Amortiguación Landau - Landau damping

En física , el amortiguamiento de Landau , que lleva el nombre de su descubridor, el físico soviético Lev Davidovich Landau (1908-1968), es el efecto del amortiguamiento ( disminución exponencial en función del tiempo) de ondas de carga espaciales longitudinales en plasma o en un entorno similar. Este fenómeno evita que se desarrolle una inestabilidad y crea una región de estabilidad en el espacio de parámetros . Más tarde, Donald Lynden-Bell argumentó que estaba ocurriendo un fenómeno similar en la dinámica galáctica, donde el gas de electrones que interactúa por fuerzas electrostáticas es reemplazado por un "gas de estrellas" que interactúa por fuerzas gravitacionales. La amortiguación Landau se puede manipular exactamente en simulaciones numéricas como la simulación de partículas en la celda . Malmberg y Wharton demostraron su existencia experimentalmente en 1964, casi dos décadas después de su predicción por Landau en 1946.

Interacciones onda-partícula

La amortiguación de Landau ocurre debido al intercambio de energía entre una onda electromagnética con velocidad de fase y partículas en el plasma con velocidad aproximadamente igual a , que pueden interactuar fuertemente con la onda. Aquellas partículas que tengan velocidades ligeramente menores que serán aceleradas por el campo eléctrico de la onda para moverse con la velocidad de fase de la onda, mientras que aquellas partículas con velocidades levemente mayores que se desacelerarán perdiendo energía para la onda: las partículas tienden a sincronizarse con la onda. Esto se prueba experimentalmente con un tubo de ondas viajeras . ${\ Displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ Displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ Displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ Displaystyle v _ {\ text {ph}}}$

En un plasma magnetohidrodinámico ideal (MHD), las velocidades de las partículas a menudo se consideran aproximadamente una función de distribución de Maxwell . Si la pendiente de la función es negativa, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de la fase de onda es mayor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que obtienen energía de la onda que las que pierden con la onda, lo que conduce a la amortiguación de la onda. Sin embargo, si la pendiente de la función es positiva, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de la fase de onda es menor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que pierden energía a causa de la onda que las que obtienen de la onda, lo que conduce a un aumento resultante en la energía de las olas.

Interpretación física

La teoría matemática de la amortiguación de Landau es algo complicada; consulte la sección siguiente. Sin embargo, hay una interpretación física simple [introducida en la sección 7.5 de con una advertencia] que, aunque no es estrictamente correcta, ayuda a visualizar este fenómeno.

Es posible imaginar las olas de Langmuir como olas en el mar y las partículas como surfistas tratando de atrapar la ola, todos moviéndose en la misma dirección. Si el surfista se mueve sobre la superficie del agua a una velocidad ligeramente menor que las olas, eventualmente será atrapado y empujado a lo largo de la ola (ganando energía), mientras que un surfista que se mueve un poco más rápido que una ola empujará la ola mientras se mueve. cuesta arriba (perdiendo energía a causa de la ola).

Vale la pena señalar que solo los surfistas juegan un papel importante en las interacciones de esta energía con las olas; una pelota de playa flotando en el agua (velocidad cero) subirá y bajará a medida que pasa la ola, sin ganar energía en absoluto. Además, un barco que se mueve muy rápido (más rápido que las olas) no intercambia mucha energía con la ola.

Una simple descripción mecánica de la dinámica de partículas proporciona una estimación cuantitativa de la sincronización de partículas con la onda [Ecuación (1) de]. Un enfoque más riguroso muestra que la sincronización más fuerte ocurre para partículas con una velocidad en el marco de la onda proporcional a la tasa de amortiguación e independiente de la amplitud de la onda [sección 4.1.3 de]. Dado que el amortiguamiento de Landau ocurre para ondas con amplitudes arbitrariamente pequeñas, esto muestra que las partículas más activas en este amortiguamiento están lejos de quedar atrapadas. Esto es natural, ya que la captura implica escalas de tiempo divergentes para tales ondas (específicamente para una amplitud de onda ). ${\ Displaystyle T _ {\ text {trampa}} \ sim A ^ {- 1/2}}$${\ Displaystyle A}$

Física teórica: teoría de la perturbación en un marco vlasoviano

El tratamiento teórico comienza con la ecuación de Vlasov en el límite de campo magnético cero no relativista, el conjunto de ecuaciones de Vlasov-Poisson. Las soluciones explícitas se obtienen en el límite de un campo pequeño . La función de distribución y el campo se expanden en una serie: , y se recogen términos de igualdad de orden. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f = f_ {0} (v) + f_ {1} (x, v, t) + \ cdots}$${\ Displaystyle E = E_ {1} (x, t) + E_ {2} (x, t) + \ cdots}$

Para ordenar primero las ecuaciones de Vlasov-Poisson, lea

${\ estilo de visualización (\ parcial _ {t} + v \ parcial _ {x}) f_ {1} + {e \ sobre m} E_ {1} f '_ {0} = 0, \ cuádruple \ parcial _ {x } E_ {1} = {e \ over \ epsilon _ {0}} \ int f_ {1} \ mathrm {d} v}$.

Landau calculó la onda causada por una perturbación inicial y encontró, con la ayuda de la transformada de Laplace y la integración del contorno, una onda viajera amortiguada de la forma con número de onda y disminución de amortiguación. ${\ Displaystyle f_ {1} (x, v, 0) = g (v) \ exp (ikx)}$${\ Displaystyle \ exp [ik (x-v _ {\ text {ph}} t) - \ gamma t]}$ ${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ gamma \ approx - {\ pi \ omega _ {p} ^ {3} \ over 2k ^ {2} N} f '_ {0} (v _ {\ text {ph}}), \ quad N = \ int f_ {0} \ mathrm {d} v}$.

Aquí está la frecuencia de oscilación del plasma y la densidad de electrones. Posteriormente Nico van Kampen demostró que se puede obtener el mismo resultado con la transformada de Fourier . Mostró que las ecuaciones de Vlasov-Poisson linealizadas tienen un espectro continuo de modos normales singulares, ahora conocidos como modos de van Kampen.${\ Displaystyle \ omega _ {p}}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {kN}} f '_ {0} {\ frac {\ mathcal {P}} {kv- \ omega}} + \ epsilon \ delta \ left (v - {\ frac {\ omega} {k}} \ right)}$

en el que significa valor principal, es la función delta (ver función generalizada ) y ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ epsilon = 1 + {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {kN}} \ int f '_ {0} {\ frac {\ mathcal {P}} {\ omega -kv }} \ mathrm {d} v}$

es la permitividad plasmática. Descomponiendo la perturbación inicial en estos modos, obtuvo el espectro de Fourier de la onda resultante. La amortiguación se explica por la mezcla de fases de estos modos de Fourier con frecuencias cercanas ligeramente diferentes . ${\ Displaystyle \ omega _ {p}}$

No estaba claro cómo podría ocurrir la amortiguación en un plasma sin colisiones: ¿a dónde va la energía de las olas? En la teoría de fluidos, en la que el plasma se modela como un medio dieléctrico dispersivo, se conoce la energía de las ondas de Langmuir: energía de campo multiplicada por el factor de Brillouin . Pero la amortiguación no se puede derivar en este modelo. Para calcular el intercambio de energía de la onda con electrones resonantes, la teoría del plasma de Vlasov debe ampliarse a un segundo orden y surgen problemas sobre las condiciones iniciales adecuadas y los términos seculares. ${\ Displaystyle \ parcial _ {\ omega} (\ omega \ epsilon)}$

En Ref. se estudian estos problemas. Debido a que los cálculos para una onda infinita son deficientes en segundo orden, se analiza un paquete de ondas . Se encuentran condiciones iniciales de segundo orden que suprimen el comportamiento secular y excitan un paquete de ondas cuya energía concuerda con la teoría de fluidos. La figura muestra la densidad de energía de un paquete de ondas que viaja a la velocidad del grupo , su energía es transportada por electrones que se mueven a la velocidad de fase. Se conserva la energía total, el área bajo las curvas.

Teoría matemática: el problema de Cauchy para soluciones perturbativas

La teoría matemática rigurosa se basa en resolver el problema de Cauchy para la ecuación de evolución (aquí la ecuación diferencial parcial de Vlasov-Poisson) y probar estimaciones de la solución.

En primer lugar, se ha desarrollado una teoría matemática linealizada bastante completa desde Landau.

Ir más allá de la ecuación linealizada y lidiar con la no linealidad ha sido un problema de larga data en la teoría matemática del amortiguamiento de Landau. Anteriormente, un resultado matemático a nivel no lineal era la existencia de una clase de soluciones exponencialmente amortiguadas de la ecuación de Vlasov-Poisson en un círculo que se había probado mediante una técnica de dispersión (este resultado se ha ampliado recientemente en). Sin embargo, estos resultados de existencia no dicen nada sobre qué datos iniciales podrían conducir a soluciones tan amortiguadas.

En un artículo reciente, se resuelve el problema de los datos iniciales y la amortiguación de Landau se establece matemáticamente por primera vez para la ecuación de Vlasov no lineal. Está demostrado que las soluciones que comienzan en alguna vecindad (para la topología analítica o Gevrey) de una solución estacionaria homogénea linealmente estable son (orbitalmente) estables para todos los tiempos y están amortiguadas globalmente en el tiempo. El fenómeno de amortiguación se reinterpreta en términos de transferencia de regularidad en función de y , respectivamente, en lugar de intercambios de energía. Las variaciones a gran escala pasan a variaciones de escala cada vez más pequeña en el espacio de velocidad, correspondientes a un desplazamiento del espectro de Fourier de en función de . Este cambio, bien conocido en la teoría lineal, demuestra ser válido en el caso no lineal. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle v}$

Física teórica: teoría de la perturbación en un marco de N cuerpos

Una expresión de permitividad plasmática análoga a la anterior, pero correspondiente a la transformada de Laplace utilizada por Landau, puede obtenerse simplemente en un marco de N cuerpos. Se considera un plasma (de un componente) donde solo los electrones están presentes como partículas y los iones solo proporcionan un fondo neutralizante uniforme. El principio del cálculo se proporciona considerando el movimiento linealizado ficticio de una sola partícula en una sola componente de Fourier de su propio campo eléctrico. El cálculo completo se reduce a una suma del resultado correspondiente sobre todas las partículas y todos los componentes de Fourier. La expresión de Vlasovian para la permitividad plasmática se recupera finalmente sustituyendo una integral sobre una función de distribución suave para la suma discreta de las partículas en la permitividad del plasma de N-cuerpo. Junto con la amortiguación Landau, este enfoque mecánico también proporciona el cálculo del apantallamiento Debye, o apantallamiento de campo eléctrico , en un plasma. ${\ Displaystyle N}$

Ver también

• Lista de artículos sobre plasma (física)

notas y referencias