Matemáticas de la creación de libros - Mathematics of bookmaking

En el lenguaje de los juegos de azar , hacer un libro es la práctica de hacer apuestas sobre los diversos resultados posibles de un solo evento. La frase se origina en la práctica de registrar tales apuestas en un libro de contabilidad rígido (el 'libro') y le da al idioma inglés el término corredor de apuestas para la persona que hace las apuestas y, por lo tanto, 'hace el libro'.

Hacer un 'libro' (y la noción de overround)

Una casa de apuestas se esfuerza por aceptar apuestas sobre el resultado de un evento en las proporciones adecuadas para obtener ganancias independientemente del resultado que prevalezca. Ver libro holandés y coherencia (estrategia de juego filosófico) . Esto se logra principalmente ajustando lo que se determina que son las probabilidades reales de los diversos resultados de un evento a la baja (es decir, la casa de apuestas pagará usando sus probabilidades reales, una cantidad que es menor que la que las probabilidades reales habrían pagado, asegurando así una ganancia).

Las probabilidades cotizadas para un evento en particular pueden ser fijas, pero es más probable que fluctúen para tener en cuenta el tamaño de las apuestas realizadas por los apostantes en el período previo al evento real (por ejemplo, una carrera de caballos). Este artículo explica las matemáticas de hacer un libro en el caso (más simple) del primer evento. Para el segundo método, consulte Apuestas parimutuel .

Es importante comprender la relación entre las probabilidades fraccionarias y decimales. Las probabilidades fraccionarias son aquellas escritas ab (a / bo a ab) significan que un apostador ganador recibirá su dinero más una unidad por cada b unidades que apueste. Multiplicar ayb por el mismo número da probabilidades equivalentes a ab. Las cuotas decimales son un valor único, mayor que 1, que representa la cantidad a pagar por cada apuesta unitaria. Por ejemplo, una apuesta de 40 £ a 6-4 (cuotas fraccionarias) pagará 40 £ + 60 £ = 100 £. Las probabilidades decimales equivalentes son 2.5; £ 40 x 2.5 = £ 100. Podemos convertir probabilidades fraccionarias a decimales mediante la fórmula D = b + a ⁄ b . Por lo tanto, las probabilidades fraccionarias de a-1 (es decir, b = 1) se pueden obtener a partir de las probabilidades decimales mediante a = D-1.

También es importante comprender la relación entre las probabilidades y las probabilidades implícitas: las probabilidades fraccionales de ab (con las probabilidades decimales correspondientes D) representan una probabilidad implícita de b ⁄ a + b = 1 ⁄ D , por ejemplo, 6-4 corresponde a 4 ⁄ 6+ 4 = 4 ⁄ 10 = 0.4 (40%). Una probabilidad implícita de x está representada por probabilidades fraccionarias de (1-x) / x, por ejemplo, 0.2 es (1-0.2) /0.2 = 0.8 / 0.2 = 4/1 (4-1, 4 a 1) (equivalentemente, 1 ⁄ x - 1 a 1) y probabilidades decimales de D = 1 ⁄ x .

Ejemplo

Al considerar un partido de fútbol (el evento) que puede ser una 'victoria local', un 'empate' o una 'victoria visitante' (los resultados), entonces se pueden encontrar las siguientes probabilidades para representar la probabilidad real de cada uno de los tres resultados:

Inicio: Evens

Empate: 2-1

Visitante: 5-1

Estas probabilidades se pueden representar como probabilidades implícitas (o porcentajes al multiplicar por 100) de la siguiente manera:

Evens (o 1-1) corresponde a una probabilidad implícita de 1 ⁄ 2 (50%)

2-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1 ⁄ 3 (33 1 ⁄ 3 %)

5-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1 ⁄ 6 (16 2 ⁄ 3 %)

Al sumar los porcentajes, se logra un 'libro' total del 100% (lo que representa un libro justo ). El corredor de apuestas, en su deseo de obtener una ganancia, invariablemente reducirá estas probabilidades. Considere el modelo más simple de reducción, que utiliza una disminución proporcional de probabilidades. Para el ejemplo anterior, las siguientes probabilidades están en la misma proporción con respecto a sus probabilidades implícitas (3: 2: 1):

Casa: 4-6

Empate: 6-4

Visitante: 4-1

4-6 corresponde a una probabilidad implícita de 3 ⁄ 5 (60%)

6-4 corresponde a una probabilidad implícita de 2 ⁄ 5 (40%)

4-1 corresponde a una probabilidad implícita de 1 ⁄ 5 (20%)

Al sumar estos porcentajes, se logra un 'libro' del 120%.

La cantidad por la cual el 'libro' real excede el 100% se conoce como 'overround', 'margen de la casa de apuestas' o ' vigorish ' o 'vig': representa la ganancia esperada de la casa de apuestas. Por lo tanto, en una situación "ideal", si el corredor de apuestas acepta £ 120 en apuestas con sus propias probabilidades cotizadas en la proporción correcta, pagará solo £ 100 (incluidas las apuestas devueltas) sin importar el resultado real del partido de fútbol. Examinando cómo potencialmente logra esto:

Una apuesta de £ 60.00 @ 4-6 devuelve £ 100.00 (exactamente) por una victoria en casa.

Una apuesta de £ 40.00 @ 6-4 devuelve £ 100.00 (exactamente) para un partido empatado

Una apuesta de £ 20.00 @ 4-1 devuelve £ 100.00 (exactamente) por una victoria fuera de casa

Total de apuestas recibidas: £ 120,00 y un pago máximo de £ 100,00 independientemente del resultado. Este beneficio de £ 20,00 representa un beneficio del 16 2 ⁄ 3  % sobre el volumen de negocios (20,00 / 120,00).

En realidad, las casas de apuestas utilizan modelos de reducción que son más complicados que el modelo de la situación "ideal".

Margen de las casas de apuestas en las ligas de fútbol inglesas

El margen de las casas de apuestas en las ligas de fútbol inglesas disminuyó en los últimos años. El estudio de seis grandes casas de apuestas entre la temporada 2005/06 y la temporada 2017/2018 mostró que el margen promedio en la Premier League disminuyó del 9% al 4%, en el English Football League Championship , English Football League One y English Football League Two del 11% al 6%, y en la Liga Nacional del 11% al 8%.

Overround en múltiples apuestas

Cuando un apostador ( apostador ) combina más de una selección en, por ejemplo, un doble , triple o acumulador, entonces el efecto del overround en el libro de cada selección se agrava en detrimento del apostador en términos de rendimiento financiero en comparación con las probabilidades reales de que todas las selecciones ganen y, por lo tanto, resulten en una apuesta exitosa.

Para explicar el concepto en las situaciones más básicas se analizará un ejemplo consistente en un doble compuesto por seleccionar al ganador de cada uno de dos partidos de tenis:

En el Partido 1 entre los jugadores A y B , se evalúa que ambos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar. La situación es la misma en Match 2 entre los jugadores C y D . En un libro justo en cada uno de sus partidos, es decir, cada uno tiene un libro del 100%, todos los jugadores se ofrecerían en cuotas de pares (1-1). Sin embargo, una casa de apuestas probablemente ofrecería probabilidades de 5-6 (por ejemplo) en cada uno de los dos posibles resultados en cada evento (cada partido de tenis). Esto da como resultado un libro para cada uno de los partidos de tenis de 109,09 ...%, calculado por 100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ), es decir, 9,09% de superposición.

Hay cuatro posibles resultados al combinar los resultados de ambos partidos: el par de jugadores ganadores podría ser AC , AD , BC o BD . Como cada uno de los resultados de este ejemplo se ha elegido deliberadamente para garantizar que sean igualmente probables, se puede deducir que la probabilidad de que ocurra cada resultado es 1 ⁄ 4 o 0,25 y que las probabilidades fraccionarias de que ocurra cada uno es 3-1. Una apuesta de 100 unidades (por simplicidad) en cualquiera de las cuatro combinaciones produciría un retorno de 100 × (3/1 + 1) = 400 unidades si tiene éxito, lo que refleja probabilidades decimales de 4.0.

Las probabilidades decimales de una apuesta múltiple a menudo se calculan multiplicando las probabilidades decimales de las apuestas individuales, con la idea de que si los eventos son independientes , la probabilidad implícita debe ser el producto de las probabilidades implícitas de las apuestas individuales. En el caso anterior con probabilidades fraccionarias de 5-6, las probabilidades decimales son 11 ⁄ 6 . Entonces, las probabilidades decimales de la apuesta doble son 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1.833 ... × 1.833 ... = 3.3611 ..., o probabilidades fraccionarias de 2.3611-1. Esto representa una probabilidad implícita del 29,752% (1 / 3,3611) y multiplicar por 4 (para cada una de las cuatro combinaciones de resultados igualmente probables) da un total contable de 119,01%. Por lo tanto, el overround se ha más que duplicado al combinar dos apuestas simples en una doble.

En general, el overround combinado en un doble (O _D ), expresado como un porcentaje, se calcula a partir de los libros individuales B ₁ y B ₂ , expresados ​​como decimales, por O _D = B ₁ × B ₂ × 100 - 100. En en el ejemplo tenemos O _D = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01%.

Este enorme aumento en la ganancia potencial para la casa de apuestas (19% en lugar de 9% en un evento; en este caso, el doble) es la razón principal por la que las casas de apuestas pagan bonificaciones por la selección exitosa de ganadores en múltiples apuestas: compare ofreciendo una bonificación del 25%. en la elección correcta de cuatro ganadores de cuatro selecciones en un Yankee , por ejemplo, cuando el potencial overround en un simple cuádruple de carreras con libros individuales del 120% es superior al 107% (un libro del 207%). Es por eso que las casas de apuestas ofrecen apuestas como Lucky 15 , Lucky 31 y Lucky 63 ; ofreciendo el doble de probabilidades para un ganador y bonificaciones porcentuales cada vez mayores para dos, tres y más ganadores.

En general, para cualquier apuesta acumulada de dos a i selecciones, el porcentaje combinado de exceso de libros de B ₁ , B ₂ , ..., B _i dado en términos de decimales, se calcula mediante B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. Por ejemplo, el cuádruple mencionado anteriormente que consiste en libros individuales del 120% (1.20) da un overround de 1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 - 100 = 107.36%.

Liquidación de apuestas ganadoras

Al liquidar las apuestas ganadoras, se utilizan cuotas decimales o se añade una a las cuotas fraccionarias: esto es para incluir la apuesta en la devolución. La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado de la parte ganadora ; el método es idéntico pero las probabilidades se reducen según el factor de lugar para el evento en particular (consulte Acumulador a continuación para obtener un ejemplo detallado). Todas las apuestas se toman como apuestas "ganadoras" a menos que se indique específicamente "en cada sentido". Todos muestran el uso de probabilidades fraccionarias: reemplace (probabilidades fraccionarias + 1) por probabilidades decimales si se conocen las probabilidades decimales. Los no participantes son tratados como ganadores con probabilidades fraccionarias de cero (probabilidades decimales de 1). Las fracciones de centavos en las ganancias totales son invariablemente redondeadas a la baja por las casas de apuestas al centavo más cercano a continuación. Los cálculos a continuación para apuestas múltiples dan como resultado que se muestren totales para las categorías separadas (por ejemplo, dobles, triples, etc.) y, por lo tanto, los retornos generales pueden no ser exactamente iguales a la cantidad recibida al usar el software de computadora disponible para las casas de apuestas para calcular el total. ganancias.

Individual

Ganar solo

Por ejemplo, £ 100 individual a las 9-2; total apostado = £ 100

Devoluciones = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5.5 = £ 550

Sencillo de ida y vuelta

Por ejemplo, £ 100 por trayecto individual en 11-4 ( 1 ⁄ 5 probabilidades por lugar); total apostado = £ 200

Devoluciones (gana) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3.75 = £ 375

Devoluciones (lugar) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155

Rendimientos totales si la selección gana = £ 530; si solo se coloca = £ 155

Múltiples apuestas

Las apuestas múltiples de Each-Way generalmente se liquidan usando un método predeterminado " Win to Win, Place to Place ", lo que significa que la apuesta consiste en un acumulador de ganancias y un acumulador de lugares separado (Nota: un doble o triple es un acumulador con 2 o 3 selecciones respectivamente). Sin embargo, una forma menos común de liquidar este tipo de apuestas es " Each-Way todos Each-Way " (conocido como " Igualmente dividido ", que normalmente debe solicitarse como tal en el boleto de apuestas) en el que los retornos de una selección en el acumulador se divide para formar una apuesta de igual importe en cada sentido en la siguiente selección y así sucesivamente hasta que se hayan utilizado todas las selecciones. El primer ejemplo a continuación muestra los dos enfoques diferentes para liquidar este tipo de apuestas.

Doble

Por ejemplo, £ 100 por trayecto doble con ganadores en 2-1 ( 1 ⁄ 5 probabilidades por lugar) y 5-4 ( 1 ⁄ 4 probabilidades por lugar); total apostado = £ 200

Nota: " Win to Win, Place to Place " siempre proporcionará un mayor rendimiento si todas las selecciones ganan, mientras que " Each-Way todos Each-Way " proporciona una mayor compensación si una selección es una perdedora, ya que cada uno de los otros ganadores proporciona una mayor cantidad de dinero del lugar para selecciones posteriores.

Triplicar

Por ejemplo, £ 100 triplicado con ganadores en 3-1, 4-6 y 11-4; total apostado = £ 100

Devoluciones = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2500

Acumulador

Por ejemplo, acumulador quíntuple de £ 100 por trayecto con ganadores en Evens ( 1 ⁄ 4 probabilidades por lugar), 11-8 ( 1 ⁄ 5 probabilidades), 5-4 ( 1 ⁄ 4 probabilidades), 1-2 (todos hasta ganar) y 3-1 ( 1 ⁄ 5 probabilidades); total apostado = £ 200

Nota: "Todos para ganar" significa que no hay suficientes participantes en el evento para poder dar las probabilidades de lugar (por ejemplo, 4 corredores o menos en una carrera de caballos). Por lo tanto, el único "lugar" es el primer lugar, para el que se dan las probabilidades de ganar.

Devoluciones (gana cinco veces) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412.50

Devoluciones (coloque cinco veces) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502.03

Rentabilidad total = 6914,53 £

Apuestas de cobertura completa

Trixie

yanqui

Trixie , Yankee , Canadian , Heinz , Super Heinz y Goliath forman una familia de apuestas conocidas como apuestas full cover que tienen todos los posibles múltiplos presentes. Arriba se muestran ejemplos de apuestas ganadoras de Trixie y Yankee . Las otras apuestas nombradas se calculan de manera similar al observar todas las posibles combinaciones de selecciones en sus múltiplos. Nota: Un doble puede considerarse como una apuesta de cobertura completa con solo dos selecciones.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, los ganadores restantes se tratan como una apuesta totalmente exitosa en el próximo 'miembro de la familia' hacia abajo. Por ejemplo, solo dos ganadores de tres en un Trixie significa que la apuesta se liquida como un doble; solo cuatro ganadores de cada cinco en un canadiense significa que se establece como un Yankee ; sólo cinco ganadores de ocho en un Goliat significa que está resuelto como canadiense . La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado utilizando probabilidades de lugar reducidas. Por lo tanto, un Super Heinz de ida y vuelta en siete caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se establece como un Trixie ganador y un lugar canadiense . Prácticamente todos los corredores de apuestas utilizan software de computadora para facilitar, acelerar y precisar los cálculos para la liquidación de apuestas múltiples.

Apuestas de cobertura completa con individuales

Patentar

Patente , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 y superior Lucky apuestas forman una familia de apuestas conocidas como apuestas de cobertura total con solteros que tienen todos los múltiplos posibles presente junto con apuestas individuales en todas las selecciones. Arriba se muestra un ejemplo de una apuesta de patente ganadora . Las otras apuestas nombradas se calculan de manera similar observando todas las posibles combinaciones de selecciones en sus múltiplos y sencillos.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, los ganadores restantes se tratan como una apuesta totalmente exitosa en el próximo 'miembro de la familia' hacia abajo. Por ejemplo, solo dos de cada tres ganadores en una patente significa que la apuesta se determina como doble y dos individuales; solo tres de cada cuatro ganadores en un Lucky 15 significa que está resuelto como una Patente ; Solo cuatro ganadores de seis en un Lucky 63 significa que se considera un Lucky 15 . La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado utilizando probabilidades de lugar reducidas. Por lo tanto, un Lucky 63 de ida y vuelta en seis caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se establece como una patente ganadora y un lugar Lucky 31 .

Interpretación algebraica

El rendimiento de cualquier apuesta se puede considerar calculado como 'unidad de apuesta' × 'multiplicador de probabilidades'. El 'multiplicador de probabilidades' general es un valor de probabilidades decimal combinado y es el resultado de todas las apuestas individuales que componen una apuesta de cobertura completa, incluidas las individuales si es necesario. Por ejemplo, si un Yankee de £ 10 exitoso devolvió £ 461.35, entonces el 'multiplicador de probabilidades' ( OM ) general es 46.135.

Si a , b , c , d ... representan las probabilidades decimales , es decir (probabilidades fraccionarias + 1), entonces un OM se puede calcular algebraicamente multiplicando las expresiones ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1) ... etc. juntos de la manera requerida y restando 1. Si es necesario, (cuotas decimales + 1) pueden ser reemplazadas por (cuotas fraccionarias + 2).

Ejemplos de

3 selecciones con cuotas decimales un , b y c . Expandir ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) algebraicamente da abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Esto es equivalente al OM para una Patente (agudos: abc ; dobles: ab , ac y bc ; individuales: un , b y c ) más 1 . Por lo tanto, para calcular el rendimiento de una patente ganadora, es solo un caso de multiplicar ( a + 1), ( b + 1) y ( c + 1) juntos y restar 1 para obtener el OM de la apuesta ganadora, es decir, OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) - 1 . Ahora multiplique por la apuesta unitaria para obtener el rendimiento total de la apuesta.

Por ejemplo, la patente ganadora descrita anteriormente puede evaluarse de manera más rápida y sencilla mediante lo siguiente:

Rentabilidad total = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Ignorando cualquier bonificación, un Lucky 63 de 50 peniques por trayecto (apuesta total £ 63) con 4 ganadores [2-1, 5-2, 7-2 (todas las probabilidades de 1 ⁄ 5 por lugar) y 6-4 ( 1 ⁄ 4 probabilidades por lugar)] y otro caballo colocado [9-2 ( 1 ⁄ 5 probabilidades por lugar)] se pueden calcular con relativa facilidad de la siguiente manera:

Devoluciones (parte ganadora) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75

o más simplemente como 0.50 × (4 × 4.5 × 5.5 × 3.5 - 1)

Devuelve (colocar parte) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11.79

o más simplemente como 0.50 × (2.4 × 2.5 × 2.7 × 2.375 × 2.9 - 1)

Rentabilidad total = £ 184.54

Para la familia de apuestas full cover que no incluyen singles se hace un ajuste al cálculo para dejar solo los dobles, triples y acumuladores. Por lo tanto, un Yankee ganador de £ 10 descrito anteriormente con ganadores en 1-3, 5-2, 6-4 y pares tiene retornos calculados por:

£ 10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) - 1 - [(1/3 + 1) + (5 / 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £ 999.16

En efecto, la apuesta se ha calculado como un Lucky 15 menos los sencillos. Tenga en cuenta que el valor de retorno total de £ 999.16 es un centavo más alto que el valor calculado anteriormente, ya que este método más rápido solo implica redondear la respuesta final y no redondear en cada paso individual.

En términos algebraicos, el OM de la apuesta Yankee viene dado por:

OM = ( una + 1) ( segundo + 1) ( do + 1) ( re + 1) - 1 - ( una + segundo + do + re )

En los días previos a que el software estuviera disponible para que lo usaran los corredores de apuestas y los que liquidaban apuestas en las oficinas de apuestas autorizadas (LBO), este método era prácticamente de rigor para ahorrar tiempo y evitar los múltiples cálculos repetitivos necesarios para liquidar apuestas del tipo de cobertura completa.

Liquidación de otros tipos de apuestas ganadoras

Arriba y abajo

Round Robin

Un Round Robin con 3 ganadores se calcula como un Trixie más tres apuestas Up y Down con 2 ganadores en cada una.

Un Round Robin con 2 ganadores se calcula como una apuesta doble más una apuesta Arriba y Abajo con 2 ganadores más dos apuestas Arriba y Abajo con 1 ganador en cada una.

Un Round Robin con 1 ganador se calcula como dos apuestas Arriba y Abajo con un ganador en cada una.

Las apuestas de bandera y súper bandera se pueden calcular de manera similar a la anterior utilizando la apuesta de cobertura completa adecuada (si hay suficientes ganadores) junto con el número requerido de 2 apuestas de ganador y 1 ganador arriba y abajo.

Nota: Los evaluadores de apuestas expertos antes de la introducción del software de determinación de apuestas habrían utilizado invariablemente un método de tipo algebraico junto con una calculadora simple para determinar el rendimiento de una apuesta (ver más abajo).

Interpretación algebraica

Si a , b , c , d ... representan las probabilidades decimales , es decir (probabilidades fraccionarias + 1), entonces un 'multiplicador de probabilidades' OM se puede calcular algebraicamente multiplicando las expresiones ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1) ... etc. juntos de la manera requerida y sumando o restando componentes adicionales. Si es necesario, (cuotas decimales + 1) se pueden reemplazar por (cuotas fraccionarias + 2).

Ejemplos de

Ver también

• Predicciones de fútbol de la asociación estadística
• Glosario de apuestas ofrecidas por casas de apuestas del Reino Unido

Notas

Referencias

• Cortis, D. (2015). "Valores esperados y variación en los pagos de las casas de apuestas: un enfoque teórico para establecer límites en las probabilidades". Revista de mercados de predicción. 1. 9.
• Sidney, C (1976). El arte del legging, Maxline International.
• Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History, Theory, and Practice of Bookmaking on the English Turf , 3ra edición, Rotex Publishing 2003, 224pp. ISBN  978-1-872254-06-7 . Tercera edición definitiva, ampliamente revisada y actualizada sobre la historia, la teoría, la práctica y las matemáticas de la creación de libros, además de las matemáticas de las apuestas fuera de curso, las apuestas y su cálculo y control de responsabilidad .

Otras lecturas

• " Encontrar una ventaja ", Ron Loftus , US-SC-North Charleston: Create Space., 2011, 144pp.
• " Cómo hacer un libro ", Phil Bull , Londres: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160pp.
• " El libro sobre la creación de libros ", Ferde Rombola, California: Romford Press, 1984, 147pp. ISBN  978-0-935536-37-9 .
• El arte de hacer libros , Malcolm Boyle, High Stakes Publishing 2006.
• Secretos de las apuestas exitosas , Michael Adams, Raceform, 2002.
• Las matemáticas de los juegos y el juego , Edward W. Packel, Asociación Matemática de América , 2006.
• Las matemáticas del juego , Edward O. Thorp, L. Stuart, 1984.
• "Maximin Hedges", Jean-Claude Derderian, Mathematics Magazine , volumen 51, número 3. (mayo de 1978), páginas 188-192.
• "Carnap y de Finetti sobre las apuestas y la probabilidad de sucesos singulares: reconsideración del argumento del libro holandés " Klaus Heilig, The British Journal for the Philosophy of Science , volumen 29, número 4. (diciembre de 1978), páginas 325–346.
• "Pruebas de la eficacia de las apuestas en hipódromos utilizando cuotas de las casas de apuestas", Ron Bird, Michael McCrae, Management Science , volumen 33, número 12 (diciembre de 1987), páginas 152-156.
• "¿Por qué existe un sesgo de favoritismo en los mercados de apuestas de hipódromos británicos?", Leighton Vaughan Williams, David Paton. The Economic Journal , volumen 107, número 440 (enero de 1997), páginas 150-158.
• Determinación óptima de las probabilidades de apuestas de los corredores de apuestas: teoría y pruebas , por John Fingleton y Patrick Waldron, Trinity Economic Paper Series, Technical Paper No. 96/9, Trinity College, University of Dublin , 1999.
• "¡Las probabilidades no cuadran!", Mike Fletcher, Enseñanza de las matemáticas y sus aplicaciones , 1994, volumen 13, número 4, páginas 145-147.
• "Información, precios y eficiencia en un mercado de apuestas de probabilidades fijas", Peter F. Pope, David A. Peel, Economica, New Series , volumen 56, número 223, (agosto de 1989), páginas 323–341.
• "Una perspectiva matemática sobre el juego", Molly Maxwell, Revista universitaria de matemáticas del MIT , volumen 1, (1999), páginas 123-132.
• " Guía de probabilidad del juego: las matemáticas de los dados, las tragamonedas, la ruleta, el baccarat, el blackjack, el póquer, la lotería y las apuestas deportivas ", Catalin Barboianu, Infarom, 2006, 316pp. ISBN  973-87520-3-5 .