Máximos y mínimos - Maxima and minima

Máximos y mínimos locales y globales para cos (3π x ) / x , 0.1≤ x ≤1.1

En el análisis matemático , los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo ) de una función , conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremum ), son el valor más grande y más pequeño de la función, ya sea dentro de un rango dado (el local o extremos relativos ), o en todo el dominio (los extremos globales o absolutos ). Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la adecuación , para encontrar los máximos y mínimos de funciones.

Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados , como el conjunto de números reales , no tienen mínimo ni máximo.

Definición

Una función de valor real f definida en un dominio X tiene un punto máximo global (o absoluto )en x ^* , si f ( x ^* ) ≥ f ( x ) para todo x en X . De manera similar, la función tiene un punto mínimo global (o absoluto )en x ^* , si f ( x ^* ) ≤ f ( x ) para todo x en X . El valor de la función en un punto máximo se llama valor máximo de la función, denotado, y el valor de la función en un punto mínimo se llama${\ Displaystyle \ max (f (x))}$valor mínimo de la función. Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$es un punto de función máximo global si${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle (\ forall x \ in X) \, f (x_ {0}) \ geq f (x).}$

La definición de punto mínimo global también procede de manera similar.

Si el dominio X es un espacio métrico , entonces se dice que f tiene un punto máximo local (o relativo )en el punto x ^∗ , si existe algún ε > 0 tal que f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . Del mismo modo, la función tiene un punto mínimo localen x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . Se puede usar una definición similar cuando X es un espacio topológico , ya que la definición que se acaba de dar se puede reformular en términos de vecindarios. Matemáticamente, la definición dada se escribe de la siguiente manera:

Sea un espacio métrico y una función . Entonces es un punto de función máximo local si es tal que${\ Displaystyle (X, d_ {X})}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle (\ existe \ varepsilon> 0)}$${\ Displaystyle (\ forall x \ in X) \, d_ {X} (x, x_ {0}) <\ varepsilon \ implica f (x_ {0}) \ geq f (x).}$

La definición de punto mínimo local también puede proceder de manera similar.

Tanto en el caso global como en el local, el concepto de se puede definir el extremo estricto . Por ejemplo,x^∗es unpunto máximo global estricto si para todoxenXcon x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ )> f ( x ), yx^∗es unpunto máximo local estricto si existe algún ε > 0tal que, para todoxenXdentro de la distanciaεdex^∗con x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ )> f ( x ). Tenga en cuenta que un punto es un punto máximo global estricto si y solo si es el punto máximo global único, y de manera similar para los puntos mínimos.

Una función continua de valor real con un dominio compacto siempre tiene un punto máximo y un punto mínimo. Un ejemplo importante es una función cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado de números reales (consulte el gráfico anterior).

Buscar

Encontrar máximos y mínimos globales es el objetivo de la optimización matemática . Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces, según el teorema del valor extremo , existen máximos y mínimos globales. Además, un máximo (o mínimo) global debe ser un máximo (o mínimo) local en el interior del dominio, o debe estar en el límite del dominio. Entonces, un método para encontrar un máximo (o mínimo) global es mirar todos los máximos (o mínimos) locales en el interior, y también mirar los máximos (o mínimos) de los puntos en el límite, y tomar el más grande ( o el más pequeño) uno.

Probablemente, la característica más importante, aunque bastante obvia, de las funciones continuas de valor real de una variable real es que disminuyen antes de los mínimos locales y aumentan después, igualmente para los máximos. (Formalmente, si f es una función continua de valor real de una variable real x , entonces x ₀ es un mínimo local si y solo si existe a < x ₀ < b tal que f disminuye en ( a ,  x ₀ ) y aumenta en ( x ₀ ,  b )) Una consecuencia directa de esto es el teorema de Fermat , que establece que los extremos locales deben ocurrir en puntos críticos (o puntos donde la función no es diferenciable ). Se puede distinguir si un punto crítico es un máximo local o un mínimo local utilizando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior , dada la diferenciabilidad suficiente.

Para cualquier función que se defina por partes , uno encuentra un máximo (o mínimo) encontrando el máximo (o mínimo) de cada pieza por separado, y luego viendo cuál es más grande (o más pequeña).

Ejemplos de

El máximo global de ^x √ x ocurre en x = e .

Función	Máximos y mínimos
x 2	Mínimo global único en x = 0.
x 3	Sin mínimos o máximos globales. Aunque la primera derivada (3 x 2 ) es 0 en x = 0, este es un punto de inflexión . (La segunda derivada es 0 en ese punto).
${\ Displaystyle {\ sqrt [{x}] {x}}}$	Máximo global único en x = e . (Ver figura a la derecha)
x - x	Máximo global único sobre los números reales positivos en x = 1 / e .
x 3 /3 - x	Primera derivada x 2 - 1 y segunda derivada 2 x . Establecer la primera derivada en 0 y resolver para x da puntos estacionarios en -1 y +1. A partir del signo de la segunda derivada, podemos ver que −1 es un máximo local y +1 es un mínimo local. Esta función no tiene un máximo o mínimo global.
| x |	Mínimo global en x = 0 que no se puede encontrar tomando derivadas, porque la derivada no existe en x = 0.
cos ( x )	Infinitos máximos globales en 0, ± 2 π , ± 4 π , ..., e infinitos mínimos globales en ± π , ± 3 π , ± 5 π , ....
2 cos ( x ) - x	Infinidad de máximos y mínimos locales, pero ningún máximo o mínimo global.
cos (3 π x ) / x con 0,1 ≤ x ≤ 1,1	Máximo global en x  = 0,1 (un límite), un mínimo global cerca de x  = 0,3, un máximo local cerca de x  = 0,6 y un mínimo local cerca de x  = 1,0. (Vea la figura en la parte superior de la página).
x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1 definido sobre el intervalo cerrado (segmento) [−4,2]	Máximo local en x  = -1- √ 15 /3, mínimo local en x  = -1+ √ 15 /3, máximo global en x  = 2 y mínimo global en x  = -4.

Para un ejemplo práctico, suponga una situación en la que alguien tiene pies de cerca y está tratando de maximizar los pies cuadrados de un recinto rectangular, donde es la longitud, es el ancho y es el área: ${\ displaystyle 200}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle xy}$

${\ Displaystyle 2x + 2y = 200}$

${\ Displaystyle 2y = 200-2x}$

${\ Displaystyle {\ frac {2y} {2}} = {\ frac {200-2x} {2}}}$

${\ Displaystyle y = 100-x}$

${\ Displaystyle xy = x (100-x)}$

La derivada con respecto a es: ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dx}} xy & = {\ frac {d} {dx}} x (100-x) \\ & = {\ frac {d} {dx} } \ left (100x-x ^ {2} \ right) \\ & = 100-2x \ end {alineado}}}$

Estableciendo esto igual a ${\ displaystyle 0}$

${\ Displaystyle 0 = 100-2x}$

${\ Displaystyle 2x = 100}$

${\ Displaystyle x = 50}$

revela que es nuestro único punto crítico . Ahora recupere los puntos finales determinando el intervalo al que está restringido. Dado que el ancho es positivo, entonces , y desde entonces , eso implica eso . Conecte el punto crítico , así como los puntos finales y , en , y los resultados son y respectivamente. ${\ Displaystyle x = 50}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle x = 100-y}$${\ Displaystyle x <100}$${\ displaystyle 50}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 100}$${\ Displaystyle xy = x (100-x)}$${\ displaystyle 2500,0,}$${\ displaystyle 0}$

Por lo tanto, el área más grande que se puede lograr con un rectángulo de pies de cerca es .${\ displaystyle 200}$${\ Displaystyle 50 \ times 50 = 2500}$

Funciones de más de una variable

Superficie de peano , un contraejemplo a algunos criterios de máximos locales del siglo XIX

El máximo global es el punto en la parte superior

Contraejemplo: el punto rojo muestra un mínimo local que no es un mínimo global

Para funciones de más de una variable, se aplican condiciones similares. Por ejemplo, en la figura (ampliable) de la derecha, las condiciones necesarias para un máximo local son similares a las de una función con una sola variable. Las primeras derivadas parciales en cuanto a z (la variable a maximizar) son cero en el máximo (el punto brillante en la parte superior de la figura). Las segundas derivadas parciales son negativas. Estas son solo condiciones necesarias, no suficientes, para un máximo local, debido a la posibilidad de un punto de silla . Para que el uso de estas condiciones resuelva para un máximo, la función z también debe ser diferenciable en todo momento. La segunda prueba de derivada parcial puede ayudar a clasificar el punto como máximo relativo o mínimo relativo. En contraste, existen diferencias sustanciales entre funciones de una variable y funciones de más de una variable en la identificación de extremos globales. Por ejemplo, si una función diferenciable acotada f definida en un intervalo cerrado en la línea real tiene un solo punto crítico, que es un mínimo local, entonces también es un mínimo global (use el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para probar esto por reductio ad impossibile ). En dos y más dimensiones, este argumento falla. Esto se ilustra con la función

${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} (1-x) ^ {3}, \ qquad x, y \ in \ mathbb {R},}$

cuyo único punto crítico está en (0,0), que es un mínimo local con f (0,0) = 0. Sin embargo, no puede ser global, porque f (2,3) = −5.

Máximos o mínimos de un funcional

Si el dominio de una función para el que se va a encontrar un extremo consta de funciones (es decir, si se debe encontrar un extremo de un funcional ), entonces el extremo se encuentra utilizando el cálculo de variaciones .

En relación a conjuntos

También se pueden definir máximos y mínimos para conjuntos. En general, si un conjunto ordenado S tiene un elemento mayor m , entonces m es un elemento máximo del conjunto, también denotado como . Además, si S es un subconjunto de un conjunto ordenado T y m es el mayor elemento de S con (respecto a fin inducida por T ), entonces m es un extremo superior de S en T . Resultados similares son válidos para el elemento mínimo , el elemento mínimo y el límite inferior máximo . Las funciones máxima y mínima para conjuntos se utilizan en bases de datos y se pueden calcular rápidamente, ya que el máximo (o mínimo) de un conjunto se puede calcular a partir de los máximos de una partición; formalmente, son funciones de agregación autodescomponibles . ${\ Displaystyle \ max (S)}$

En el caso de un orden parcial general , el elemento mínimo (es decir, uno que es más pequeño que todos los demás) no debe confundirse con un elemento mínimo (nada es más pequeño). Asimismo, un elemento mayor de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un límite superior del conjunto que está contenido dentro del conjunto, mientras que un elemento máximo m de un poset A es un elemento de A tal que si m ≤ b (para cualquier b en A ), entonces m = b . Cualquier elemento menor o mayor de un poset es único, pero un poset puede tener varios elementos mínimos o máximos. Si un poset tiene más de un elemento máximo, estos elementos no serán mutuamente comparables.

En un conjunto o cadena totalmente ordenado , todos los elementos son mutuamente comparables, por lo que dicho conjunto puede tener como máximo un elemento mínimo y como máximo un elemento máximo. Entonces, debido a la comparabilidad mutua, el elemento mínimo también será el elemento menor y el elemento máximo también será el elemento mayor. Por lo tanto, en un conjunto totalmente ordenado, simplemente podemos usar los términos mínimo y máximo .

Si una cadena es finita, siempre tendrá un máximo y un mínimo. Si una cadena es infinita, no es necesario que tenga un máximo o un mínimo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales no tiene un máximo, aunque sí un mínimo. Si una cadena infinita S está acotada, entonces el cierre Cl ( S ) del conjunto ocasionalmente tiene un mínimo y un máximo, en cuyo caso se les llama el límite inferior más grande y el límite superior mínimo del conjunto S , respectivamente.

Ver también

• Arg max
• Prueba de la derivada
• Infimum y supremum
• Límite superior y límite inferior
• Equilibrio mecánico
• Mex (matemáticas)
• Muestra máxima y mínima
• Punto de silla

Referencias

enlaces externos

• El trabajo de Thomas Simpson sobre máximos y mínimos en Convergence
• Aplicación de Maxima y Minima con subpáginas de problemas resueltos
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). "Máximos y Mínimos"  . Encyclopædia Britannica . 17 (11ª ed.). págs. 918–920.