Ecuación omega - Omega equation

La ecuación omega es un resultado culminante en la meteorología a escala sinóptica . Es una ecuación diferencial parcial elíptica , llamada así porque su lado izquierdo produce una estimación de la velocidad vertical, habitualmente expresada por símbolo , en una coordenada de presión que mide la altura de la atmósfera. Matemáticamente, donde representa una derivada material . Sin embargo, el concepto subyacente es más general y también se puede aplicar al sistema de ecuaciones de fluidos de Boussinesq donde la velocidad vertical está en la coordenada de altitud z. ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {dp} {dt}}}$ ${\ Displaystyle {d \ over dt}}$ ${\ Displaystyle w = {\ frac {dz} {dt}}}$

Concepto y resumen

El viento vertical es crucial para el clima y las tormentas de todo tipo. Incluso las corrientes ascendentes lentas y amplias pueden crear inestabilidad convectiva o llevar el aire a su nivel de condensación elevado creando capas de nubes estratiformes . Desafortunadamente, es difícil predecir directamente el movimiento vertical. Para escalas sinópticas en la troposfera amplia y poco profunda de la Tierra , el componente vertical de la ley de movimiento de Newton se sacrifica en las ecuaciones primitivas de la meteorología , al aceptar la aproximación hidrostática . En cambio, la velocidad vertical debe resolverse a través de su vínculo con las leyes horizontales del movimiento, a través de la ecuación de continuidad de masa . Pero esto presenta más dificultades, porque los vientos horizontales son en su mayoría geostróficos , en una buena aproximación . Los vientos geostróficos simplemente circulan horizontalmente y no convergen o divergen significativamente en la horizontal para proporcionar el vínculo necesario para la continuidad de la masa y por lo tanto el movimiento vertical.

La idea clave encarnada por la ecuación omega cuasi-geostrófica es que el equilibrio térmico del viento (la combinación de los equilibrios de fuerza hidrostática y geostrófica anteriores) se mantiene a lo largo del tiempo, aunque el transporte horizontal de impulso y calor por los vientos geostróficos a menudo tenderá a destruir ese equilibrio. . Entonces, lógicamente, un pequeño componente no geostrófico del viento (uno que es divergente y, por lo tanto, está conectado al movimiento vertical) debe actuar como una circulación secundaria para mantener el equilibrio de la circulación primaria geostrófica. El omega cuasi geostrófico es el hipotético movimiento vertical cuyo efecto adiabático de enfriamiento o calentamiento (basado en la estabilidad estática de la atmósfera ) evitaría que el desequilibrio del viento térmico crezca con el tiempo, al contrarrestar los efectos de la advección que destruyen el equilibrio (o crean el desequilibrio) . Estrictamente hablando, la teoría QG se aproxima tanto al momento advectado como a la velocidad de advección según lo dado por el viento geostrófico . ${\ Displaystyle \ omega _ {QG}}$

En resumen, se puede considerar la velocidad vertical que resulta de resolver la ecuación omega como la que sería necesaria para mantener la geoestrofia y la hidrostasia frente a la advección del viento geostrófico.

La ecuación dice:

{\ Displaystyle \ sigma \ nabla _ {\ text {H}} ^ {2} \ omega + f ^ {2} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ omega} {\ parcial p ^ {2}}} = f {\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} \ left [\ mathbf {V} _ {\ text {g}} \ cdot \ nabla _ {\ text {H}} \ left (\ zeta _ { \ text {g}} + f \ right) \ right] - \ nabla _ {\ text {H}} ^ {2} \ left (\ mathbf {V} _ {\ text {g}} \ cdot \ nabla _ {\ text {H}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial p}} \ derecha)}

( 1 )

donde es el parámetro de Coriolis , está relacionado con la estabilidad estática , es el vector de velocidad geostrófica , es la vorticidad relativa geostrófica , es el geopotencial , es el operador horizontal laplaciano y es el operador horizontal del . Su signo y sentido en aplicaciones meteorológicas típicas es: el movimiento ascendente se produce por advección de vorticidad positiva por encima del nivel en cuestión (el primer término), más advección cálida (el segundo término). ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {\ text {g}}}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {\ text {g}}}$ ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ text {H}} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ text {H}}}$

Derivación

La derivación de la ecuación se basa en el componente vertical de la ecuación de vorticidad y la ecuación termodinámica. La ecuación de vorticidad vertical para una atmósfera sin fricción se puede escribir usando la presión como coordenada vertical: ${\ Displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial t}} + V \ cdot \ nabla \ eta -f {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} = \ izquierda (\ xi { \ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial p}} \ derecha) + {\ hat {k}} \ cdot \ nabla \ omega \ veces {\ frac {\ parcial V} {\ parcial p}}}

( 2 )

Aquí está la vorticidad relativa, el vector de velocidad del viento horizontal, cuyas componentes en las direcciones y son y respectivamente, la vorticidad absoluta , es el parámetro de Coriolis , la derivada material de la presión , es el vector vertical unitario, es el isobárico Del (grad) operador, es la advección vertical de la vorticidad y representa el término "basculante" o transformación de la vorticidad horizontal en vorticidad vertical. ${\ Displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle \ xi + f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {dp} {dt}}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (\ xi {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial p}} \ derecha)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}} \ cdot \ nabla \ omega \ times {\ frac {\ parcial V} {\ parcial p}}}$

La ecuación termodinámica se puede escribir como:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ t parcial}} \ izquierda (- {\ frac {\ Z parcial} {\ p parcial}} \ derecha) + V \ cdot \ nabla \ izquierda (- {\ frac {\ parcial Z} {\ parcial p}} \ derecha) -k \ omega = {\ frac {R} {C _ {\ text {p}} \ cdot g}} \ cdot {\ frac {Q} {p} }}

( 3 )

donde , en la cual es la tasa de calentamiento (suministro de energía por unidad de tiempo y unidad de masa), es el calor específico del aire seco, es la constante de gas para el aire seco, es la temperatura potencial y es geopotencial . ${\ Displaystyle k \ equiv \ left ({\ frac {\ parcial Z} {\ parcial p}} \ derecha) {\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} \ ln \ theta}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle C _ {\ text {p}}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle (gZ)}$

La ecuación ( 1 ) se obtiene a partir de la ecuación ( 2 ) y ( 3 ) formulando ambas ecuaciones en términos de geopotencial Z y eliminando las derivadas del tiempo con base en el supuesto físico de que el desequilibrio del viento térmico permanece pequeño a lo largo del tiempo, od / dt (desequilibrio ) = 0. Para el primer paso, la vorticidad relativa debe aproximarse como la vorticidad geostrófica: ${\ Displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle \ xi = {\ frac {g} {f}} \ nabla ^ {2} Z}

Expandiendo el término de "inclinación" final en ( 2 ) en coordenadas cartesianas (aunque pronto lo descuidaremos), la ecuación de vorticidad dice:

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ parcial t}} \ left ({\ frac {g} {f}} \ nabla ^ {2} Z \ right) + V \ cdot \ nabla \ eta -f { \ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} = \ izquierda (\ xi {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial p}} \ derecha) + \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ y parcial}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial p}} - {\ frac {\ parcial \ omega} { \ parcial x}} {\ frac {\ parcial v} {\ parcial p}} \ derecha)}

( 4 )

Diferenciar ( 4 ) con respecto a da: ${\ Displaystyle p}$

{\ Displaystyle {\ frac {g} {f}} {\ frac {\ parcial} {\ t parcial}} \ nabla ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ Z parcial} {\ p parcial}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ p parcial}} (V \ cdot \ nabla \ eta) -f {\ frac {\ parcial ^ {2} \ omega} {\ parcial p ^ {2}}} = {\ frac {\ parcial} {\ p parcial}} \ izquierda (\ xi {\ frac {\ parcial \ omega} {\ p parcial}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ p parcial }} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial y}} \ cdot {\ frac {\ parcial u} {\ parcial p}} - {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x}} \ cdot {\ frac {\ parcial v} {\ parcial p}} \ derecha)}

( 5 )

Tomando el Laplaciano ( ) de ( 3 ) da: ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical t}} \ nabla ^ {2} \ left (- {\ frac {\ Partical Z} {\ Partical P}} \ right) + \ nabla ^ {2} [V \ cdot \ nabla \ izquierda (- {\ frac {\ parcial Z} {\ parcial p}} \ derecha)] - \ nabla ^ {2} k \ omega = {\ frac {R} {C _ {\ text {p}} \ cdot g}} \ cdot {\ frac {\ nabla ^ {2} Q} {p}}}

( 6 )

Sumando ( 5 ) ag / f veces ( 6 ), sustituyendo y aproximando la advección horizontal con la advección geostrófica (usando el formalismo jacobiano ) se obtiene: ${\ Displaystyle gk = \ sigma}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ omega + {\ frac {f ^ {2}} {\ sigma}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ omega} {\ parcial p ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sigma}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} J (\ phi, \ eta) + {\ frac {1} {f}} \ nabla ^ {2} J \ izquierda (\ phi, - {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial p}} \ derecha) \ derecha] - {\ frac {f} {\ sigma}} {\ frac {\ parcial } {\ p parcial}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ y parcial}} \ cdot {\ frac {\ parcial u} {\ parcial p}} - {\ frac {\ parcial \ omega } {\ parcial x}} \ cdot {\ frac {\ parcial v} {\ parcial p}} \ derecha) - {\ frac {f} {\ sigma}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial p} } \ izquierda (\ xi {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial p}} \ derecha) {\ frac {R \ cdot \ nabla ^ {2} Q} {C _ {\ text {p}} \ cdot S \ cdot p}}}

( 7 )

La ecuación ( 7 ) es ahora una ecuación diferencial lineal de diagnóstico para , que se puede dividir en dos términos, a saber , y , de manera que: ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ omega _ {1} + {\ frac {f ^ {2}} {\ sigma}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ omega _ {1}} {\ parcial p ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sigma}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} J (\ phi, \ eta) + {\ frac {1 } {f}} \ nabla ^ {2} J \ izquierda (\ phi, - {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial p}} \ derecha) \ derecha] - {\ frac {f} {\ sigma }} {\ frac {\ parcial} {\ parcial p}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial y}} \ cdot {\ frac {\ parcial u} {\ parcial p}} - {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x}} \ cdot {\ frac {\ parcial v} {\ parcial p}} \ derecha) - {\ frac {f} {\ sigma}} {\ frac { \ parcial} {\ parcial p}} \ izquierda (\ xi {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial p}} - \ omega {\ frac {\ parcial \ xi} {\ parcial p}} \ derecha) }

( 8 )

y

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ omega _ {2} + {\ frac {f ^ {2}} {\ sigma}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ omega _ {2}} {\ p parcial ^ {2}}} = {\ frac {R \ cdot \ nabla ^ {2} Q} {C _ {\ text {p}} \ cdot \ sigma \ cdot p}}}

( 9 )

donde es la velocidad vertical atribuible a todas las tendencias advectivas dependientes del flujo en la Ecuación ( 8 ), y es la velocidad vertical debida al calentamiento no adiabático, que incluye el calor latente de condensación, los flujos de calor sensible, el calentamiento radiativo, etc. (Singh y Rathor, 1974). Dado que todas las velocidades de advección en la horizontal han sido reemplazadas por valores geostróficos, y los vientos geostróficos son casi no divergentes, el descuido de los términos de advección vertical es una suposición adicional consistente del conjunto cuasi-geostrófico , dejando solo el término entre corchetes en las Ecs. ( 7 - 8 ) para ingresar ( 1 ). ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$

Interpretación

Los meteorólogos y los meteorólogos operativos utilizan la ecuación ( 1 ) para adiabático para anticipar dónde se producirá el movimiento ascendente en las cartas sinópticas. Para movimientos sinusoidales o en forma de onda, donde los operadores laplacianos actúan simplemente como un signo negativo, y el significado de la ecuación se puede expresar con palabras que indiquen el signo del efecto: el movimiento ascendente es impulsado por una advección de vorticidad positiva que aumenta con la altura (o PVA para abreviar), más advección cálida (o WA para abreviar). El caso con signo opuesto es lógicamente opuesto, para esta ecuación lineal. ${\ Displaystyle \ omega _ {QG}}$

En una ubicación donde los efectos de desequilibrio de la advección adiabática actúan para impulsar el movimiento ascendente (donde en la Ec. 1 ), la inercia del campo de viento geostrófico (es decir, su propensión a continuar) está creando una demanda de espesor decreciente en para que el equilibrio térmico del viento se mantenga. Por ejemplo, cuando se acerca un ciclón en un nivel superior o un valle por encima del nivel en cuestión, la parte de atribuible al primer término en la Ec. 1 es el movimiento ascendente necesario para crear la columna de aire cada vez más fría que se requiere hipsométricamente bajo las alturas descendentes. Ese razonamiento adiabático debe complementarse con una apreciación de las retroalimentaciones del calentamiento dependiente del flujo, como la liberación de calor latente. Si se libera calor latente cuando el aire se enfría, se requerirá un movimiento ascendente adicional según la ecuación. ( 9 ) para contrarrestar su efecto, a fin de seguir creando el núcleo frío necesario. Otra forma de pensar en tal retroalimentación es considerar una estabilidad estática efectiva que es menor en aire saturado que en aire insaturado, aunque una complicación de esa visión es que el calentamiento latente mediado por convección no necesita ser verticalmente local a la altitud donde el enfriamiento por desencadena su formación. Por esta razón, retener un término Q separado como la Ecuación (9) es un enfoque útil. ${\ Displaystyle \ omega _ {QG} <0}$ ${\ Displaystyle {\ frac {- \ parcial Z} {\ parcial p}}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {QG}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {QG}}$

Referencias

↑ ^a ^b Holton, James (2004). Introducción a la meteorología dinámica . Prensa académica de Elsevier. ISBN 0123540151 .
^ Davies, Huw (2015). "La ecuación Omega cuasigeostrófica: reevaluación, refinamientos y relevancia" . Revisión mensual del clima . 143 (1): 3–25. Bibcode : 2015MWRv..143 .... 3D . doi : 10.1175 / MWR-D-14-00098.1 .
^ Holton, JR, 1992, Introducción a la prensa académica de meteorología dinámica , 166-175
^ ^a ^b "Laboratorio de ecuaciones omega cuasi-geostróficas" . METEd, programa CoMET . Consultado el 10 de noviembre de 2019 .
^ Singh & Rathor, 1974, Reducción de la ecuación Omega completa a la forma más simple, Geofísica pura y aplicada, 112, 219-223
^ Nie, Ji; Fan, Bowen (19 de junio de 2019). "Funciones de los forzamientos dinámicos y el calentamiento diabático en las precipitaciones extremas de verano en el este de China y el sureste de Estados Unidos" . Revista del clima . 32 (18): 5815–5831. Código bibliográfico : 2019JCli ... 32.5815N . doi : 10.1175 / JCLI-D-19-0188.1 . ISSN 0894-8755 .

enlaces externos

Definición de la Sociedad Meteorológica Estadounidense

[:0-1] Holton, James (2004). Introducción a la meteorología dinámica . Prensa académica de Elsevier. ISBN 0123540151 .

[2] Davies, Huw (2015). "La ecuación Omega cuasigeostrófica: reevaluación, refinamientos y relevancia" . Revisión mensual del clima . 143 (1): 3–25. Bibcode : 2015MWRv..143 .... 3D . doi : 10.1175 / MWR-D-14-00098.1 .

[3] Holton, JR, 1992, Introducción a la prensa académica de meteorología dinámica , 166-175

[:1-4] "Laboratorio de ecuaciones omega cuasi-geostróficas" . METEd, programa CoMET . Consultado el 10 de noviembre de 2019 .

[5] Singh & Rathor, 1974, Reducción de la ecuación Omega completa a la forma más simple, Geofísica pura y aplicada, 112, 219-223

[6] Nie, Ji; Fan, Bowen (19 de junio de 2019). "Funciones de los forzamientos dinámicos y el calentamiento diabático en las precipitaciones extremas de verano en el este de China y el sureste de Estados Unidos" . Revista del clima . 32 (18): 5815–5831. Código bibliográfico : 2019JCli ... 32.5815N . doi : 10.1175 / JCLI-D-19-0188.1 . ISSN 0894-8755 .

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