Brana - Brane

En la teoría de cuerdas y teorías relacionadas, como las teorías de la supergravedad , una brana es un objeto físico que generaliza la noción de una partícula puntual a dimensiones superiores . Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica . Tienen masa y pueden tener otros atributos como la carga .

Matemáticamente, las branas se pueden representar dentro de categorías y se estudian en matemáticas puras para comprender mejor la simetría especular homológica y la geometría no conmutativa .

p- branas

Una partícula puntual puede verse como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede verse como una brana de dimensión uno.

Además de las partículas puntuales y las cadenas, es posible considerar branas de dimensiones superiores. Una brana p- dimensional generalmente se llama " p -brana".

El término " p -brana" fue acuñado por MJ Duff et al. en 1988; "brana" proviene de la palabra "membrana" que se refiere a una brana bidimensional.

Una p -brana barre un volumen ( p +1) -dimensional en el espacio-tiempo llamado su volumen mundial . Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético , que viven en el volumen mundial de una brana.

D-branas

Un par de superficies unidas por segmentos de líneas onduladas.
Cuerdas abiertas unidas a un par de D-branas

En la teoría de cuerdas , una cuerda puede estar abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran las cadenas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se encuentren en una D-brana. La letra "D" en D-brana se refiere a la condición de límite de Dirichlet , que satisface la D-brana.

Un punto crucial acerca de las D-branas es que la dinámica en el volumen mundial de D-branas se describe mediante una teoría de gauge , una especie de teoría física altamente simétrica que también se utiliza para describir el comportamiento de partículas elementales en el modelo estándar de física de partículas . Esta conexión ha llevado a importantes conocimientos sobre la teoría gauge y la teoría cuántica de campos . Por ejemplo, condujo al descubrimiento de la correspondencia AdS / CFT , una herramienta teórica que los físicos utilizan para traducir problemas difíciles en la teoría de gauge en problemas más manejables matemáticamente en la teoría de cuerdas.

Descripción categórica

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . Esta es una estructura matemática que consta de objetos y, para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. Asimismo, se pueden considerar categorías en las que los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas y son estados de cadenas abiertas estiradas entre y .

Visualización de una superficie matemática compleja con muchas circunvoluciones e intersecciones propias.
Una sección transversal de una variedad Calabi-Yau

En una versión de la teoría de cuerdas conocida como modelo B topológico , las D-branas son subvariedades complejas de ciertas formas de seis dimensiones llamadas variedades Calabi-Yau , junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los extremos de las cuerdas. Intuitivamente, uno puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de una variedad Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones diferentes de dos. En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como sus objetos se conoce como la categoría derivada de gavillas coherentes en el Calabi-Yau. En otra versión de la teoría de cuerdas llamada modelo A topológico , las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se sientan y minimizan la longitud, el área o el volumen. La categoría que tiene estas branas como objeto se denomina categoría Fukaya .

La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas . Por otro lado, la categoría Fukaya se construye utilizando geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica . La geometría simpléctica estudia los espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales.

La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría Fukaya de una variedad Calabi-Yau completamente diferente. Esta equivalencia proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y simpléctica.

Ver también

Notas

Referencias

  • Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branes de Dirichlet y simetría especular . Monografías de Clay Mathematics . 4 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3848-8.
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . ISBN 978-0-387-98403-2.
  • Moore, Gregory (2005). "¿Qué es ... una Brane?" (PDF) . Avisos del AMS . 52 : 214 . Consultado el 7 de junio de 2018 .
  • Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). La forma del espacio interior: teoría de cuerdas y geometría de las dimensiones ocultas del universo . Libros básicos . ISBN 978-0-465-02023-2.
  • Zaslow, Eric (2008). "Simetría de espejo". En Gowers, Timothy (ed.). El compañero de Princeton a las matemáticas . ISBN 978-0-691-11880-2.