Secuencia exacta - Exact sequence

Una secuencia exacta es una secuencia de morfismos entre objetos (por ejemplo, grupos , anillos , módulos y, más generalmente, objetos de una categoría abeliana ) de manera que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del siguiente.

Definición

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

${\ Displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \; G_ {2} \; { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \; G_ {n}}$

de grupos y homomorfismos de grupo se dice que es exacto en si . La secuencia se llama exacta si es exacta en cada uno para todos , es decir, si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente. ${\ Displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i}) = \ ker (f_ {i + 1})}$${\ Displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ leq i <n}$

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y mapas lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con kernels y cokernels , y más especialmente en categorías abelianas , donde se usa ampliamente.

Casos sencillos

Para comprender la definición, es útil considerar casos relativamente simples en los que la secuencia es finita y comienza o termina con el grupo trivial . Tradicionalmente, esto, junto con el elemento de identidad único, se denota 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos) o 1 (notación multiplicativa).

• Considere la secuencia 0 → A → B . La imagen del mapa más a la izquierda es 0. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si el mapa más a la derecha (de A a B ) tiene kernel {0}; es decir, si y solo si ese mapa es un monomorfismo (inyectivo o uno a uno).
• Considere la secuencia dual B → C → 0. El núcleo del mapa más a la derecha es C. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si la imagen del mapa más a la izquierda (de B a C ) es toda de C ; es decir, si y sólo si ese mapa es un epimorfismo (sobreyectivo o sobre).
• Por lo tanto, la secuencia 0 → X → Y → 0 es exacta si y solo si el mapa de X a Y es tanto un monomorfismo como un epimorfismo (es decir, un bimorfismo ) y, por lo tanto, en muchos casos, un isomorfismo de X a Y .

Secuencia exacta corta

Son importantes las secuencias breves y exactas , que son secuencias exactas de la forma

${\ Displaystyle 0 \ to A \; \ xrightarrow {\ f \} \; B \; \ xrightarrow {\ g \} \; C \ to 0.}$

Como se estableció anteriormente, para cualquier secuencia exacta corta, f es un monomorfismo y g es un epimorfismo. Además, la imagen de f es igual al núcleo de g . Es útil pensar en A como un subobjeto de B con f incrustando A en B , y en C como el objeto factor correspondiente (o cociente ), B / A , con g induciendo un isomorfismo

${\ Displaystyle C \ cong B / \ operatorname {im} (f)}$

La breve secuencia exacta

${\ Displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

se llama escisión si existe un homomorfismo h  : C → B tal que la composición g ∘ h es el mapa de identidad en C . De ello se deduce que si se trata de grupos abelianos , B es isomorfo a la suma directa de A y C (consulte División del lema ):

${\ Displaystyle B \ cong A \ oplus C.}$

Secuencia exacta larga

Una secuencia exacta general a veces se denomina secuencia exacta larga , para distinguirla del caso especial de una secuencia exacta corta.

Una secuencia larga exacta es equivalente a una familia de secuencias cortas exactas en el siguiente sentido: Dada una secuencia larga

${\ Displaystyle A_ {0} \; \ xrightarrow {\ f_ {1} \} \; A_ {1} \; \ xrightarrow {\ f_ {2} \} \; A_ {2} \; \ xrightarrow {\ f_ {3} \} \; \ cdots \; \ xrightarrow {\ f_ {n} \} \; A_ {n},}$ (1)

con n ≥ 2, podemos dividirlo en secuencias cortas

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 \ rightarrow K_ {1} \ rightarrow {} & A_ {1} \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow 0, \\ 0 \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow {} y A_ {2 } \ rightarrow K_ {3} \ rightarrow 0, \\\ vdots \\ 0 \ rightarrow K_ {n-1} \ rightarrow {} & A_ {n-1} \ rightarrow K_ {n} \ rightarrow 0, \\\ end {alineado}}}$ (2)

donde para cada . Por construcción, las secuencias (2) son exactas en la 's (independientemente de la exactitud de (1) ). Además, (1) es una secuencia larga exacta si y solo si (2) son todas secuencias cortas exactas. ${\ Displaystyle K_ {i} = \ operatorname {im} (f_ {i})}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle K_ {i}}$

Ejemplos de

Enteros módulo dos

Considere la siguiente secuencia de grupos abelianos:

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

La primera homomorfismo los mapas de cada elemento i en el conjunto de los enteros Z con el elemento 2 i en Z . El segundo homomorfismo mapea cada elemento i en Z a un elemento j en el grupo del cociente; es decir, j = i mod 2. Aquí la flecha de gancho indica que el mapa 2 × de Z a Z es un monomorfismo, y la flecha de dos puntas indica un epimorfismo (el mapa mod 2). Esta es una secuencia exacta porque la imagen 2 Z del monomorfismo es el núcleo del epimorfismo. Básicamente, "la misma" secuencia también se puede escribir como ${\ Displaystyle \ hookrightarrow}$${\ Displaystyle \ twoheadrightarrow}$

${\ Displaystyle 2 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

En este caso el monomorphism es 2 n ↦ 2 N y aunque se parece a una función de identidad, no es en (es decir, no epimorfismo) porque los números impares no pertenecen a 2 Z . Sin embargo, la imagen de 2 Z a través de este monomorfismo es exactamente el mismo subconjunto de Z que la imagen de Z a n ↦ 2 n utilizada en la secuencia anterior. Esta última secuencia difiere en la naturaleza concreta de su primer objeto del anterior, ya que 2 Z no es el mismo conjunto que Z , aunque los dos son isomorfos como grupos.

La primera secuencia también se puede escribir sin usar símbolos especiales para monomorfismo y epimorfismo:

${\ Displaystyle 0 \; \ to \; \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \; \ longrightarrow \; \ mathbf { Z} / 2 \ mathbf {Z} \; \ to \; \ 0}$

Aquí 0 denota el grupo trivial, el mapa de Z a Z es una multiplicación por 2, y el mapa de Z al grupo de factores Z / 2 Z se da reduciendo números enteros módulo 2. Esta es de hecho una secuencia exacta:

• la imagen del mapa 0 → Z es {0}, y el núcleo de la multiplicación por 2 también es {0}, por lo que la secuencia es exacto a la primera Z .
• la imagen de la multiplicación por 2 es 2 Z , y el núcleo de la reducción de módulo 2 es también 2 Z , por lo que la secuencia es exacta en el segundo Z .
• la imagen de la reducción de módulo 2 es Z / 2 Z , y el núcleo de la hoja de cero es también Z / 2 Z , por lo que la secuencia es exacto en la posición de Z / 2 Z .

La primera y tercera secuencias son algo de un caso especial debido a la naturaleza infinita de Z . No es posible que un grupo finito sea ​​mapeado por inclusión (es decir, por un monomorfismo) como un subgrupo propio de sí mismo. En cambio, la secuencia que surge del primer teorema de isomorfismo es

${\ Displaystyle 1 \ a N \ a G \ a G / N \ a 1}$

Como un ejemplo más concreto de una secuencia exacta en grupos finitos:

${\ Displaystyle 1 \ to C_ {n} \ to D_ {2n} \ to C_ {2} \ to 1}$

donde es el grupo cíclico de orden n y es el grupo diedro de orden 2 n , que es un grupo no abeliano. ${\ Displaystyle C_ {n}}$${\ Displaystyle D_ {2n}}$

Intersección y suma de módulos

Let I y J haber dos ideales de un anillo R . Luego

${\ Displaystyle 0 \ a I \ cap J \ a I \ oplus J \ a I + J \ a 0}$

es una secuencia exacta de módulos R , donde el homomorfismo del módulo mapea cada elemento x de al elemento de la suma directa , y el homomorfismo mapea cada elemento de a . ${\ Displaystyle I \ cap J \ a I \ oplus J}$${\ Displaystyle I \ cap J}$${\ Displaystyle (x, x)}$ ${\ Displaystyle I \ oplus J}$${\ Displaystyle I \ oplus J \ to I + J}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle I \ oplus J}$${\ Displaystyle xy}$

Estos homomorfismos son restricciones de homomorfismos definidos de manera similar que forman la secuencia exacta corta

${\ Displaystyle 0 \ a R \ a R \ oplus R \ a R \ a 0}$

Pasar a módulos de cociente produce otra secuencia exacta

${\ Displaystyle 0 \ to R / (I \ cap J) \ to R / I \ oplus R / J \ to R / (I + J) \ to 0}$

Grad, curl y div en geometría diferencial

Otro ejemplo puede derivarse de la geometría diferencial , especialmente relevante para trabajar en las ecuaciones de Maxwell .

Considere el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables con valores escalares en tres dimensiones . Tomar el gradiente de una función nos lleva a un subconjunto del espacio de funciones con valores vectoriales, todavía integrables en cuadrados en el mismo dominio , específicamente, el conjunto de tales funciones que representan campos vectoriales conservadores. (El teorema de Stokes generalizado ha conservado la integrabilidad). ${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {H} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ Displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3} \ right \ rbrace}$

Primero, tenga en cuenta que la curvatura de todos esos campos es cero, ya que

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & \ equiv \ nabla \ times (\ nabla f) = 0 \ end {alineado}}}$

para todos esos f . Sin embargo, esto solo prueba que la imagen del degradado es un subconjunto del núcleo del rizo. Para probar que de hecho son el mismo conjunto, demuestre lo contrario: que si la curva de un campo vectorial es 0, entonces es el gradiente de alguna función escalar. Esto se sigue casi inmediatamente del teorema de Stokes (ver la demostración de la fuerza conservadora ). La imagen del gradiente es entonces precisamente el núcleo del rizo, por lo que podemos tomar el rizo como nuestro próximo morfismo, llevándonos nuevamente a un (diferente) subconjunto de . ${\ Displaystyle {\ vec {F}}}$${\ Displaystyle {\ vec {F}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$

Del mismo modo, observamos que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {div} \ left (\ operatorname {curl} {\ vec {v}} \ right) & \ equiv \ nabla \ cdot \ nabla \ times {\ vec {v}} = 0, \ end {alineado}}}$

por lo que la imagen del rizo es un subconjunto del núcleo de la divergencia . Lo contrario es algo complicado:

Prueba de que = 0 implica para algunos${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}}}$${\ Displaystyle {\ vec {F}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}}}$${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$

Procederemos por construcción: dado un campo vectorial tal que producimos un campo tal que ${\ Displaystyle {\ vec {F}} = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat {j}} + F_ {z} {\ hat {k}}}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {F}} = 0}$${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ times {\ vec {A}} & = \ left (\ parcial _ {y} A_ {z} - \ parcial _ {z} A_ {y} \ right) { \ sombrero {i}} + \ izquierda (\ parcial _ {z} A_ {x} - \ parcial _ {x} A_ {z} \ derecha) {\ sombrero {j}} + \ izquierda (\ parcial _ {x } A_ {y} - \ parcial _ {y} A_ {x} \ right) {\ hat {k}} \\ & = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat { j}} + F_ {z} {\ hat {k}} = {\ vec {F}} \ end {alineado}}}$ Primero, tenga en cuenta que, como se demostró anteriormente , podemos agregar el gradiente de cualquier función escalar sin cambiar el rizo. Podemos usar esta libertad de calibre para establecer cualquier componente de en cero sin cambiar su curvatura; eligiendo arbitrariamente el componente z , requerimos simplemente que ${\ Displaystyle \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) = 0}$${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ Displaystyle - \ parcial _ {z} A_ {y} {\ hat {i}} + \ parcial _ {z} A_ {x} {\ hat {j}} + \ izquierda (\ parcial _ {x} A_ {y} - \ parcial _ {y} A_ {x} \ right) {\ hat {k}} = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat {j}} + F_ {z} {\ hat {k}}}$ Luego, simplemente integrando los dos primeros componentes y observando que la 'constante' de integración aún puede depender de cualquier variable no integrada, encontramos que ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} A_ {x} & = \ int F_ {y} dz + {\ vec {C_ {1}}} (x, y) \\ A_ {y} & = - \ int F_ { x} dz + {\ vec {C_ {2}}} (x, y) \ end {alineado}}}$ Tenga en cuenta que desde que los dos términos de integración tanto dependen sólo de x e y y no en z , entonces podemos añadir otro gradiente de alguna función que también no depende de z . Esto nos permite eliminar cualquiera de los términos a favor del otro, sin estropear nuestro trabajo anterior que puso a cero. Al elegir eliminar y aplicar el último componente como restricción, tenemos ${\ Displaystyle {\ vec {C_ {1}}}, {\ vec {C_ {2}}}}$${\ Displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle A_ {z}}$${\ Displaystyle {\ vec {C_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} - \ parcial _ {x} \ int F_ {x} dz + \ parcial _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) - \ parcial _ {y } \ int F_ {y} dz & = F_ {z} \\ - \ int \ izquierda (\ parcial _ {x} F_ {x} + \ parcial _ {y} F_ {y} \ derecha) dz + \ parcial _ { x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) & = F_ {z} \ end {alineado}}}$ Por suposición , y así ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {div} {\ vec {F}} = \ parcial _ {x} F_ {x} + \ parcial _ {y} F_ {y} + \ parcial _ {z} F_ {z} = 0 }$ ${\ estilo de visualización \ int \ parcial _ {z} F_ {z} dz + \ parcial _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) = F_ {z}}$ Dado que el teorema fundamental del cálculo requiere que el primer término anterior sea precisamente más una constante en z , se garantiza que existe una solución al sistema de ecuaciones anterior. ${\ Displaystyle F_ {z}}$

Demostrado así que la imagen del rizo es precisamente el núcleo de la divergencia, este morfismo a su vez nos devuelve al espacio del que partimos . Dado que, por definición, hemos aterrizado en un espacio de funciones integrables, cualquier función de este tipo puede integrarse (al menos formalmente) para producir un campo vectorial cuya divergencia es esa función, por lo que la imagen de la divergencia es la totalidad de , y nosotros puede completar nuestra secuencia: ${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle 0 \ to L ^ {2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {div}}} \; \; L ^ {2} \ to 0}$

De manera equivalente, podríamos haber razonado a la inversa: en un espacio simplemente conectado , un campo vectorial sin rizos (un campo en el núcleo del rizo) siempre se puede escribir como un gradiente de una función escalar (y por lo tanto está en la imagen de el gradiente). De manera similar, un campo sin divergencia se puede escribir como un rizo de otro campo. (Razonar en esta dirección hace uso del hecho de que el espacio tridimensional es topológicamente trivial).

Esta breve secuencia exacta también permite una prueba mucho más breve de la validez de la descomposición de Helmholtz que no se basa en el cálculo vectorial de fuerza bruta. Considere la subsecuencia

${\ Displaystyle 0 \ to L ^ {2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \; \; \ operatorname {im} (\ operatorname {curl}) \ to 0.}$

Dado que la divergencia del gradiente es el laplaciano , y dado que el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables puede ser generado por las funciones propias del laplaciano, ya vemos que debe existir algún mapeo inverso . Para construir explícitamente tal inverso, podemos partir de la definición del vector Laplaciano ${\ Displaystyle \ nabla ^ {- 1}: \ mathbb {H} _ {3} \ to L ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right) + \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {A}} \ right)}$

Dado que estamos tratando de construir un mapeo de identidad componiendo alguna función con el gradiente, lo sabemos en nuestro caso . Entonces, si tomamos la divergencia de ambos lados ${\ Displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = \ operatorname {curl} \ left ({\ vec {A}} \ right) = 0}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ cdot \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right ) \\ & = \ nabla ^ {2} \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right) \\\ end {alineado}}}$

vemos que si una función es una función propia del vector Laplaciano, su divergencia debe ser una función propia del Laplaciano escalar con el mismo valor propio. Entonces podemos construir nuestra función inversa simplemente dividiendo cualquier función en la base propia del vector-laplaciano, escalando cada una por el inverso de su valor propio y tomando la divergencia; la acción de es así claramente la identidad. Así, por el lema de la división , ${\ Displaystyle \ nabla ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {- 1} \ circ \ nabla}$

${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {3} \ cong L ^ {2} \ oplus \ operatorname {im} (\ operatorname {curl})}$,

o, de manera equivalente, cualquier campo vectorial integrable en cuadrado se puede dividir en la suma de un gradiente y un rizo, que es lo que nos propusimos demostrar. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Propiedades

El lema de división establece que si la secuencia exacta corta

${\ Displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

admite un morfismo t  : B → A tal que t ∘ f es la identidad en A o un morfismo u : C → B tal que g ∘ u es la identidad en C , entonces B es una suma directa de A y C (para -grupos conmutativos, este es un producto semidirecto ). Se dice que una secuencia tan corta y exacta se divide .

El lema de la serpiente muestra cómo un diagrama conmutativo con dos filas exactas da lugar a una secuencia exacta más larga. El nueve lema es un caso especial.

El lema cinco da condiciones bajo las cuales el mapa del medio en un diagrama conmutativo con filas exactas de longitud 5 es un isomorfismo; el lema de los cinco cortos es un caso especial del mismo que se aplica a secuencias breves y exactas.

La importancia de las secuencias cortas exactas se subraya por el hecho de que cada secuencia exacta resulta de "entretejer" varias secuencias cortas exactas superpuestas. Considere, por ejemplo, la secuencia exacta

${\ Displaystyle A_ {1} \ to A_ {2} \ to A_ {3} \ to A_ {4} \ to A_ {5} \ to A_ {6}}$

lo que implica que existen objetos C _k en la categoría tal que

${\ Displaystyle C_ {k} \ cong \ ker (A_ {k} \ to A_ {k + 1}) \ cong \ operatorname {im} (A_ {k-1} \ to A_ {k})}$.

Supongamos además que existe el cokernel de cada morfismo, y es isomorfo a la imagen del siguiente morfismo en la secuencia:

${\ Displaystyle C_ {k} \ cong \ operatorname {coker} (A_ {k-2} \ to A_ {k-1})}$

(Esto es cierto para una serie de categorías interesantes, incluida cualquier categoría abeliana como los grupos abelianos; pero no es cierto para todas las categorías que permiten secuencias exactas y, en particular, no es cierto para la categoría de grupos , en los que coker ( f ): G → H no es H / im ( f ) sino , el cociente de H por el cierre conjugado de im ( f ).) Entonces obtenemos un diagrama conmutativo en el que todas las diagonales son secuencias cortas y exactas: ${\ Displaystyle H / {\ left \ langle \ operatorname {im} f \ right \ rangle} ^ {H}}$

La única parte de este diagrama que depende de la condición del cokernel es el objeto y el par final de morfismos . Si existe algún objeto y morfismo tal que sea ​​exacto, entonces se asegura la exactitud de . Tomando nuevamente el ejemplo de la categoría de grupos, el hecho de que im ( f ) sea el núcleo de algún homomorfismo en H implica que es un subgrupo normal , lo que coincide con su cierre conjugado; por tanto, el coker ( f ) es isomorfo a la imagen H / im ( f ) del siguiente morfismo. ${\ textstyle C_ {7}}$${\ textstyle A_ {6} \ to C_ {7} \ to 0}$${\ Displaystyle A_ {k + 1}}$${\ Displaystyle A_ {k} \ to A_ {k + 1}}$${\ Displaystyle A_ {k-1} \ to A_ {k} \ to A_ {k + 1}}$${\ Displaystyle 0 \ to C_ {k} \ to A_ {k} \ to C_ {k + 1} \ to 0}$

Por el contrario, dada cualquier lista de secuencias exactas cortas superpuestas, sus términos intermedios forman una secuencia exacta de la misma manera.

Aplicaciones de secuencias exactas

En la teoría de las categorías abelianas, las secuencias breves y exactas se utilizan a menudo como un lenguaje conveniente para hablar sobre objetos sub y factoriales.

El problema de la extensión es esencialmente la pregunta "Dados los términos finales A y C de una secuencia corta exacta, ¿qué posibilidades existen para el término medio B ?" En la categoría de grupos, esto es equivalente a la pregunta, ¿qué grupos B tienen A como subgrupo normal y C como grupo de factores correspondiente? Este problema es importante en la clasificación de grupos . Véase también Grupo de automorfismo externo .

Observe que en una secuencia exacta, la composición f _{i +1} ∘ f _i mapea A _i a 0 en A _{i +2} , por lo que cada secuencia exacta es un complejo de cadena . Además, solo f _i -imágenes de elementos de A _i se asignan a 0 por f _{i +1} , por lo que la homología de este complejo de cadena es trivial. Más sucintamente:

Las secuencias exactas son precisamente aquellos complejos de cadena que son acíclicos .

Dado cualquier complejo de cadena, su homología puede, por tanto, considerarse como una medida del grado en que no es exacta.

Si tomamos una serie de secuencias exactas cortas unidas por complejos de cadenas (es decir, una secuencia exacta corta de complejos de cadenas, o desde otro punto de vista, un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas), entonces podemos derivar de esto un largo exacto secuencia (es decir, una secuencia exacta indexada por los números naturales) en la homología mediante la aplicación del lema en zig-zag . Aparece en topología algebraica en el estudio de la homología relativa ; la secuencia de Mayer-Vietoris es otro ejemplo. Las secuencias exactas largas inducidas por secuencias exactas cortas también son características de los functores derivados .

Los functores exactos son functores que transforman secuencias exactas en secuencias exactas.

Referencias

Citas

Fuentes

• Spanier, Edwin Henry (1995). Topología algebraica . Berlín: Springer. pag. 179 . ISBN 0-387-94426-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa: con miras a la geometría algebraica . Springer-Verlag Nueva York. pag. 785 . ISBN 0-387-94269-6.