Línea muaré - Line moiré

La línea muaré es un tipo de patrón de muaré ; un patrón que aparece al superponer dos capas transparentes que contienen patrones opacos correlacionados. La línea muaré es el caso cuando los patrones superpuestos comprenden líneas rectas o curvas. Al mover los patrones de capa, los patrones de muaré se transforman o se mueven a una velocidad más rápida. Este efecto se llama aceleración de muaré óptico.

Superposición de capas con líneas paralelas que se repiten periódicamente

Se pueden observar patrones simples de muaré al superponer dos capas transparentes que comprenden líneas paralelas opacas que se repiten periódicamente, como se muestra en la Figura 1. Las líneas de una capa son paralelas a las líneas de la segunda capa.

La imagen de superposición no cambia si se invierten las capas transparentes con sus patrones opacos. Al considerar las muestras impresas, una de las capas se indica como la capa base y la otra como la capa reveladora. Se supone que la capa reveladora está impresa en una transparencia y se superpone sobre la capa base, que puede imprimirse en una transparencia o en un papel opaco. Los períodos de los patrones de dos capas están cerca. Denotamos el período de la capa base como p _b y el período de la capa reveladora como p _r .

La imagen de superposición de la Figura 1 describe periódicamente bandas oscuras paralelas que se repiten, llamadas líneas muaré. El espacio entre las líneas de muaré es mucho mayor que los períodos de las líneas en las dos capas.

Las bandas claras de la imagen de superposición corresponden a las zonas donde se superponen las líneas de ambas capas. Las bandas oscuras de la imagen de superposición que forman las líneas muaré corresponden a las zonas donde se entrelazan las líneas de las dos capas, ocultando el fondo blanco. Las etiquetas de la Figura 2 muestran los pasajes desde zonas claras con líneas de capa superpuestas a zonas oscuras con líneas de capa entrelazadas. Las zonas claras y oscuras se intercambian periódicamente.

La Figura 3 muestra un diagrama detallado de la imagen de superposición entre dos zonas adyacentes con líneas superpuestas de las capas reveladora y base (es decir, entre dos bandas de luz).

El período p _m de las líneas de muaré es la distancia desde un punto donde las líneas de ambas capas se superponen (en la parte inferior de la figura) hasta el siguiente punto (en la parte superior). Contamos las líneas de la capa, comenzando desde el punto inferior. En la cuenta 0, las líneas de ambas capas se superponen. Dado que en nuestro caso p _r < p _b , para el mismo número de líneas contadas, las líneas de la capa base con un período largo avanzan más rápido que las líneas de la capa reveladora con un período corto. En la mitad de la distancia p _m , las líneas de la capa base están por delante de las líneas de la capa reveladora por medio período ( p _r / 2) de las líneas de la capa reveladora, debido a que las líneas se entrelazan, formando una banda de muaré oscura. A la distancia completa p _m , las líneas de la capa base están por delante de las líneas de la capa reveladora por un período completo p _r , por lo que las líneas de las capas se superponen nuevamente. Las líneas de la capa base ganan la distancia p _m con tantas líneas ( p _m / p _b ) como el número de líneas de la capa reveladora ( p _m / p _r ) para la misma distancia menos uno: p _m / p _r = p _m / p _b + 1. De aquí obtenemos la conocida fórmula para el período p _m de la imagen de superposición:

${\ Displaystyle p_ {m} = {\ frac {p_ {b} \ cdot p_ {r}} {p_ {b} -p_ {r}}}.}$

En el caso de que el período de la capa reveladora sea más largo que el período de la capa base, la distancia entre las bandas de muaré es el valor absoluto calculado por la fórmula. La superposición de dos capas que comprenden líneas paralelas forma una imagen óptica que comprende líneas de muaré paralelas con un período ampliado. De acuerdo con la fórmula para calcular p _m , cuanto más cercanos son los períodos de las dos capas, más fuerte es el factor de aumento.

El grosor de las líneas de capa afecta la oscuridad general de la imagen de superposición y el grosor de las bandas de muaré, pero el período p _m no depende del grosor de las líneas de capa.

Aceleración de movimientos con muaré

Las bandas de muaré de la Figura 1 se moverán si desplazamos la capa reveladora. Cuando la capa reveladora se mueve perpendicularmente a las líneas de la capa, las bandas de muaré se mueven a lo largo del mismo eje, pero varias veces más rápido que el movimiento de la capa reveladora.

La animación GIF que se muestra en la Figura 4 corresponde a un movimiento lento de la capa reveladora. El archivo GIF anima repetidamente un movimiento ascendente de la capa reveladora (perpendicular a las líneas de la capa) a lo largo de una distancia igual ap _r . La animación demuestra que las líneas muaré de la imagen de superposición se mueven hacia arriba a una velocidad mucho más rápida que la velocidad de movimiento de la capa reveladora.

Cuando la capa reveladora se desplaza hacia arriba perpendicularmente a las líneas de la capa en un período completo ( p _r ) de su patrón, la imagen óptica de superposición debe ser la misma que la inicial. Significa que las líneas de muaré atraviesan una distancia igual al período de la imagen de superposición p _m mientras que la capa reveladora atraviesa la distancia igual a su período p _r . Suponiendo que la capa base está inmóvil ( v _b = 0), la siguiente ecuación representa la relación entre la velocidad óptica y la velocidad de la capa reveladora:

${\ Displaystyle {\ frac {v_ {m}} {v_ {r}}} = {\ frac {p_ {m}} {p_ {r}}}.}$

Reemplazando p _m con su fórmula, tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {v_ {m}} {v_ {r}}} = {\ frac {p_ {b}} {p_ {b} -p_ {r}}}.}$

En caso de que el período de la capa reveladora sea más largo que el período de la capa base, la imagen óptica se mueve en la dirección opuesta. El valor negativo de la relación calculada de acuerdo con esta fórmula significa un movimiento en la dirección inversa.

Superposición de capas con líneas inclinadas

Aquí presentamos patrones con líneas inclinadas. Cuando estamos interesados ​​en la aceleración óptica, podemos representar el caso de patrones inclinados de manera que las fórmulas para calcular los períodos de muaré y las aceleraciones ópticas siguen siendo válidas en su forma más simple actual. Para ello, los valores de los períodos p _r , p _b y p _m corresponden a las distancias entre las líneas a lo largo del eje de movimientos (el eje vertical en el ejemplo animado de la Figura 4). Cuando las líneas de capa son perpendiculares al eje de movimiento, los períodos ( p ) son iguales a las distancias (indicadas como T ) entre las líneas (como en la Figura 4). Si las líneas están inclinadas, los períodos ( p ) a lo largo del eje del movimiento no son iguales a las distancias ( T ) entre las líneas.

Calcular la inclinación de las líneas de muaré en función de la inclinación de las líneas de las capas

La superposición de dos capas con líneas idénticamente inclinadas forma líneas muaré inclinadas en el mismo ángulo. La Figura 5 se obtiene de la Figura 1 con un corte vertical. En la Figura 5, las líneas de capa y las líneas de muaré están inclinadas 10 grados. Dado que la inclinación no es una rotación, durante la inclinación se conserva la distancia ( p ) entre las líneas de capa a lo largo del eje vertical, pero se cambia la distancia real ( T ) entre las líneas (a lo largo de un eje perpendicular a estas líneas). La diferencia entre los períodos verticales p _b , p _r , y las distancias T _b , T _r se muestra en el diagrama de la Figura 8.

El grado de inclinación de las líneas de capa puede cambiar a lo largo del eje horizontal formando curvas. La superposición de dos capas con un patrón de inclinación idéntico forma curvas muaré con el mismo patrón de inclinación. En la Figura 6, el grado de inclinación de las líneas de capa cambia gradualmente de acuerdo con la siguiente secuencia de grados (+30, –30, +30, –30, +30). Los períodos de capa p _b y p _r representan las distancias entre las curvas a lo largo del eje vertical. Las fórmulas presentadas para calcular el período p _m (la distancia vertical entre las curvas muaré) y la aceleración óptica (a lo largo del eje vertical) son válidas para la Figura 6.

Más interesante es el caso cuando los grados de inclinación de las líneas de capa no son los mismos para las capas base y reveladora. La figura 7 muestra una animación de una superposición de imágenes donde el grado de inclinación de las líneas de la capa base es constante (10 grados), pero la inclinación de las líneas de la capa reveladora oscila entre 5 y 15 grados. Los períodos de capas a lo largo del eje vertical p _b y p _r son los mismos todo el tiempo. En consecuencia, el período p _m (a lo largo del eje vertical) calculado con la fórmula básica también permanece igual.

La figura 8 ayuda a calcular el grado de inclinación de las líneas ópticas muaré en función de la inclinación de las líneas de la capa base y reveladoras. Dibujamos las líneas de las capas de forma esquemática sin mostrar sus verdaderos espesores. Las líneas en negrita del diagrama inclinadas α _b grados son las líneas de la capa base. Las líneas en negrita inclinadas α _r grados son las líneas de capa reveladoras. Las líneas de la capa base están espaciadas verticalmente por una distancia igual ap _b , y las líneas de la capa reveladora están espaciadas verticalmente por una distancia igual ap _r . Las distancias T _b y T _r representan el espacio real entre la capa base y las líneas de la capa reveladora, correspondientemente. Las intersecciones de las líneas de la base y las capas reveladoras (marcadas en la figura con dos flechas) se encuentran en un eje central de una banda de muaré claro. La línea discontinua de la Figura 8 corresponde al eje de la banda de muaré claro. El grado de inclinación de las líneas muaré es, por tanto, la inclinación α _m de la línea discontinua.

De la Figura 8 deducimos las siguientes dos ecuaciones:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ tan \ alpha _ {m} = {\ frac {p_ {b} + l \ cdot \ tan \ alpha _ {b}} {l}} \\\ tan \ alpha _ {r} = {\ frac {p_ {b} -p_ {r} + l \ cdot \ tan \ alpha _ {b}} {l}} \ end {cases}}}$

De estas ecuaciones deducimos la ecuación para calcular la inclinación de las líneas muaré en función de las inclinaciones de la capa base y las líneas de la capa reveladora:

${\ Displaystyle \ tan \ alpha _ {m} = {\ frac {p_ {b} \ cdot \ tan \ alpha _ {r} -p_ {r} \ cdot \ tan \ alpha _ {b}} {p_ {b } -p_ {r}}}}$

Deducir otras fórmulas conocidas

Los períodos de patrón verdaderos T _b , T _r y T _m (a lo largo de los ejes perpendiculares a las líneas del patrón) se calculan de la siguiente manera (ver Figura 8):

${\ Displaystyle T_ {b} = p_ {b} \ cdot \ cos \ alpha _ {b}, \ T_ {r} = p_ {r} \ cdot \ cos \ alpha _ {r}, \ T_ {m} = p_ {m} \ cdot \ cos \ alpha _ {m}}$

A partir de aquí, utilizando la fórmula para calcular tan ( α _m ) con períodos p , deducimos una fórmula bien conocida para calcular el ángulo muaré α _m con períodos T :

${\ Displaystyle \ alpha _ {m} = \ arctan \ left ({\ frac {T_ {b} \ cdot \ sin \ alpha _ {r} -T_ {r} \ cdot \ sin \ alpha _ {b}} { T_ {b} \ cdot \ cos \ alpha _ {r} -T_ {r} \ cdot \ cos \ alpha _ {b}}} \ right)}$

De la fórmula para calcular p _m deducimos otra fórmula bien conocida para calcular el período T _m del patrón muaré (a lo largo del eje perpendicular a las bandas muaré):

${\ Displaystyle T_ {m} = {\ frac {T_ {b} \ cdot T_ {r}} {\ sqrt {T_ {b} ^ {2} + T_ {r} ^ {2} -2 \ cdot T_ { b} \ cdot T_ {r} \ cdot \ cos (\ alpha _ {r} - \ alpha _ {b})}}}}$

En el caso particular cuando T _b = T _r = T , la fórmula para el período T _m se reduce a una fórmula bien conocida:

${\ Displaystyle T_ {m} = {\ frac {T} {2 \ cdot \ sin \ left ({\ frac {\ alpha _ {r} - \ alpha _ {b}} {2}} \ right)}} }$

Y la fórmula para calcular α _m se reduce a:

${\ Displaystyle \ alpha _ {m} = 90 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha _ {r} + \ alpha _ {b}} {2}}}$

La inclinación de las líneas reveladoras en función de la inclinación de las líneas de la imagen de superposición.

Aquí está la ecuación para calcular la inclinación de la línea de la capa reveladora α _r para una inclinación de la línea de la capa base dada α _b , y una inclinación deseada de la línea muaré α _m :

${\ Displaystyle \ tan \ alpha _ {r} = {\ frac {p_ {r}} {p_ {b}}} \ cdot \ tan \ alpha _ {b} + \ left (1 - {\ frac {p_ { r}} {p_ {b}}} \ derecha) \ cdot \ tan \ alpha _ {m}.}$

Para cualquier inclinación de línea de capa base dada, esta ecuación nos permite obtener una inclinación de línea de muaré deseada eligiendo correctamente la inclinación de la capa reveladora. En la Figura 6 mostramos un ejemplo donde las curvas de las capas siguen un patrón de inclinación idéntico formando una imagen de superposición con el mismo patrón de inclinación. Los grados de inclinación de las capas y las líneas de muaré cambian a lo largo del eje horizontal de acuerdo con la siguiente secuencia de valores de grados alternos (+30, –30, +30, –30, +30). En la Figura 9 obtenemos el mismo patrón de superposición que en la Figura 6, pero con una capa base que comprende líneas rectas inclinadas en –10 grados. El patrón de revelador de la Figura 9 se calcula mediante la interpolación de las curvas en líneas rectas conectadas, donde para cada posición a lo largo del eje horizontal, ángulo de inclinación de la línea de revelador α _r se calcula como una función de la α _b y α _m de acuerdo con la ecuación anterior.

La Figura 9 demuestra que la diferencia entre los ángulos de inclinación de las líneas de la capa base y reveladora tiene que ser varias veces menor que la diferencia entre los ángulos de inclinación del muaré y las líneas de la capa base.

Otro ejemplo que forma los mismos patrones de superposición que en la Figura 6 y la Figura 9 se muestra en la Figura 10. En la Figura 10, el patrón de inclinación deseado (+30, –30, +30, –30, +30) se obtiene utilizando una capa base con un patrón de inclinación invertido (–30, +30, –30, +30, –30).

La Figura 11 muestra una animación donde obtenemos una imagen de superposición con un patrón de inclinación constante de líneas muaré (+30, –30, +30, –30, +30) para modificar continuamente pares de capas base y reveladoras. El patrón de inclinación de la capa base cambia gradualmente y el patrón de inclinación de la capa reveladora se adapta correspondientemente de modo que el patrón de inclinación de la imagen de superposición permanece igual.

Referencias

enlaces externos

• Patrones de línea muaré : los conceptos básicos de los patrones de línea muaré y la aceleración óptica; ecuaciones para calcular los contornos y las velocidades de las curvas muaré; patrones circulares y movimientos rotacionales
• Moiré de línea aleatoria : muaré de línea aleatoria aperiódico
• Espejos de la página de introducción de la línea moiré: EE . UU. , Suiza