Ley de Little - Little's law

En la teoría de las colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , el resultado , teorema , lema , ley o fórmula de Little es un teorema de John Little que establece que el número promedio de clientes L a largo plazo en un sistema estacionario es igual al Tasa de llegada efectiva media a largo plazo λ multiplicada por el tiempo medio W que pasa un cliente en el sistema. Expresada algebraicamente, la ley es

Aunque parece intuitivamente fácil, es un resultado bastante notable, ya que la relación "no está influenciada por la distribución del proceso de llegada, la distribución del servicio, la orden de servicio o prácticamente cualquier otra cosa".

El resultado se aplica a cualquier sistema y, en particular, se aplica a los sistemas dentro de los sistemas. Entonces, en un banco, la línea del cliente podría ser un subsistema y cada uno de los cajeros otro subsistema, y ​​el resultado de Little podría aplicarse a cada uno, así como al conjunto. Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preventivo ; esto descarta estados de transición como el inicio o el apagado inicial.

En algunos casos, es posible no solo relacionar matemáticamente el número promedio en el sistema con la espera promedio, sino incluso relacionar toda la distribución de probabilidad (y momentos) del número en el sistema con la espera.

Historia

En un artículo de 1954, se asumió que la ley de Little era cierta y se usó sin pruebas. La forma L  =  λW fue publicada por primera vez por Philip M. Morse, donde desafió a los lectores a encontrar una situación en la que la relación no se mantuviera. Little publicó en 1961 su prueba de derecho, demostrando que no existía tal situación. La demostración de Little fue seguida por una versión más simple de Jewell y otra por Eilon. Shaler Stidham publicó una prueba diferente y más intuitiva en 1972.

Ejemplos de

Encontrar tiempo de respuesta

Imagine una aplicación que no tuviera una forma sencilla de medir el tiempo de respuesta . Si se conoce el número medio en el sistema y el rendimiento, el tiempo de respuesta promedio se puede encontrar usando la Ley de Little:

tiempo medio de respuesta = número medio en el sistema / rendimiento medio

Por ejemplo: un medidor de profundidad de cola muestra un promedio de nueve trabajos en espera de servicio. Agregue uno para el trabajo que se está reparando, de modo que haya un promedio de diez trabajos en el sistema. Otro medidor muestra un rendimiento medio de 50 por segundo. El tiempo medio de respuesta se calcula como 0,2 segundos = 10/50 por segundo.

Clientes en la tienda

Imagine una tienda pequeña con un solo mostrador y un área para navegar, donde solo una persona puede estar en el mostrador a la vez y nadie se va sin comprar algo. Entonces, el sistema es aproximadamente:

entrada → navegación → contador → salida

Si la tasa a la que las personas ingresan a la tienda (llamada tasa de llegada) es la tasa a la que salen (llamada tasa de salida), el sistema es estable. Por el contrario, una tasa de llegada superior a una tasa de salida representaría un sistema inestable, donde el número de clientes en espera en la tienda aumentaría gradualmente hacia el infinito.

La Ley de Little nos dice que el número promedio de clientes en la tienda L , es la tasa de llegada efectiva  λ , multiplicada por el tiempo promedio que un cliente pasa en la tienda W , o simplemente:

Suponga que los clientes llegan a una tasa de 10 por hora y permanecen un promedio de 0,5 horas. Esto significa que deberíamos encontrar que el número promedio de clientes en la tienda en cualquier momento es 5.

Ahora suponga que la tienda está considerando hacer más publicidad para aumentar la tasa de llegada a 20 por hora. La tienda debe estar preparada para albergar un promedio de 10 ocupantes o debe reducir el tiempo que cada cliente pasa en la tienda a 0,25 horas. La tienda podría lograr esto último haciendo sonar la factura más rápido o agregando más mostradores.

Podemos aplicar la Ley de Little a los sistemas dentro de la tienda. Por ejemplo, considere el contador y su cola. Supongamos que notamos que hay un promedio de 2 clientes en la cola y en el mostrador. Sabemos que la tasa de llegada es de 10 por hora, por lo que los clientes deben dedicar 0,2 horas en promedio a la salida.

Incluso podemos aplicar la Ley de Little al propio contador. El número promedio de personas en el mostrador estaría en el rango (0, 1) ya que no puede haber más de una persona en el mostrador a la vez. En ese caso, el número promedio de personas en el mostrador también se conoce como la utilización del mostrador.

Sin embargo, debido a que una tienda en realidad generalmente tiene una cantidad limitada de espacio, eventualmente puede volverse inestable. Incluso si la tasa de llegada es mucho mayor que la tasa de salida, la tienda eventualmente comenzará a desbordarse y, por lo tanto, cualquier nuevo cliente que llegue simplemente será rechazado (y obligado a ir a otro lugar o volver a intentarlo más tarde) hasta que vuelva a haber espacio libre. disponible en la tienda. Esta es también la diferencia entre la tasa de llegada y la tasa de llegada efectiva , donde la tasa de llegada corresponde aproximadamente a la tasa a la que los clientes llegan a la tienda, mientras que la tasa de llegada efectiva corresponde a la tasa a la que los clientes ingresan a la tienda. Sin embargo, en un sistema con un tamaño infinito y sin pérdidas, los dos son iguales.

Estimación de parámetros

Para usar la ley de Little sobre los datos, se deben usar fórmulas para estimar los parámetros, ya que el resultado no necesariamente se aplica directamente en intervalos de tiempo finitos, debido a problemas como cómo registrar los clientes que ya están presentes al comienzo del intervalo de registro y aquellos que tienen aún no ha salido cuando se detiene el registro.

Aplicaciones

La ley de Little se utiliza ampliamente en la fabricación para predecir el tiempo de entrega según la tasa de producción y la cantidad de trabajo en proceso.

Los probadores de rendimiento de software han utilizado la ley de Little para garantizar que los resultados de rendimiento observados no se deban a cuellos de botella impuestos por el aparato de prueba.

Otras aplicaciones incluyen la dotación de personal en los departamentos de emergencia de los hospitales.

Forma distributiva

Una extensión de la ley de Little proporciona una relación entre la distribución de estado estable del número de clientes en el sistema y el tiempo empleado en el sistema bajo una disciplina de servicio por orden de llegada .

Ver también

Notas

enlaces externos