Fuerza de tensión magnética - Magnetic tension force

La fuerza de tensión magnética es una fuerza restauradora ( unidad SI : Pa · m ⁻¹ ) que actúa para enderezar las líneas dobladas del campo magnético . Es igual a:

${\ Displaystyle {\ frac {\ left (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} \, ({\ text {SI}}) \ qquad {\ frac {(\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B}} {4 \ pi}} \, ({\ text {cgs}})}$

Es análogo a las gomas elásticas y su fuerza restauradora. La fuerza se dirige antirradial. Aunque la tensión magnética se denomina fuerza, en realidad es un gradiente de presión (Pa⋅m ⁻¹ ) que también es una densidad de fuerza (N⋅m ⁻³ ).

La presión magnética es la densidad de energía del campo magnético que puede visualizarse aumentando a medida que las líneas del campo magnético convergen en un volumen de espacio dado. Por el contrario, la fuerza de tensión magnética está determinada por cuánto cambia la presión magnética con la distancia. Las fuerzas de tensión magnética también dependen de las densidades de corriente del vector y su interacción con el campo magnético . Trazar la tensión magnética a lo largo de las líneas de campo adyacentes puede dar una imagen de su divergencia y convergencia entre sí, así como de las densidades de corriente . ${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$

Uso en física del plasma

La tensión magnética es particularmente importante en la física del plasma y la magnetohidrodinámica , donde controla la dinámica de algunos sistemas y la forma de las estructuras magnetizadas. En magnetohidrodinámica , la fuerza de tensión magnética se puede derivar de la ecuación de momento de la física del plasma:

${\ Displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {V} = \ mathbf {J} \ times \ mathbf { B} - \ nabla p}$.

El primer término en el lado derecho de la ecuación anterior representa las fuerzas electromagnéticas y el segundo término representa las fuerzas del gradiente de presión. Usando la relación y la identidad vectorial ${\ Displaystyle \ mu _ {0} \ mathbf {J} = \ nabla \ times \ mathbf {B}}$

${\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla) \ mathbf {b} + (\ mathbf {b} \ cdot \ nabla) \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {b}) + \ mathbf {b} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {a}),}$

obtenemos la siguiente ecuación:

${\ estilo de visualización \ rho \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {V} = - \ nabla \ left ({\ frac { B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}} \ right) + {(\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} \ over \ mu _ {0}} - \ nabla p .}$

El primer y último término de gradiente están asociados con la presión total, que es la suma de las presiones magnética y térmica; . El segundo término representa la tensión magnética. ${\ displaystyle p + B ^ {2} / 2 \ mu _ {0}}$

Podemos separar la fuerza debida a cambios en la magnitud de y su dirección escribiendo con y un vector unitario. Algunas identidades vectoriales dan ${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {b}}$${\ Displaystyle B = | \ mathbf {B} |}$${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$

${\ Displaystyle - \ nabla \ left ({\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}} \ right) + {(\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} \ over \ mu _ {0}} = - (1- \ mathbf {b} \ mathbf {b}) \ cdot \ nabla \ left ({\ frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0} }} \ derecha) + \ izquierda ({\ frac {B ^ {2}} {\ mu _ {0}}} \ derecha) (\ mathbf {b} \ cdot \ nabla) \ mathbf {b}}$

El primer término es la "presión magnética" debido únicamente a los cambios en las direcciones perpendiculares a , mientras que el segundo término es la "tensión" debido únicamente a los cambios en la dirección de (o curvatura de las líneas del campo magnético). ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$

Una forma más rigurosa de ver esto es a través del tensor de tensión de Maxwell . La ley de fuerza de Lorentz

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}$

da la fuerza por unidad de volumen:

${\ Displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}$

Esto, después de algo de álgebra y usando las ecuaciones de Maxwell para reemplazar la corriente, conduce a

${\ Displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [(\ nabla \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {E} \ cdot \ nabla) \ mathbf {E } \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [(\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla ) \ mathbf {B} \ right] - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0} }} B ^ {2} \ derecha) - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ izquierda (\ mathbf {E} \ veces \ mathbf {B} \ derecha).}$

Este resultado se puede reescribir de forma más compacta introduciendo el tensor de tensión de Maxwell ,

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ { 2} \ derecha).}$

Todos menos el último término de la expresión anterior para la densidad de fuerza , se pueden escribir como la divergencia del tensor de Maxwell : ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {f} + \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial t}} \, = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma}}$,

que da la densidad de fuerza electromagnética en términos de tensor de tensiones de Maxwell , y el vector de Poynting , . Ahora, la tensión magnética está implícitamente incluida en el interior . La implicación de la relación anterior es la conservación del impulso. En este caso, es la densidad de flujo del impulso y desempeña un papel similar al de teorema de Poynting . ${\ Displaystyle \ sigma _ {ij}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij}}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S}}$

Ver también

• Presión magnética
• Lista de artículos sobre plasma (física)
• Tensor de tensión de Maxwell

Referencias