Secuencia de Mayer-Vietoris - Mayer–Vietoris sequence

En matemáticas , en particular la topología algebraica y la teoría de homología , la secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta algebraica para ayudar a calcular invariantes algebraicos de espacios topológicos , conocidos como sus grupos de homología y cohomología . El resultado se debe a dos matemáticos austriacos , Walther Mayer y Leopold Vietoris . El método consiste en dividir un espacio en subespacios , para los cuales los grupos de homología o cohomología pueden ser más fáciles de calcular. La secuencia relaciona los grupos de (co) homología del espacio con los grupos de (co) homología de los subespacios. Es una secuencia natural larga exacta , cuyas entradas son los grupos de (co) homología de todo el espacio, la suma directa de los grupos de (co) homología de los subespacios y los grupos de (co) homología de la intersección de los subespacios.

La secuencia de Mayer-Vietoris es válida para una variedad de teorías de cohomología y homología , incluida la homología simplicial y la cohomología singular . En general, la secuencia es válida para aquellas teorías que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod , y tiene variaciones tanto para la (co) homología reducida como para la relativa . Debido a que la (co) homología de la mayoría de los espacios no se puede calcular directamente a partir de sus definiciones, se utilizan herramientas como la secuencia de Mayer-Vietoris con la esperanza de obtener información parcial. Muchos espacios encontrados en topología se construyen juntando parches muy simples. La elección cuidadosa de los dos subespacios de cobertura para que, junto con su intersección, tengan una (co) homología más simple que la del espacio completo, puede permitir una deducción completa de la (co) homología del espacio. En ese sentido, la secuencia de Mayer-Vietoris es análoga al teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental , y existe una relación precisa para la homología de dimensión uno.

Antecedentes, motivación e historia

Leopold Vietoris en su 110 cumpleaños

Como el grupo fundamental o los grupos de homotopía superior de un espacio, los grupos de homología son importantes invariantes topológicos. Aunque algunas teorías de (co) homología son computables usando herramientas de álgebra lineal , muchas otras teorías de (co) homología importantes, especialmente la (co) homología singular, no son computables directamente a partir de su definición para espacios no triviales. Para la (co) homología singular, los grupos de (co) cadenas y (co) ciclos singulares son a menudo demasiado grandes para manejarlos directamente. Se hacen necesarios enfoques más sutiles e indirectos. La secuencia de Mayer-Vietoris es un enfoque de este tipo, que proporciona información parcial sobre los grupos de (co) homología de cualquier espacio relacionándolo con los grupos de (co) homología de dos de sus subespacios y su intersección.

La forma más natural y conveniente de expresar la relación involucra el concepto algebraico de secuencias exactas : secuencias de objetos (en este caso grupos ) y morfismos (en este caso , homomorfismos grupales ) entre ellos, de modo que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del Siguiente. En general, esto no permite que los grupos de (co) homología de un espacio se calculen completamente. Sin embargo, debido a que muchos espacios importantes que se encuentran en topología son variedades topológicas , complejos simpliciales o complejos CW , que se construyen juntando parches muy simples, un teorema como el de Mayer y Vietoris es potencialmente de amplia y profunda aplicabilidad.

Mayer fue introducido a la topología por su colega Vietoris cuando asistía a sus conferencias en 1926 y 1927 en una universidad local en Viena . Se le informó sobre el resultado conjeturado y un camino hacia su solución, y resolvió la cuestión de los números de Betti en 1929. Aplicó sus resultados al toro considerado como la unión de dos cilindros. Vietoris demostró más tarde el resultado completo para los grupos de homología en 1930, pero no lo expresó como una secuencia exacta. El concepto de una secuencia exacta solo apareció impreso en el libro de 1952 Foundations of Algebraic Topology de Samuel Eilenberg y Norman Steenrod, donde los resultados de Mayer y Vietoris se expresaron en la forma moderna.

Versiones básicas para homología singular

Deje X ser un espacio topológico y A , B sea dos subespacios cuyos interiores cubrir X . (Los interiores de A y B no necesitan estar separados.) La secuencia de Mayer-Vietoris en homología singular para la tríada ( X , A , B ) es una secuencia larga y exacta que relaciona los grupos de homología singular (con el grupo de coeficientes los enteros Z ) de los espacios de X , A , B , y la intersección AB . Hay una versión no reducida y una reducida.

Versión no reducida

Para la homología no reducida, la secuencia de Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta:

Aquí i  : ABA , j  : ABB , k  : AX , y l  : BX son mapas de inclusión y denotan la suma directa de grupos abelianos .

Mapa de límites

Ilustración del mapa del contorno ∂ * en el toro en el que el ciclo 1- x = u + v es la suma de dos cadenas 1 cuyas mentiras en la intersección de la frontera A y B .

Los mapas de límites ∂ ∗ que reducen la dimensión pueden definirse como sigue. Un elemento en H n ( X ) es la clase de homología de un ciclo n x que, por subdivisión baricéntrica, por ejemplo, se puede escribir como la suma de dos cadenas n u y v cuyas imágenes se encuentran totalmente en A y B , respectivamente. . Por lo tanto, ∂ x = ∂ ( u + v ) = 0 de modo que ∂ u = −∂ v . Esto implica que las imágenes de estos dos límites ( n - 1) -cycles están contenidas en la intersección AB . Entonces ∂ ([ x ]) se puede definir como la clase de ∂ u en H n −1 ( AB ). Elegir otra descomposición x = u ′ + v ′ no afecta a [∂ u ], ya que ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′ , lo que implica ∂ u - ∂ u ′ = ∂ ( v ′ - v ) y, por tanto, ∂ u y ∂ u ′ pertenecen a la misma clase de homología; Tampoco elegir un representante diferente x ' , desde entonces ∂ x' = ∂ x = 0. Obsérvese que los mapas en la secuencia de Mayer-Vietoris dependen de la elección de una orden para A y B . En particular, el mapa de límites cambia de signo si A y B se intercambian.

Versión reducida

Para la homología reducida también hay una secuencia de Mayer-Vietoris, bajo el supuesto de que A y B tienen una intersección no vacía . La secuencia es idéntica para dimensiones positivas y termina como:

Analogía con el teorema de Seifert-van Kampen

Existe una analogía entre la secuencia de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homología de dimensión 1) y el teorema de Seifert-van Kampen . Siempre que está conectado a una ruta , la secuencia reducida de Mayer-Vietoris produce el isomorfismo

donde, por exactitud,

Este es precisamente el enunciado abelianizado del teorema de Seifert-van Kampen. Compárese con el hecho de que es la abelianización del grupo fundamental cuando está conectado con el camino.

Aplicaciones basicas

k -esfera

La descomposición para X = S 2

Para calcular completamente la homología de la k -esfera X = S k , sean A y B dos hemisferios de X con homotopía de intersección equivalente a una ( k - 1) -esfera ecuatorial dimensional. Dado que los hemisferios k -dimensionales son homeomórficos a los k -discos, que son contráctiles , los grupos de homología para A y B son triviales . Luego, la secuencia de Mayer-Vietoris para grupos de homología reducidos produce

La exactitud implica inmediatamente que el mapa ∂ * es un isomorfismo. Usando la homología reducida de la esfera 0 (dos puntos) como caso base , sigue

donde δ es el delta de Kronecker . Una comprensión tan completa de los grupos de homología para esferas está en marcado contraste con el conocimiento actual de los grupos de esferas de homotopía , especialmente para el caso n > k del que se sabe poco.

Botella de klein

La botella de Klein ( polígono fundamental con identificaciones de borde apropiadas) se descompuso como dos tiras de Möbius A (en azul) y B (en rojo).

Una aplicación un poco más difícil de la secuencia de Mayer-Vietoris es el cálculo de los grupos de homología de la botella X de Klein . Uno usa la descomposición de X como la unión de dos tiras A y B de Möbius pegadas a lo largo de su círculo límite (ver ilustración a la derecha). Entonces A , B y su intersección AB son homotopía equivalente a círculos, por lo que la parte no trivial de la secuencia produce

y la parte trivial implica la desaparición de la homología para dimensiones superiores a 2. El mapa central α envía 1 a (2, -2) ya que el círculo límite de una banda de Möbius envuelve dos veces el círculo central. En particular, α es inyectivo, por lo que la homología de dimensión 2 también desaparece. Finalmente, eligiendo (1, 0) y (1, −1) como base para Z 2 , se sigue

Sumas de cuña

Esta descomposición de la suma de cuña X de dos 2-esferas K y L produce todos los grupos de homología de X .

Deje que X sea la suma de cuña de dos espacios K y L , y supongamos además que la identificada punto base es un retracto de deformación de entornos abiertos UK y VL . Dejando A = KV y B = UL, se deduce que AB = X y AB = UV , que es contráctil por construcción. La versión reducida de la secuencia luego cede (por exactitud)

para todas las dimensiones n . La ilustración de la derecha muestra X como la suma de dos 2-esferas K y L . Para este caso específico, usando el resultado de arriba para 2 esferas, uno tiene

Suspensiones

Esta descomposición de la suspensión X de la 0-esfera Y produce todos los grupos de homología de X .

Si X es la suspensión SY de un espacio Y , sean A y B los complementos en X de los 'vértices' superior e inferior del doble cono, respectivamente. Entonces X es la unión AB , con A y B contractibles. Además, la intersección AB es homotopy equivalente a Y . Por lo tanto, la secuencia de Mayer-Vietoris produce, para todo n ,

La ilustración de la derecha muestra la 1-esfera X como la suspensión de la 0-esfera Y . Teniendo en cuenta en general que la k -esfera es la suspensión de la ( k - 1) -esfera, es fácil derivar los grupos de homología de la k -esfera por inducción, como se indicó anteriormente .

Más discusión

Forma relativa

Una relación también existe forma de la secuencia de Mayer-Vietoris. Si YX y es la unión de CA y DB , entonces la secuencia exacta es:

Naturalidad

Los grupos de homología son naturales en el sentido de que si es un mapa continuo , entonces hay un mapa de empuje hacia adelante canónico de grupos de homología tal que la composición de empuje hacia adelante es el empuje hacia adelante de una composición: es decir, la secuencia de Mayer-Vietoris también es natural en la sensación de que si

luego, el morfismo de conexión de la secuencia de Mayer-Vietoris, conmuta con . Es decir, el siguiente diagrama conmuta (los mapas horizontales son los habituales):

Versiones cohomológicas

La secuencia larga exacta de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singulares con grupo de coeficientes G es dual a la versión homológica. Es el siguiente:

donde los mapas de preservación de dimensiones son mapas de restricción inducidos a partir de inclusiones, y los mapas de (co) límites se definen de manera similar a la versión homológica. También hay una formulación relativa.

Como un caso especial importante cuando G es el grupo de números reales R y el espacio topológico subyacente tiene la estructura adicional de una variedad suave , la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de Rham es

donde { U , V } es una cobertura abierta de X, ρ denota el mapa de restricción y Δ es la diferencia. El mapa se define de manera similar al mapa de arriba. Puede describirse brevemente de la siguiente manera. Para una clase de cohomología [ ω ] representada por la forma cerrada ω en UV , exprese ω como una diferencia de formas a través de una partición de unidad subordinada a la cubierta abierta { U , V } , por ejemplo. El derivado exterior U y V están de acuerdo en UV y por lo tanto definen conjuntamente un n + 1 forma σ en X . Entonces uno tiene d ([ ω ]) = [ σ ] .

Para la cohomología de De Rham con soportes compactos, existe una versión "invertida" de la secuencia anterior:

donde , , son como anteriormente, es el mapa inclusión firmado donde se extiende una forma con soporte compacto a una forma en por cero, y es la suma.

Derivación

Considere la secuencia exacta larga asociada a las secuencias exactas cortas de grupos de cadenas (grupos constituyentes de complejos de cadenas )

donde α ( x ) = ( x , - x ), β ( x , y ) = x + y , y C n ( A + B ) es el grupo de cadena que consiste en sumas de cadenas en A y cadenas en B . Es un hecho que los n -simplices singulares de X cuyas imágenes están contenidas en A o B generan todo el grupo de homología H n ( X ). En otras palabras, H n ( A + B ) es isomorfo a H n ( X ). Esto da la secuencia de Mayer-Vietoris para homología singular.

El mismo cálculo aplicado a las breves secuencias exactas de espacios vectoriales de formas diferenciales.

produce la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham.

Desde un punto de vista formal, la secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para las teorías de homología usando la secuencia larga exacta en homología .

Otras teorías de homología

La derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris a partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod no requiere el axioma de la dimensión , por lo que además de existir en las teorías de cohomología ordinarias , se mantiene en teorías de cohomología extraordinarias (como la teoría K topológica y el cobordismo ).

Cohomología de la gavilla

Desde el punto de vista de la cohomología de la gavilla , la secuencia de Mayer-Vietoris está relacionada con la cohomología de Čech . Específicamente, surge de la degeneración de la secuencia espectral que relaciona la cohomología de Čech con la cohomología de gavilla (a veces llamada secuencia espectral de Mayer-Vietoris ) en el caso en que la cubierta abierta utilizada para calcular la cohomología de Čech consta de dos conjuntos abiertos. Esta secuencia espectral existe en topoi arbitrarios .

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas