Proyección de Mercator - Mercator projection

La proyección de Mercator ( / m ər k eɪ t ər / ) es una proyección de mapa cilíndrico presentado por Flemish geógrafo y cartógrafo Gerardus Mercator en 1569. Se convirtió en la proyección de mapa estándar para la navegación porque es único en la representación de norte como arriba y sur como hacia abajo en todas partes conservando las direcciones y formas locales. Por tanto, el mapa es conforme . Como efecto secundario, la proyección de Mercator infla el tamaño de los objetos lejos del ecuador. Esta inflación es muy pequeña cerca del ecuador, pero se acelera al aumentar la latitud para volverse infinita en los polos. Como resultado, las masas de tierra como Groenlandia y la Antártida parecen mucho más grandes de lo que realmente son en relación con las masas de tierra cerca del ecuador, como África Central.

Historia

Existe cierta controversia sobre los orígenes del Mercator. El erudito alemán Erhard Etzlaub grabó "mapas de brújula" en miniatura (aproximadamente 10 × 8 cm) de Europa y partes de África que abarcaban latitudes de 0 ° a 67 ° para permitir el ajuste de sus relojes de sol portátiles de bolsillo . La proyección encontrada en estos mapas, que data de 1511, fue declarada por Snyder en 1987 como la misma proyección que la de Mercator. Sin embargo, dada la geometría de un reloj de sol, estos mapas bien pueden haberse basado en la proyección cilíndrica central similar , un caso límite de la proyección gnomónica , que es la base de un reloj de sol. Snyder enmienda su evaluación a "una proyección similar" en 1994.

Joseph Needham , un historiador de China, escribió que los chinos desarrollaron la proyección de Mercator cientos de años antes que Mercator, usándola en mapas estelares durante la dinastía Song . Sin embargo, este fue un caso simple y común de identificación errónea. La proyección en uso fue la proyección equirrectangular .

El matemático y cosmógrafo portugués Pedro Nunes describió por primera vez el principio matemático del loxódromo y su uso en la navegación marina. En 1537, propuso la construcción de un atlas náutico compuesto por varias láminas a gran escala en la proyección equidistante cilíndrica como una forma de minimizar la distorsión de direcciones. Si estas hojas se llevaran a la misma escala y se ensamblaran, se aproximarían a la proyección de Mercator.

En 1569, Gerhard Kremer, conocido por su nombre comercial Gerardus Mercator, anunció una nueva proyección con la publicación de una gran planisférico mapa que mide 202 por 124 cm (80 por 49 pulgadas) e impreso en dieciocho hojas separadas. Mercator tituló el mapa Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : "Una descripción nueva y aumentada de la Tierra corregida para el uso de los marineros". Este título, junto con una explicación detallada del uso de la proyección que aparece como una sección de texto en el mapa, muestra que Mercator entendió exactamente lo que había logrado y que su intención era que la proyección ayudara a la navegación. Mercator nunca explicó el método de construcción ni cómo llegó a él. Se han presentado varias hipótesis a lo largo de los años, pero en cualquier caso, la amistad de Mercator con Pedro Nunes y su acceso a las tablas loxodrómicas que Nunes creó probablemente ayudaron en sus esfuerzos.

El matemático inglés Edward Wright publicó las primeras tablas precisas para construir la proyección en 1599 y, con más detalle, en 1610, titulando su tratado "Errores ciertos en la navegación". La primera formulación matemática fue publicada alrededor de 1645 por un matemático llamado Henry Bond (c. 1600-1678). Sin embargo, las matemáticas involucradas fueron desarrolladas pero nunca publicadas por el matemático Thomas Harriot a partir de 1589.

El desarrollo de la proyección de Mercator supuso un gran avance en la cartografía náutica del siglo XVI. Sin embargo, se adelantó mucho a su tiempo, ya que las antiguas técnicas de navegación y topografía no eran compatibles con su uso en la navegación. Dos problemas principales impidieron su aplicación inmediata: la imposibilidad de determinar la longitud en el mar con la precisión adecuada y el hecho de que en la navegación se utilizaran direcciones magnéticas, en lugar de direcciones geográficas . Solo a mediados del siglo XVIII, después de que se inventara el cronómetro marino y se conociera la distribución espacial de la declinación magnética , los navegantes pudieron adoptar plenamente la proyección de Mercator.

A pesar de esas limitaciones de búsqueda de posición, la proyección de Mercator se puede encontrar en muchos mapas del mundo en los siglos posteriores a la primera publicación de Mercator. Sin embargo, no comenzó a dominar los mapas del mundo hasta el siglo XIX, cuando el problema de la determinación de la posición se resolvió en gran medida. Una vez que Mercator se convirtió en la proyección habitual de los mapas comerciales y educativos, fue objeto de críticas persistentes de los cartógrafos por su representación desequilibrada de las masas de tierra y su incapacidad para mostrar de manera útil las regiones polares.

Las críticas dirigidas contra el uso inadecuado de la proyección de Mercator dieron como resultado una oleada de nuevos inventos a finales del siglo XIX y principios del XX, a menudo promocionados directamente como alternativas a Mercator. Debido a estas presiones, los editores redujeron gradualmente el uso de la proyección a lo largo del siglo XX. Sin embargo, el advenimiento del mapeo web dio a la proyección un resurgimiento abrupto en forma de proyección Web Mercator .

Hoy en día, Mercator se puede encontrar en cartas marinas, mapas del mundo ocasionales y servicios de mapeo web, pero los atlas comerciales lo han abandonado en gran medida, y los mapas murales del mundo se pueden encontrar en muchas proyecciones alternativas. Google Maps , que se basó en él desde 2005, todavía lo usa para mapas de área local, pero eliminó la proyección de las plataformas de escritorio en 2017 para mapas que se alejan de las áreas locales. Muchos otros servicios de mapas en línea todavía utilizan exclusivamente Web Mercator.

Propiedades

Como en todas las proyecciones cilíndricas , los paralelos y meridianos de Mercator son rectos y perpendiculares entre sí. Para lograr esto, el inevitable estiramiento este-oeste del mapa, que aumenta a medida que aumenta la distancia desde el ecuador , se acompaña en la proyección de Mercator por un correspondiente estiramiento norte-sur, de modo que en cada ubicación de punto la escala este-oeste es igual que la escala norte-sur, lo que la convierte en una proyección cartográfica conforme . Las proyecciones conformes conservan los ángulos alrededor de todas las ubicaciones.

Debido a que la escala lineal de un mapa de Mercator aumenta con la latitud, distorsiona el tamaño de los objetos geográficos lejos del ecuador y transmite una percepción distorsionada de la geometría general del planeta. En latitudes superiores a 70 ° norte o sur, la proyección de Mercator es prácticamente inutilizable, porque la escala lineal se vuelve infinitamente grande en los polos. Por lo tanto, un mapa de Mercator nunca puede mostrar completamente las áreas polares (siempre que la proyección se base en un cilindro centrado en el eje de rotación de la Tierra; vea la proyección transversal de Mercator para otra aplicación).

La proyección de Mercator mapea todas las líneas con rumbo constante ( rumbos (matemáticamente conocidos como loxodromes, los que forman ángulos constantes con los meridianos) a líneas rectas. Las dos propiedades, la conformidad y las líneas de rumbo rectas, hacen que esta proyección sea especialmente adecuada para la navegación marina : rumbos y rumbos. los rumbos se miden usando rosas de viento o transportadores, y las direcciones correspondientes se transfieren fácilmente de un punto a otro, en el mapa, con la ayuda de una regla paralela (por ejemplo).

Distorsión de tamaños

Como en todas las proyecciones de mapas , las formas o tamaños son distorsiones del verdadero diseño de la superficie de la Tierra.

La proyección de Mercator exagera las áreas alejadas del ecuador .

Ejemplos de distorsión de tamaño

• La Antártida parece ser extremadamente grande. Si se cartografiara todo el mundo, la Antártida se inflaría infinitamente. En realidad, es el tercer continente más pequeño.

• La isla de Ellesmere, en el norte del archipiélago ártico de Canadá , parece del mismo tamaño que Australia , aunque Australia es 39 veces más grande. Todas las islas del archipiélago ártico de Canadá parecen al menos 4 veces más grandes, y las islas más al norte parecen incluso más grandes.

• Groenlandia parece tener el mismo tamaño que África , cuando en realidad el área de África es 14 veces mayor.
  • La superficie real de Groenlandia es comparable a la de la República Democrática del Congo por sí sola.
  • África parece tener aproximadamente el mismo tamaño que América del Sur , cuando en realidad África es más de una vez y media más grande.

• Svalbard parece ser más grande que Borneo , cuando, en realidad, Borneo es aproximadamente 12 veces más grande que Svalbard.

• Alaska parece tener el mismo tamaño que Australia, aunque Australia en realidad tiene 4+1/2 veces más grande.
  • Alaska también ocupa tanta área en el mapa como Brasil , mientras que el área de Brasil es casi 5 veces mayor que la de Alaska.

• Madagascar y Gran Bretaña parecen tener aproximadamente el mismo tamaño, mientras que Madagascar es en realidad más del doble de grande que la mayor de las Islas Británicas.
  • Suecia parece mucho más grande que Madagascar. En realidad, tienen un tamaño similar.

• Rusia parece más grande que toda África o América del Norte (sin las islas de esta última). También parece el doble del tamaño de China y los Estados Unidos contiguos juntos, cuando, en realidad, la suma es comparable en tamaño.
  • La inflación del norte también distorsiona agudamente la forma de Rusia, haciéndola parecer mucho más alta de norte a sur y estirando mucho sus regiones árticas en comparación con sus latitudes medias.

Crítica

Debido a las grandes distorsiones del área terrestre, algunos consideran que la proyección no es adecuada para mapas del mundo generales. Por lo tanto, el propio Mercator utilizó la proyección sinusoidal de áreas iguales para mostrar áreas relativas. Sin embargo, a pesar de tales distorsiones, la proyección de Mercator fue, especialmente a finales del siglo XIX y principios del XX, quizás la proyección más utilizada en los mapas del mundo, a pesar de haber sido muy criticada por este uso.

Debido a su uso muy común, se supone que la proyección de Mercator ha influido en la visión del mundo de las personas, y debido a que muestra a los países cercanos al Ecuador como demasiado pequeños en comparación con los de Europa y América del Norte, se supone que causa que la gente considerar a esos países como menos importantes. Como resultado de estas críticas, los atlas modernos ya no utilizan la proyección de Mercator para mapas del mundo o para áreas distantes del ecuador, prefiriendo otras proyecciones cilíndricas o formas de proyección de áreas iguales . Sin embargo, la proyección de Mercator todavía se usa comúnmente para áreas cercanas al ecuador, donde la distorsión es mínima. También se encuentra con frecuencia en mapas de zonas horarias.

Arno Peters generó controversia a partir de 1972 cuando propuso lo que ahora se llama generalmente la proyección de Gall-Peters para remediar los problemas de Mercator, afirmando que era su propia obra original sin hacer referencia a trabajos anteriores de cartógrafos como el trabajo de Gall de 1855. El La proyección que promovió es una parametrización específica de la proyección cilíndrica de áreas iguales . En respuesta, una resolución de 1989 de siete grupos geográficos norteamericanos desacreditó el uso de proyecciones cilíndricas para mapas del mundo de propósito general, que incluirían tanto a Mercator como a Gall-Peters.

Usos

Prácticamente todas las cartas marinas impresas se basan en la proyección de Mercator debido a sus propiedades favorables para la navegación. También es comúnmente utilizado por los servicios de mapas de calles alojados en Internet, debido a sus propiedades favorables únicas para los mapas de área local calculados a pedido. Las proyecciones de Mercator también fueron importantes en el desarrollo matemático de la tectónica de placas en la década de 1960.

Navegación marina

La proyección de Mercator fue diseñado para su uso en marina navegación debido a su propiedad única de representar cualquier curso de la constante de cojinete como un segmento de recta. Este rumbo, conocido como rumbo (o, matemáticamente, loxódromo) es el preferido en la navegación marítima porque los barcos pueden navegar en una dirección constante de la brújula, lo que reduce las correcciones de rumbo difíciles y propensas a errores que, de otro modo, serían necesarias con frecuencia al navegar en una dirección diferente. curso. Para distancias pequeñas en comparación con el radio de la Tierra, la diferencia entre el rumbo y el rumbo más corto técnicamente, un gran segmento de círculo , es insignificante, e incluso para distancias más largas, la simplicidad del rumbo constante lo hace atractivo. Como observa Mercator, en ese rumbo, el barco no llegaría por la ruta más corta, pero seguramente llegará. Navegar en rumbo significaba que todo lo que los marineros tenían que hacer era mantener un rumbo constante siempre que supieran dónde estaban cuando salieron, dónde pretendían estar cuando terminaran y tuvieran un mapa en la proyección de Mercator que mostrara correctamente a esos dos. coordenadas.

Web Mercator

Muchos de los principales servicios de mapas de calles en línea ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps y otros) utilizan una variante de la proyección de Mercator para sus imágenes de mapas llamada Web Mercator o Google Web Mercator. A pesar de su variación de escala obvia a escalas pequeñas, la proyección se adapta bien como un mapa del mundo interactivo que se puede ampliar sin problemas a mapas (locales) de gran escala, donde hay relativamente poca distorsión debido a la casi conformidad de la proyección variante .

Los sistemas de mosaicos de los principales servicios de mapas de calles en línea muestran la mayor parte del mundo con el nivel de zoom más bajo como una imagen cuadrada única, excluyendo las regiones polares por truncamiento en latitudes de φ _max  = ± 85.05113 °. (Ver más abajo ). Los valores de latitud fuera de este rango se mapean usando una relación diferente que no diverge en  φ  = ± 90 °.

Matemáticas

Modelo esférico

Aunque la superficie de la Tierra se modela mejor mediante un elipsoide achatado de revolución , para mapas a pequeña escala , el elipsoide se aproxima a una esfera de radio a . Existen muchos métodos diferentes para calcular a . Los más simples incluyen (a) el radio ecuatorial del elipsoide, (b) la media aritmética o geométrica de los semiejes del elipsoide y (c) el radio de la esfera que tiene el mismo volumen que el elipsoide. El rango para una de las opciones posibles es de aproximadamente 35 km, pero para aplicaciones de pequeña escala (región grande) esta variación puede ignorarse, y se pueden tomar valores medios de 6.371 km y 40.030 km para el radio y la circunferencia, respectivamente. Estos son los valores utilizados para ejemplos numéricos en secciones posteriores. Solo la cartografía de alta precisión en mapas a gran escala requiere un modelo elipsoidal.

Proyecciones cilíndricas

La aproximación esférica de la Tierra con radio a puede modelarse mediante una esfera más pequeña de radio R , llamada globo terráqueo en esta sección. El globo determina la escala del mapa. Las diversas proyecciones cilíndricas especifican cómo se transfiere el detalle geográfico desde el globo a un cilindro tangencial a él en el ecuador. A continuación, se desenrolla el cilindro para obtener el mapa plano. La fracciónR/ase llama fracción representativa (RF) o escala principal de la proyección. Por ejemplo, un mapa de Mercator impreso en un libro podría tener un ancho ecuatorial de 13,4 cm correspondiente a un radio de globo de 2,13 cm y un RF de aproximadamente1/Los 300M (M se usa como abreviatura de 1,000,000 al escribir un RF) mientras que el mapa original de Mercator de 1569 tiene un ancho de 198 cm correspondiente a un radio de globo de 31.5 cm y un RF de aproximadamente 1/20M.

Una proyección de mapa cilíndrica se especifica mediante fórmulas que vinculan las coordenadas geográficas de latitud  φ y longitud  λ con coordenadas cartesianas en el mapa con origen en el ecuador y eje x a lo largo del ecuador. Por construcción, todos los puntos del mismo meridiano se encuentran en el mismo generador del cilindro a un valor constante de x , pero la distancia y a lo largo del generador (medida desde el ecuador) es una función arbitraria de la latitud, y ( φ ). En general, esta función no describe la proyección geométrica (como de rayos de luz en una pantalla) desde el centro del globo hacia el cilindro, que es solo una de las ilimitadas formas de proyectar conceptualmente un mapa cilíndrico.

Dado que el cilindro es tangencial al globo en el ecuador, el factor de escala entre el globo y el cilindro es la unidad en el ecuador, pero no en ningún otro lugar. En particular, dado que el radio de un paralelo, o círculo de latitud, es R  cos  φ , el paralelo correspondiente en el mapa debe haber sido estirado por un factor de1/porque φ= seg φ . Este factor de escala en el paralelo se denota convencionalmente por k y el factor de escala correspondiente en el meridiano se denota por  h .

Geometría de elementos pequeños

Las relaciones entre y ( φ ) y las propiedades de la proyección, como la transformación de ángulos y la variación de escala, se derivan de la geometría de los elementos pequeños correspondientes en el globo y el mapa. La siguiente figura muestra un punto P en la latitud  φ y longitud  λ en el globo y un punto cercano Q en la latitud φ  +  δφ y longitud λ  +  δλ . Las líneas verticales PK y MQ son arcos de meridianos de longitud Rδφ . Las líneas horizontales PM y KQ son arcos de paralelos de longitud R (cos  φ ) δλ .

Para elementos pequeños, el ángulo PKQ es aproximadamente un ángulo recto y por lo tanto

${\ Displaystyle \ tan \ alpha \ approx {\ frac {R \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda} {R \, \ delta \ varphi}}, \ qquad \ qquad \ tan \ beta = {\ frac {\ delta x} {\ delta y}},}$

Los factores de escala mencionados anteriormente de globo a cilindro vienen dados por

factor de escala paralelo     ${\ Displaystyle \ quad k (\ varphi) \; = \; {\ frac {P'M '} {PM}} \; = \; {\ frac {\ delta x} {R \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda}},}$

factor de escala meridiano   ${\ Displaystyle \ quad h (\ varphi) \; = \; {\ frac {P'K '} {PK}} \; = \; {\ frac {\ delta y} {R \ delta \ varphi \,} }.}$

Dado que los meridianos se asignan a líneas de constante x , debemos tener x = R ( λ - λ ₀ ) y δx  =  Rδλ , ( λ en radianes). Por lo tanto, en el límite de elementos infinitesimalmente pequeños

${\ Displaystyle \ tan \ beta = {\ frac {R \ sec \ varphi} {y '(\ varphi)}} \ tan \ alpha \ ,, \ qquad k = \ sec \ varphi \ ,, \ qquad h = { \ frac {y '(\ varphi)} {R}}.}$

Derivación de la proyección de Mercator

La elección de la función y ( φ ) para la proyección de Mercator está determinada por la demanda de que la proyección sea conforme, condición que se puede definir de dos formas equivalentes:

• Igualdad de ángulos . La condición de que un rumbo de navegación de azimut constante α en el globo se mapee en una cuadrícula constante que indique β en el mapa. Establecer α  =  β en las ecuaciones anteriores da y ′ ( φ ) =  R  sec  φ .
• Isotropía de factores de escala . Esta es la afirmación de que el factor de escala de puntos es independiente de la dirección, de modo que la proyección conserva las formas pequeñas. Establecer h  =  k en las ecuaciones anteriores nuevamente da y ′ ( φ ) =  R  sec  φ .

Integrando la ecuación

${\ Displaystyle y '(\ varphi) = R \ sec \ varphi,}$

con y (0) = 0, utilizando tablas integrales o métodos elementales , da y (φ). Por lo tanto,

${\ Displaystyle x = R (\ lambda - \ lambda _ {0}), \ qquad y = R \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right].}$

En la primera ecuación, λ ₀ es la longitud de un meridiano central arbitrario, por lo general, pero no siempre, el de Greenwich (es decir, cero). La diferencia ( λ  -  λ ₀ ) está en radianes.

La función y ( φ ) se traza junto a φ para el caso R  = 1: tiende a infinito en los polos. Los valores del eje y lineal generalmente no se muestran en mapas impresos; en cambio, algunos mapas muestran la escala no lineal de valores de latitud a la derecha. La mayoría de las veces, los mapas muestran solo una retícula de meridianos y paralelos seleccionados

Transformaciones inversas

${\ Displaystyle \ lambda = \ lambda _ {0} + {\ frac {x} {R}}, \ qquad \ varphi = 2 \ tan ^ {- 1} \ left [\ exp \ left ({\ frac {y } {R}} \ right) \ right] - {\ frac {\ pi} {2}} \ ,.}$

La expresión a la derecha de la segunda ecuación define la función de Gudermann ; es decir, φ  = gd (y/R): la ecuación directa puede, por tanto, escribirse como y  =  R · gd ⁻¹ ( φ ).

Expresiones alternativas

Hay muchas expresiones alternativas para y ( φ ), todas derivadas por manipulaciones elementales.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} y & = & {\ frac {R} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} \ right] & = & {R} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi} {\ cos \ varphi}} \ right] & = R \ ln \ left (\ sec \ varphi + \ tan \ varphi \ derecha) \\ [2ex] & = & R \ tanh ^ {- 1} \ left (\ sin \ varphi \ right) & = & R \ sinh ^ {- 1} \ left (\ tan \ varphi \ right) & = R \ operatorname {sgn} (\ varphi) \ cosh ^ {- 1} \ left (\ sec \ varphi \ right) = R \ operatorname {gd} ^ {- 1} (\ varphi). \ end {alineado}}}$

Las inversas correspondientes son:

${\ Displaystyle \ varphi = \ sin ^ {- 1} \ left (\ tanh {\ frac {y} {R}} \ right) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh {\ frac {y} {R}} \ right) = \ operatorname {sgn} (y) \ sec ^ {- 1} \ left (\ cosh {\ frac {y} {R}} \ right) = \ operatorname {gd} {\ frac {y} {R}}.}$

Para ángulos expresados ​​en grados:

${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi R (\ lambda ^ {\ circ} - \ lambda _ {0} ^ {\ circ})} {180}}, \ qquad \ quad y = R \ ln \ left [\ tan \ left (45 + {\ frac {\ varphi ^ {\ circ}} {2}} \ right) \ right].}$

Las fórmulas anteriores se escriben en términos del radio globo R . A menudo es conveniente para trabajar directamente con el mapa anchura W  = 2 π R . Por ejemplo, las ecuaciones de transformación básicas se convierten en

${\ Displaystyle x = {\ frac {W} {2 \ pi}} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right), \ qquad \ quad y = {\ frac {W} {2 \ pi} } \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right].}$

Truncamiento y relación de aspecto

La ordenada y de la proyección de Mercator se vuelve infinita en los polos y el mapa debe truncarse en una latitud menor a noventa grados. No es necesario que esto se haga de forma simétrica. El mapa original de Mercator está truncado a 80 ° N y 66 ° S con el resultado de que los países europeos se movieron hacia el centro del mapa. La relación de aspecto de su mapa es198/120= 1,65. Se han utilizado truncamientos aún más extremos: un atlas escolar finlandés se truncó a aproximadamente 76 ° N y 56 ° S, una relación de aspecto de 1,97.

Gran parte del mapeo basado en Web utiliza una versión ampliable de la proyección Mercator con una relación de aspecto de uno. En este caso, la latitud máxima alcanzada debe corresponder ay  = ±W/2, o equivalente y/R =  π . Cualquiera de las fórmulas de transformación inversa se puede utilizar para calcular las latitudes correspondientes:

${\ Displaystyle \ varphi = \ tan ^ {- 1} \ left [\ sinh \ left ({\ frac {y} {R}} \ right) \ right] = \ tan ^ {- 1} \ left [\ sinh \ pi \ right] = \ tan ^ {- 1} \ left [11.5487 \ right] = 85.05113 ^ {\ circ}.}$

Factor de escala

La figura que compara los elementos infinitesimales en el globo y la proyección muestra que cuando α = β los triángulos PQM y P′Q′M ′ son similares de modo que el factor de escala en una dirección arbitraria es el mismo que los factores de escala paralelos y meridianos:

${\ Displaystyle {\ frac {\ delta s '} {\ delta s}} = {\ frac {P'Q'} {PQ}} = {\ frac {P'M '} {PM}} = k = { \ frac {P'K '} {PK}} = h = \ sec \ varphi.}$

Este resultado es válido para una dirección arbitraria: la definición de isotropía del factor de escala puntual. El gráfico muestra la variación del factor de escala con la latitud. Algunos valores numéricos se enumeran a continuación.

a 30 ° de latitud, el factor de escala es   k  = seg 30 ° = 1,15,

a 45 ° de latitud, el factor de escala es   k  = seg 45 ° = 1,41,

en una latitud de 60 ° el factor de escala es   k  = seg 60 ° = 2,

en una latitud de 80 ° el factor de escala es   k  = seg 80 ° = 5.76,

en una latitud de 85 ° el factor de escala es   k  = seg 85 ° = 11,5

Trabajar desde el mapa proyectado requiere el factor de escala en términos de la ordenada de Mercator y (a menos que el mapa tenga una escala de latitud explícita). Dado que las medidas de la regla pueden proporcionar el mapa ordenadas y y también el ancho W del mapa, entoncesy/R = 2 πy/W y el factor de escala se determina usando una de las formas alternativas para las formas de la transformación inversa:

${\ Displaystyle k = \ sec \ varphi = \ cosh \ left ({\ frac {y} {R}} \ right) = \ cosh \ left ({\ frac {2 \ pi y} {W}} \ right) .}$

La variación con la latitud a veces se indica mediante varias escalas de barras, como se muestra a continuación y, por ejemplo, en un atlas escolar finlandés . La interpretación de tales escalas de barras no es trivial. Vea la discusión sobre fórmulas de distancia a continuación.

Escala de área

El factor de escala del área es el producto de las escalas paralela y meridiana hk = sec ² φ . Para Groenlandia, tomando 73 ° como latitud mediana, hk = 11,7. Para Australia, tomando 25 ° como latitud media, hk = 1,2. Para Gran Bretaña, tomando 55 ° como latitud mediana, hk = 3,04.

Distorsión

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot . Nicolas Tissot observó que los factores de escala en un punto en una proyección de mapa, especificado por el número h y k , definen una elipse en ese punto. Para proyecciones cilíndricas, los ejes de la elipse están alineados con los meridianos y paralelos. Para la proyección de Mercator, h  =  k , entonces las elipses degeneran en círculos con radio proporcional al valor del factor de escala para esa latitud. Estos círculos se representan en el mapa proyectado con una variación extrema de tamaño, lo que indica las variaciones de escala de Mercator.

Precisión

Una medida de la precisión de un mapa es una comparación de la longitud de los elementos de línea correspondientes en el mapa y el globo. Por lo tanto, por construcción, la proyección de Mercator es perfectamente precisa, k  = 1, a lo largo del ecuador y en ningún otro lugar. A una latitud de ± 25 °, el valor de sec  φ es aproximadamente 1,1 y, por lo tanto, la proyección puede considerarse precisa dentro del 10% en una franja de 50 ° de ancho centrada en el ecuador. Las tiras más estrechas son mejores: sec 8 ° = 1.01, por lo que una franja de ancho 16 ° (centrada en el ecuador) tiene una precisión de 1% o 1 parte en 100. De manera similar, sec 2.56 ° = 1.001, por lo que una franja de ancho 5.12 ° (centrado en el ecuador) tiene una precisión de 0,1% o 1 parte en 1.000. Por lo tanto, la proyección de Mercator es adecuada para mapear países cercanos al ecuador.

Proyección secante

En una proyección de Mercator secante (en el sentido de corte), el globo se proyecta a un cilindro que corta la esfera en dos paralelos con latitudes ± φ ₁ . La escala ahora es verdadera en estas latitudes mientras que los paralelos entre estas latitudes son contraídos por la proyección y su factor de escala debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala de la unidad se reduce a través de una gama más amplia de latitudes.

Un ejemplo de tal proyección es

${\ Displaystyle x = 0,99R \ lambda \ qquad y = 0,99R \ ln \ tan \! \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ qquad k \; = 0,99 \ sec \ varphi.}$

La escala en el ecuador es 0,99; la escala es k  = 1 en una latitud de aproximadamente ± 8 ° (el valor de φ ₁ ); la escala es k  = 1.01 a una latitud de aproximadamente ± 11.4 °. Por lo tanto, la proyección tiene una precisión del 1%, sobre una franja más ancha de 22 ° en comparación con los 16 ° de la proyección normal (tangente). Ésta es una técnica estándar para extender la región sobre la cual una proyección de mapa tiene una precisión determinada.

Generalización al elipsoide

Cuando la Tierra es modelada por un esferoide ( elipsoide de revolución), la proyección de Mercator debe modificarse para que permanezca conforme . Las ecuaciones de transformación y el factor de escala para la versión no secante son

El factor de escala es la unidad en el ecuador, como debe ser ya que el cilindro es tangencial al elipsoide en el ecuador. La corrección elipsoidal del factor de escala aumenta con la latitud pero nunca es mayor que e ² , una corrección de menos del 1%. (El valor de e ² es aproximadamente 0,006 para todos los elipsoides de referencia). Esto es mucho menor que la inexactitud de la escala, excepto muy cerca del ecuador. Solo las proyecciones de Mercator precisas de las regiones cercanas al ecuador necesitarán las correcciones elipsoidales.

La inversa se resuelve iterativamente, ya que está involucrada la latitud isométrica .

Fórmulas para la distancia

Convertir la distancia de la regla en el mapa de Mercator en una distancia real ( círculo máximo ) en la esfera es sencillo a lo largo del ecuador, pero en ningún otro lugar. Un problema es la variación de escala con la latitud, y otro es que las líneas rectas en el mapa ( líneas de rumbo ), distintas de los meridianos o el ecuador, no corresponden a grandes círculos.

Mercator entendió claramente la distinción entre distancia de rumbo (navegación) y distancia de círculo máximo (verdadero). (Véase la leyenda 12 en el mapa de 1569). Hizo hincapié en que la distancia de la línea de rumbo es una aproximación aceptable para la verdadera distancia del gran círculo para trayectos de distancia corta o moderada, particularmente en latitudes más bajas. Incluso cuantifica su afirmación: "Cuando las distancias del gran círculo que se van a medir en las proximidades del ecuador no superen los 20 grados de un gran círculo, o los 15 grados cerca de España y Francia, o los 8 e incluso los 10 grados en las partes del norte conviene utilizar distancias de líneas de rumbo ".

Para una medición de regla de una línea corta , con el punto medio en la latitud  φ , donde el factor de escala es k  = seg  φ  = 1/porque  φ:

Distancia real = distancia de rumbo ≅ distancia de la regla × cos  φ / RF. (líneas cortas)

Con un radio y una circunferencia de círculo máximo igual a 6.371 km y 40.030 km, respectivamente, un RF de 1/Los 300M, para lo cual R  = 2,12 cm y W  = 13,34 cm, implica que una medida de regla de 3 mm. en cualquier dirección desde un punto del ecuador corresponde aproximadamente a 900 km. Las distancias correspondientes para las latitudes 20 °, 40 °, 60 ° y 80 ° son 846 km, 689 km, 450 km y 156 km respectivamente.

Las distancias más largas requieren varios enfoques.

En el ecuador

La escala es la unidad en el ecuador (para una proyección no secante). Por lo tanto, interpretar las medidas de la regla en el ecuador es simple:

Distancia real = distancia de la regla / RF (ecuador)

Para el modelo anterior, con RF = 1/Los 300M, 1 cm corresponde a 3.000 km.

En otros paralelos

En cualquier otro paralelo, el factor de escala es sec φ de modo que

Distancia paralela = distancia de la regla × cos  φ / RF (paralelo).

Para el modelo anterior, 1 cm corresponde a 1500 km a una latitud de 60 °.

Esta no es la distancia más corta entre los puntos finales elegidos en el paralelo porque un paralelo no es un gran círculo. La diferencia es pequeña para distancias cortas pero aumenta a medida que aumenta λ , la separación longitudinal. Para dos puntos, A y B, separados por 10 ° de longitud en el paralelo a 60 °, la distancia a lo largo del paralelo es aproximadamente 0,5 km mayor que la distancia del gran círculo. (La distancia AB a lo largo del paralelo es ( a  cos  φ )  λ . La longitud de la cuerda AB es 2 ( a  cos  φ ) sin λ/2. Esta cuerda subtiende un ángulo en el centro igual a 2arcsin (cos  φ  sin λ/2) y la distancia del gran círculo entre A y B es 2 a  arcsen (cos  φ  sin λ/2).) En el caso extremo de que la separación longitudinal sea de 180 °, la distancia a lo largo del paralelo es la mitad de la circunferencia de ese paralelo; es decir, 10.007,5 km. Por otro lado, la geodésica entre estos puntos es un gran arco de círculo a través del polo que subtiende un ángulo de 60 ° en el centro: la longitud de este arco es una sexta parte de la circunferencia del gran círculo, aproximadamente 6.672 km. La diferencia es de 3338 km, por lo que la distancia de la regla medida desde el mapa es bastante engañosa incluso después de corregir la variación de latitud del factor de escala.

En un meridiano

Un meridiano del mapa es un gran círculo en el globo, pero la variación de escala continua significa que la medición de la regla por sí sola no puede dar la distancia real entre puntos distantes en el meridiano. Sin embargo, si el mapa está marcado con una escala de latitud precisa y finamente espaciada desde la cual se puede leer la latitud directamente, como es el caso del mapa mundial Mercator 1569 (hojas 3, 9, 15) y todas las cartas náuticas posteriores, el meridiano La distancia entre dos latitudes φ ₁ y φ ₂ es simplemente

${\ Displaystyle m_ {12} = a | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} |.}$

Si las latitudes de los puntos finales no se pueden determinar con confianza, entonces se pueden encontrar calculando la distancia de la regla. Al llamar a las distancias de la regla de los puntos finales en el meridiano del mapa medidas desde el ecuador y ₁ y y ₂ , la distancia real entre estos puntos en la esfera se da usando cualquiera de las fórmulas inversas de Mercator:

${\ Displaystyle m_ {12} = a \ left | \ tan ^ {- 1} \ left [\ sinh \ left ({\ frac {y_ {1}} {R}} \ right) \ right] - \ tan ^ {-1} \ left [\ sinh \ left ({\ frac {y_ {2}} {R}} \ right) \ right] \ right |,}$

donde R puede calcularse a partir del ancho W del mapa por R  = W/2 π. Por ejemplo, en un mapa con R  = 1 los valores de y  = 0, 1, 2, 3 corresponden a latitudes de φ  = 0 °, 50 °, 75 °, 84 ° y por lo tanto los intervalos sucesivos de 1 cm en el mapa corresponden a intervalos de latitud en el globo terráqueo de 50 °, 25 °, 9 ° y distancias de 5.560 km, 2.780 km y 1.000 km en la Tierra.

En un rumbo

Una línea recta en el mapa de Mercator en un ángulo α con respecto a los meridianos es una línea de rumbo . Cuando α  = π/2 o 3 π/2el rumbo corresponde a uno de los paralelos; solo uno, el ecuador, es un gran círculo. Cuando α  = 0 o π corresponde a un gran círculo meridiano (si continúa alrededor de la Tierra). Para todos los demás valores, es una espiral de polo a polo en el globo que cruza todos los meridianos en el mismo ángulo y, por lo tanto, no es un círculo máximo. Esta sección analiza solo el último de estos casos.

Si α no es ni 0 ni π, entonces la figura anterior de los elementos infinitesimales muestra que la longitud de una línea de rumbo infinitesimal en la esfera entre latitudes φ ; y φ  +  δφ es un  sec  α  δφ . Dado que α es constante en el rumbo, esta expresión se puede integrar para dar, para líneas finitas de rumbo en la Tierra:

${\ Displaystyle r_ {12} = a \ sec \ alpha \, | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} | = a \, \ sec \ alpha \; \ Delta \ varphi.}$

Una vez más, si Δ φ puede leerse directamente desde una escala de latitud precisa en el mapa, entonces la distancia de rumbo entre los puntos del mapa con latitudes φ ₁ y φ ₂ viene dada por lo anterior. Si no existe tal escala, las distancias de la regla entre los puntos finales y el ecuador, y ₁ y y ₂ , dan el resultado mediante una fórmula inversa:

${\ Displaystyle r_ {12} = a \ sec \ alpha \ left | \ tan ^ {- 1} \ sinh \ left ({\ frac {y_ {1}} {R}} \ right) - \ tan ^ {- 1} \ sinh \ left ({\ frac {y_ {2}} {R}} \ right) \ right |.}$

Estas fórmulas dan distancias de rumbo en la esfera que pueden diferir mucho de las distancias reales, cuya determinación requiere cálculos más sofisticados.

Ver también

• Cartografía
• Proyección cilíndrica central - más distorsionada; a veces se describe erróneamente como el método de construcción de la proyección de Mercator
• Proyección de mapa conforme
• Proyección equirrectangular : menos distorsionada, pero no de igual área
• Proyección de Gall-Peters : una proyección cilíndrica de áreas iguales
• Jordan Transverse Mercator
• Lista de proyecciones cartográficas
• Mercator 1569 mapa del mundo
• Carta náutica
• Red de líneas de rumbo
• Indicatriz de Tissot
• Proyección transversal de Mercator
• Sistema de coordenadas universal transversal de Mercator

Notas

Referencias

Bibliografía

• Maling, Derek Hylton (1992), Sistemas de coordenadas y proyecciones de mapas (segunda ed.), Pergamon Press, ISBN 0-08-037233-3.
• Monmonier, Mark (2004), Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (edición de tapa dura), Chicago: The University of Chicago Press, ISBN 0-226-53431-6
• Olver, FWJ; Lozier, DW; Boisvert, RF; et al., eds. (2010), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press
• Osborne, Peter (2013), Las proyecciones de Mercator , doi : 10.5281 / zenodo.35392 . (Suplementos: archivos Maxima y código y figuras de Latex )CS1 maint: posdata ( enlace )
• Snyder, John P (1993), Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections , University of Chicago Press, ISBN 0-226-76747-7
• Snyder, John P. (1987), Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo. Documento profesional 1395 del Servicio Geológico de los Estados Unidos, Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, DCEste documento se puede descargar de las páginas de USGS. Proporciona detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con interesantes secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones de los primeros principios.

Otras lecturas

• Rapp, Richard H (1991), Geodesia geométrica, Parte I , Departamento de Ciencias Geodésicas y Topografía de la Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24333

enlaces externos

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam : contiene imágenes de alta resolución del mapa mundial de 1569 de Mercator.
• Tabla de ejemplos y propiedades de todas las proyecciones comunes , de radicalcartography.net.
• Un applet interactivo de Java para estudiar las deformaciones métricas de la proyección de Mercator .
• Web Mercator: No conforme, no Mercator (Noel Zinn, Hydrometronics LLC)
• Proyección de Mercator en la Universidad de Columbia Británica
• Coordenadas de Google Maps