más durante la próxima década, muchas de las cuales mejoraron su diseño original. En 1649, el rey Luis XIV de Francia otorgó a Pascal un privilegio real (similar a una patente ), que le otorgaba el derecho exclusivo de diseñar y fabricar máquinas de calcular en Francia. Actualmente existen nueve calculadoras Pascal; la mayoría se exhibe en museos europeos.

Muchas calculadoras posteriores se inspiraron directamente o se moldearon por las mismas influencias históricas que llevaron a la invención de Pascal. Gottfried Leibniz inventó sus ruedas Leibniz después de 1671, después de intentar agregar una función de multiplicación automática al Pascaline. En 1820, Thomas de Colmar diseñó su aritmómetro , la primera calculadora mecánica lo suficientemente fuerte y confiable para usarse a diario en un entorno de oficina. No está claro si alguna vez vio el dispositivo de Leibniz, pero lo reinventó o utilizó la invención de Leibniz del tambor de pasos.

Historia

Cuatro Pascalines y un clon de Lépine en exhibición en el museo CNAM de París

Pascal comenzó a trabajar en su calculadora en 1642, cuando tenía 18 años. Había estado ayudando a su padre, que trabajaba como comisionado fiscal, y buscaba producir un dispositivo que pudiera reducir parte de su carga de trabajo. Pascal recibió un Royal Privilege en 1649 que le otorgó derechos exclusivos para fabricar y vender máquinas de calcular en Francia. Esta fue una gran influencia en el próximo diseño de calculadora mecánica realizada por Tom Monaghan.

Para 1654, había vendido unas veinte máquinas, pero el costo y la complejidad de la Pascaline fueron una barrera para las ventas adicionales y la producción cesó ese año. Para entonces Pascal había pasado al estudio de la religión y la filosofía , lo que nos dio tanto las Lettres provinciales como los Pensées .

La celebración del tricentenario de la invención de Pascal de la calculadora mecánica ocurrió durante la Segunda Guerra Mundial cuando Francia fue ocupada por Alemania y, por lo tanto, la celebración principal se llevó a cabo en Londres, Inglaterra. Los discursos pronunciados durante el evento destacaron los logros prácticos de Pascal cuando ya era conocido en el campo de las matemáticas puras, y su imaginación creativa, junto con lo adelantados a su tiempo tanto la máquina como su inventor.

Detalle del mecanismo de transporte y del sautoir

Rueda de entrada

La calculadora tenía diales de rueda de metal con radios, con los dígitos del 0 al 9 mostrados alrededor de la circunferencia de cada rueda. Para ingresar un dígito, el usuario colocó un lápiz en el espacio correspondiente entre los radios y giró el dial hasta que se alcanzó un tope de metal en la parte inferior, similar a la forma en que se usa el dial giratorio de un teléfono. Esto mostró el número en las ventanas en la parte superior de la calculadora. Luego, uno simplemente volvió a marcar el segundo número que se agregará, haciendo que la suma de ambos números aparezca en el acumulador.

Cada dial está asociado con una ventana de visualización de un dígito ubicada directamente encima de él, que muestra el valor del acumulador para esta posición. El complemento de este dígito, en la base de la rueda (6, 10, 12, 20), se muestra justo encima de este dígito. Una barra horizontal oculta todos los números de complemento cuando se desliza hacia la parte superior, o todos los números directos cuando se desliza hacia el centro de la máquina. Por tanto, muestra el contenido del acumulador o el complemento de su valor.

Dado que los engranajes de la calculadora giraban en una sola dirección, los números negativos no se podían sumar directamente. Para restar un número de otro, se utilizó el método del complemento de nueve . Las únicas dos diferencias entre una suma y una resta son la posición de la barra de visualización (directo frente al complemento) y la forma en que se ingresa el primer número (directo frente al complemento).

Para una rueda de 10 dígitos (N), la rueda exterior fija está numerada del 0 al 9 (N-1). Los números se inscriben de forma decreciente en el sentido de las agujas del reloj, desde la parte inferior izquierda hasta la parte inferior derecha de la palanca de parada. Para agregar un 5, se debe insertar un lápiz óptico entre los radios que rodean el número 5 y girar la rueda en el sentido de las agujas del reloj hasta la palanca de parada. El número que se muestra en el registro de pantalla correspondiente se incrementará en 5 y, si se lleva a cabo una transferencia de acarreo, el registro de pantalla a la izquierda se incrementará en 1. Para sumar 50, use la rueda de entrada de decenas (segundo dial del directamente en una máquina decimal), para sumar 500, use la rueda de entrada de centenas, etc.

En todas las ruedas de todas las máquinas conocidas, a excepción de la máquina tardía , se marcan dos radios adyacentes; estas marcas difieren de una máquina a otra. En la rueda que se muestra a la derecha, son puntos perforados, en la máquina topográfica están tallados; algunos son solo rayones o marcas hechas con un poco de barniz, algunos incluso fueron marcados con pequeños trozos de papel.

Estas marcas se utilizan para configurar el cilindro correspondiente a su número máximo, listo para volver a poner a cero. Para hacerlo, el operador inserta la aguja entre estos dos radios y gira la rueda hasta la palanca de parada. Esto funciona porque cada rueda está directamente vinculada a su cilindro de visualización correspondiente (gira automáticamente en uno durante una operación de transporte). Para marcar los radios durante la fabricación, se puede mover el cilindro para que se muestre su número más alto y luego marcar el radio debajo de la palanca de parada y el que está a la derecha.

Cuatro de las máquinas conocidas tienen ruedas internas de complementos, que se utilizaron para ingresar el primer operando en una resta. Se montan en el centro de cada rueda de metal con radios y giran con ella. La rueda que se muestra en la imagen de arriba tiene una rueda interior de complementos pero los números escritos en ella son apenas visibles. En una máquina decimal, los dígitos del 0 al 9 están tallados en el sentido de las agujas del reloj, con cada dígito colocado entre dos radios para que el operador pueda inscribir directamente su valor en la ventana de complementos colocando su lápiz óptico entre ellos y girando la rueda en el sentido de las agujas del reloj hasta el final. a la palanca de parada. Las marcas en dos radios adyacentes flanquean el dígito 0 inscrito en esta rueda.

En cuatro de las máquinas conocidas, encima de cada rueda, se monta una pequeña rueda de cociente en la barra de visualización. Estas ruedas de cociente, que son establecidas por el operador, tienen números del 1 al 10 inscritos en el sentido de las agujas del reloj en sus periferias (incluso por encima de una rueda no decimal). Parece que se han utilizado ruedas de cocientes durante una división para memorizar el número de veces que se resta el divisor en cada índice dado.

Mecanismo interno

Un engranaje de linterna utilizado en relojes de torreta impulsados ​​por pesas que pueden pesar cientos de kilos.

Adaptación de Pascal. El engranaje azul (entrada) se engrana con los engranajes amarillos (procesamiento), que a su vez impulsan el engranaje rojo (salida). La intersección de dos cilindros perpendiculares es un punto y por lo tanto, en teoría, el engranaje azul y el engranaje amarillo engranan en un solo punto. Pascal diseñó un engranaje que fácilmente podría tomar la fuerza del operador más fuerte y, sin embargo, agregó una fricción casi nula a todo el mecanismo.

Pascal pasó por 50 prototipos antes de decidirse por su diseño final; sabemos que comenzó con una especie de mecanismo de reloj calculador que aparentemente "funciona por resortes y que tiene un diseño muy simple", se utilizó "muchas veces" y se mantuvo en "orden de funcionamiento". No obstante, "aunque siempre lo mejoraba", encontró motivos para intentar hacer que todo el sistema fuera más fiable y robusto. Finalmente adoptó un componente de relojes muy grandes, encogiendo y adaptando para su propósito los robustos engranajes que se pueden encontrar en un mecanismo de reloj de torreta llamado engranaje de linterna , derivado a su vez de un mecanismo de rueda hidráulica. Esto podría manejar fácilmente la fuerza de la entrada de un operador.

Pascal adaptó un mecanismo de trinquete y trinquete a su propio diseño de rueda de torreta; El trinquete evita que la rueda gire en sentido antihorario durante una entrada del operador, pero también se utiliza para colocar con precisión la rueda de visualización y el mecanismo de transporte para el siguiente dígito cuando se empuja hacia arriba y aterriza en su siguiente posición. Debido a este mecanismo, cada número que se muestra está perfectamente centrado en la ventana de visualización y cada dígito se coloca con precisión para la siguiente operación. Este mecanismo se movería seis veces si el operador marcara un seis en su rueda de entrada asociada.

Mecanismo de transporte

El sautoir

El sautoir es la pieza central del mecanismo de transporte de la pascalina. En su " Avis nécessaire ... ", Pascal señaló que una máquina con 10.000 ruedas funcionaría tan bien como una máquina con dos ruedas porque cada rueda es independiente de la otra. Cuando llega el momento de propagar un acarreo, el sautoir, bajo la única influencia de la gravedad, se lanza hacia la siguiente rueda sin ningún contacto entre las ruedas. Durante su caída libre, el sautoir se comporta como un acróbata que salta de un trapecio al siguiente sin que los trapecios se toquen entre sí ("sautoir" proviene del verbo francés sauter , que significa saltar). Todas las ruedas (incluidas las marchas y el aire) tienen, por tanto, el mismo tamaño y peso independientemente de la capacidad de la máquina.

Pascal usó la gravedad para armar a los sautoirs. Uno debe girar la rueda cinco pasos de 4 a 9 para armar completamente un sautoir, pero la transferencia de acarreo moverá la siguiente rueda solo un paso. Por lo tanto, se acumula mucha energía extra durante el armado de un sautoir.

Todos los sautoirs están armados mediante una entrada del operador o un arrastre. Para volver a poner a cero una máquina de 10,000 ruedas, si existiera una, el operador tendría que poner cada rueda a su máximo y luego agregar un 1 a la rueda "unidad". El acarreo haría girar cada rueda de entrada una por una con un efecto dominó muy rápido y todos los registros de la pantalla se restablecerían.

Las tres fases de una operación de transferencia de acarreo

La transmisión de acarreo tiene tres fases:

1. La primera fase ocurre cuando el registro del display pasa de 4 a 9. Los dos pines de transporte (uno tras otro) levantan el sautoir empujando su parte saliente marcada (3,4,5). Al mismo tiempo, se levanta el trinquete de patada (1) , utilizando un pasador en la rueda receptora como guía, pero sin efecto en esta rueda debido al trinquete / trinquete superior (C) . Durante la primera fase, la rueda activa toca la que recibirá el acarreo a través del sautoir, pero nunca la mueve ni la modifica y por lo tanto el estado de la rueda receptora no tiene impacto alguno en la rueda activa.
2. La segunda fase comienza cuando el registro de la pantalla pasa de 9 a 0. El trinquete de patada pasa su pasador de guía y su resorte (z, u) lo coloca sobre este pasador listo para empujarlo hacia atrás. El sautoir sigue subiendo y, de repente, el segundo alfiler de transporte lo deja caer. El sautoir cae por su propio peso. Durante la segunda fase, el sautoir y las dos ruedas están completamente desconectados.
3. El trinquete de patada (1) empuja el pasador de la rueda receptora y comienza a girarlo. El trinquete / trinquete superior (C) se mueve al siguiente espacio. La operación se detiene cuando la parte saliente (T) golpea el tope amortiguador (R) . El trinquete / trinquete superior (C) coloca todo el mecanismo de recepción en su lugar correcto. Durante la tercera fase, el sautoir, que ya no toca la rueda activa, agrega una a la rueda receptora.

Operación

La Pascaline es una máquina sumadora directa (no tiene manivela), por lo que el valor de un número se agrega al acumulador a medida que se marca. Al mover una barra de visualización, el operador puede ver el número almacenado en la calculadora o el complemento de su valor. Las restas se realizan como adiciones usando algunas propiedades de la aritmética del complemento de 9 .

Complemento de 9

El complemento de 9 de cualquier número decimal de un dígito d es 9- d . Entonces, el complemento de 9 de 4 es 5 y el complemento de 9 de 9 es 0. De manera similar, el complemento de 11 de 3 es 8.

En una máquina decimal con n diales, el complemento a 9 de un número A es:

${\ Displaystyle CP (A) = 10 ^ {n} -1-A}$

y por lo tanto el complemento de 9 de (AB) es:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} CP (AB) & = 10 ^ {n} -1- (AB) & = 10 ^ {n} -1-A + B \\ & = CP (A) + B \ final {alineado}}}$

En otras palabras, el complemento de 9 de la diferencia de dos números es igual a la suma del complemento de 9 del minuendo sumado al sustraendo. El mismo principio es válido y se puede utilizar con números compuestos por dígitos de varias bases (base 6, 12, 20), como en las máquinas topográficas o contables.

Esto también se puede extender a:

${\ Displaystyle CP (ABCD) = CP (A) + B + C + D}$

Este principio se aplica a la pascalina:

${\ Displaystyle CP (A)}$	Primero se ingresa el complemento del minuendo. El operador puede utilizar las ruedas internas de complementos o marcar directamente el complemento del minuendo. La barra de visualización se desplaza para mostrar la ventana del complemento de modo que el operador vea el número directo mostrado porque . ${\ Displaystyle CP (CP (A)) = A}$
B	Luego, se marca el segundo número y se suma su valor al acumulador.
${\ Displaystyle CP (AB)}$	El resultado (AB) se muestra en la ventana del complemento porque . El último paso se puede repetir siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo mostrado en el acumulador. ${\ Displaystyle CP (CP (AB)) = AB}$

Reinicio de la máquina

La máquina debe volver a ponerse a cero antes de cada nueva operación. Para reiniciar su máquina, el operador tiene que poner todas las ruedas al máximo, usando las marcas en dos radios adyacentes , y luego agregar 1 a la rueda más a la derecha.

El método de puesta a cero que eligió Pascal, que propaga un acarreo directamente a través de la máquina, es la tarea más exigente para una calculadora mecánica y demuestra, antes de cada operación, que la máquina es completamente funcional. Este es un testimonio de la calidad del Pascaline porque ninguna de las críticas del siglo XVIII a la máquina mencionaba un problema con el mecanismo de transporte y, sin embargo, esta característica se probó completamente en todas las máquinas, mediante sus reinicios, todo el tiempo.

Adición

Las adiciones se realizan con la barra de visualización más cercana al borde de la máquina, mostrando el valor directo del acumulador.

Después de volver a poner a cero la máquina, los números se marcan uno tras otro.

La siguiente tabla muestra todos los pasos necesarios para calcular 12,345 + 56,789 = 69,134

Sustracción

Las restas se realizan con la barra de visualización más cercana al centro de la máquina que muestra el valor de complemento del acumulador.

El acumulador contiene durante el primer paso y después de agregar B. Al mostrar esos datos en la ventana de complemento, el operador ve cuál es A y luego cuál es . Se siente como una suma, ya que las únicas dos diferencias entre una suma y una resta son la posición de la barra de visualización (directo frente al complemento) y la forma en que se ingresa el primer número (directo frente al complemento). ${\ Displaystyle CP (A)}$${\ Displaystyle CP (AB)}$${\ Displaystyle CP (CP (A))}$${\ Displaystyle CP (CP (AB))}$${\ Displaystyle (AB)}$

La siguiente tabla muestra todos los pasos necesarios para calcular 54,321-12,345 = 41,976

Usos

Los pascalines venían en variedades decimales y no decimales, las cuales se pueden ver en los museos de hoy. Fueron diseñados para su uso por científicos, contables y topógrafos. El Pascaline más simple tenía cinco diales; las variantes posteriores tenían hasta diez diales.

El sistema monetario francés contemporáneo usaba livres , soles y deniers con 20 soles por libra y 12 deniers por sol . La longitud se midió en toises , pieds , pouces y lignes con 6 pieds por toise , 12 pouces por pied y 12 lignes por pouce . Por lo tanto, la pascalina necesitaba ruedas en base 6, 10, 12 y 20. Las ruedas no decimales siempre se ubicaban antes de la parte decimal.

En una máquina de contabilidad (..10,10,20,12), la parte decimal contaba el número de libras (20 soles ), soles (12 deniers ) y deniers . En una máquina de topógrafo (..10,10,6,12,12), la parte decimal contó el número de toises (6 pieds ), pieds (12 pouces ), pouces (12 líneas ) y líneas . Las máquinas científicas solo tenían ruedas decimales.

Se resalta la parte decimal de cada máquina.

El sistema métrico se adoptó en Francia el 10 de diciembre de 1799, momento en el que el diseño básico de Pascal había inspirado a otros artesanos, aunque con una falta similar de éxito comercial.

Producción

La mayoría de las máquinas que han sobrevivido a los siglos son de tipo contable. Siete de ellos están en museos europeos, uno pertenece a la corporación IBM y uno está en manos privadas.

Logros

Pascaline hizo para la moneda francesa que una vez perteneció a Louis Perrier, el sobrino de Pascal. Las denominaciones menos significativas, soles y negadores , están a la derecha.

Ver a través de la parte posterior de la calculadora anterior, mostrando las ruedas

Además de ser la primera máquina calculadora que se hizo pública en su época, la pascalina también es:

• la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII
• la primera calculadora en tener un mecanismo de acarreo controlado que permitió una propagación efectiva de múltiples acarreos
• la primera calculadora que se usará en una oficina (la de su padre para calcular los impuestos)
• la primera calculadora comercializada (con una veintena de máquinas construidas)
• la primera calculadora patentada ( privilegio real de 1649)
• la primera calculadora descrita en una enciclopedia (Diderot & d'Alembert, 1751)
• la primera calculadora vendida por un distribuidor

Diseños competidores

El reloj calculador de Schickard

En 1957, Franz Hammer, un biógrafo de Johannes Kepler , anunció el descubrimiento de dos cartas que Wilhelm Schickard había escrito a su amigo Johannes Kepler en 1623 y 1624 que contienen los dibujos de un reloj calculador en funcionamiento previamente desconocido, anterior a la obra de Pascal en veinte años. . La carta de 1624 decía que la primera máquina construida por un profesional había sido destruida en un incendio durante su construcción y que estaba abandonando su proyecto. Después de un examen cuidadoso, se encontró, en contradicción con el entendimiento de Franz Hammer, que los dibujos de Schickard se habían publicado al menos una vez por siglo a partir de 1718.

Bruno von Freytag Loringhoff, profesor de matemáticas de la Universidad de Tübingen, construyó la primera réplica de la máquina de Schickard, pero no sin agregar ruedas y resortes para terminar el diseño. Este detalle no se describe en las dos cartas y dibujos supervivientes de Schickard. Se encontró un problema en el funcionamiento de la máquina Schickard, basado en las notas supervivientes, después de que se construyeron las réplicas. La máquina de Schickard usaba ruedas de reloj que se hicieron más fuertes y, por lo tanto, más pesadas, para evitar que se dañen por la fuerza de una entrada del operador. Cada dígito utilizó una rueda de visualización, una rueda de entrada y una rueda intermedia. Durante una transferencia de acarreo, todas estas ruedas engranan con las ruedas del dígito que recibe el acarreo. La fricción acumulada y la inercia de todas estas ruedas podrían "... dañar potencialmente la máquina si es necesario propagar un acarreo a través de los dígitos, por ejemplo, como sumar 1 a un número como 9,999". La gran innovación de la calculadora de Pascal fue que fue diseñada para que cada rueda de entrada sea totalmente independiente de todas las demás y los acarreos se propaguen en secuencia. Pascal eligió, para su máquina, un método de puesta a cero que propaga un acarreo directamente a través de la máquina. Es la operación más exigente de ejecutar para una calculadora mecánica y demostró, antes de cada operación, que el mecanismo de transporte del Pascaline era completamente funcional. Esto podría tomarse como un testimonio de la calidad del Pascaline porque ninguna de las críticas del siglo XVIII a la máquina mencionaba un problema con el mecanismo de transporte y, sin embargo, esta característica se probó completamente en todas las máquinas, mediante sus reinicios, todo el tiempo.

Dibujo de Leibniz que muestra 365 multiplicado por 124.

Gottfried Leibniz comenzó a trabajar en su propia calculadora después de la muerte de Pascal. Primero trató de construir una máquina que pudiera multiplicarse automáticamente mientras estaba sentado encima del Pascaline, asumiendo (erróneamente) que todos los diales de la calculadora de Pascal podían operarse al mismo tiempo. Aunque esto no se pudo hacer, fue la primera vez que se describió un molinillo y se usó en el dibujo de una calculadora.

Luego ideó un diseño competitivo, el Stepped Reckoner que estaba destinado a realizar sumas, restas y multiplicaciones automáticamente y la división bajo el control del operador. Leibniz luchó durante cuarenta años para perfeccionar este diseño y produjo dos máquinas, una en 1694 y otra en 1706. Sólo se sabe que existe la máquina construida en 1694; fue redescubierto a finales del siglo XIX, después de haber pasado 250 años olvidado en un ático de la Universidad de Göttingen .

Se pidió al inventor alemán de la máquina de calcular Arthur Burkhardt que intentara poner en funcionamiento la máquina de Leibniz. Su informe fue favorable excepto por la secuencia en el acarreo. y "por tanto, especialmente en el caso de múltiples transferencias de acarreo, el operador tenía que comprobar el resultado y corregir manualmente los posibles errores". Leibniz no había logrado crear una calculadora que funcionara correctamente, pero había inventado la rueda de Leibniz , el principio de una calculadora mecánica de dos movimientos. También fue el primero en tener cursores para inscribir el primer operando y un carro móvil para los resultados.

Hubo cinco intentos adicionales de diseñar máquinas calculadoras de "entrada directa" en el siglo XVII (incluidos los diseños de Tito Burattini , Samuel Morland y René Grillet ).

Alrededor de 1660, Claude Perrault diseñó un abaque rhabdologique que a menudo se confunde con una calculadora mecánica porque tiene un mecanismo de transporte entre los números. Pero en realidad es un ábaco, ya que requiere que el operador maneje la máquina de manera diferente cuando se lleva a cabo una transferencia.

La calculadora de Pascal fue la calculadora mecánica más exitosa desarrollada en el siglo XVII para la suma y resta de números grandes. El contador escalonado tuvo un problema en el mecanismo de transporte después de más de dos acarreos consecutivos, y los otros dispositivos tenían mecanismos de transporte (una rueda dentada) que tenían una capacidad limitada para transportar varios dígitos o no tenían mecanismo de transporte entre los dígitos de el acumulador.

Las máquinas de calcular no se volvieron comercialmente viables hasta 1851, cuando Thomas de Colmar lanzó, después de treinta años de desarrollo, su aritmómetro simplificado , la primera máquina lo suficientemente fuerte para usarse a diario en un entorno de oficina. El aritmómetro se diseñó en torno a las ruedas de Leibniz e inicialmente utilizó el método de complemento de 9 de Pascal para las restas.

Ver también

• Una máquina de sumar
• Reckoner escalonado
• Aritmómetro
• Máquina de calcular
• Motor de diferencia
• Motor analítico
• Z1 (computadora)

Notas

Fuentes

enlaces externos

• Medios relacionados con Pascaline en Wikimedia Commons
• Sitio web que explica el funcionamiento de un Pascaline.
• Animación detallada que explica cómo funciona Pascaline.
• Más detalles sobre la historia de Pascaline y réplicas contemporáneas.
• Más sobre las 'instrucciones de funcionamiento' de un Pascaline.
• "Avis nécessaire à ceux qui auront curiosité de voir ladite Machine et s'en servir" (Pascaline, 1635), texto en línea y análisis en BibNum [haga clic en 'à télécharger' para la versión en inglés] .