Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange - Lagrange's four-square theorem

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , también conocido como la conjetura de Bachet , establece que cada número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados enteros . Es decir, los cuadrados forman una base aditiva de orden cuatro.

donde los cuatro números son enteros. A modo de ilustración, 3, 31 y 310 de varias formas se pueden representar como la suma de cuatro cuadrados de la siguiente manera:

Este teorema fue probado por Joseph Louis Lagrange en 1770. Es un caso especial del teorema de números poligonales de Fermat .

Desarrollo historico

De los ejemplos dados en la Arithmetica , está claro que Diofanto conocía el teorema. Este libro fue traducido en 1621 al latín por Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) , quien enunció el teorema en las notas de su traducción. Pero el teorema no fue probado hasta 1770 por Lagrange.

Adrien-Marie Legendre amplió el teorema en 1797-178 con su teorema de los tres cuadrados , al demostrar que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no tiene la forma de los números enteros k y m . Más tarde, en 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi descubrió una fórmula simple para el número de representaciones de un número entero como la suma de cuatro cuadrados con su propio teorema de cuatro cuadrados .

La fórmula también está vinculada al teorema de Descartes de los cuatro "círculos de besos", que implica la suma de los cuadrados de las curvaturas de cuatro círculos. Esto también está relacionado con las juntas apolíneas , que se relacionaron más recientemente con la conjetura de Ramanujan-Petersson .

Pruebas

La prueba clásica

Existen varias versiones modernas muy similares de la prueba de Lagrange. La siguiente prueba es una versión ligeramente simplificada, en la que los casos en los que m es par o impar no requieren argumentos separados.

La prueba clásica

Es suficiente demostrar el teorema para todo número primo impar p . Esto se sigue inmediatamente de la identidad de cuatro cuadrados de Euler (y del hecho de que el teorema es cierto para los números 1 y 2).

Los residuos de a 2 módulo p son distintos para cada a entre 0 y ( p  - 1) / 2 (inclusive). Para ver esto, tomar un poco de una y definir c como un 2 mod p . una es una raíz del polinomio x 2  -  c sobre el campo Z / p Z . También lo es p  -  a (que es diferente de a ). En un campo K , cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas ( teorema de Lagrange (teoría de números) ), por lo que no hay otro a con esta propiedad, en particular no entre 0 y ( p  - 1) / 2 .

De manera similar, para b tomando valores integrales entre 0 y ( p  - 1) / 2 (inclusive), los - b 2  - 1 son distintos. Por el principio del palomar , hay una y b en este intervalo, para el que un 2 y - b 2  - 1 son congruentes módulo p , que es para lo cual

Ahora sea m el entero positivo más pequeño tal que mp es la suma de cuatro cuadrados, x 1 2  +  x 2 2  +  x 3 2  +  x 4 2 (acabamos de demostrar que hay algo de m (es decir, n ) con esta propiedad , por lo que hay al menos una m , y es menor que p ). Mostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea el caso, probamos la existencia de un entero positivo r menor que m , para el cual rp es también la suma de cuatro cuadrados (esto es en el espíritu del método de descenso infinito de Fermat).

Para este propósito, consideramos para cada x i el y i que está en la misma clase de residuo módulo my entre (- m  + 1) / 2 y m / 2 (posiblemente incluido). De ello se deduce que y 1 2  +  y 2 2  +  y 3 2  +  y 4 2  =  mr , para algún entero estrictamente positivo r menor que  m .

Finalmente, otra apelación a la identidad de cuatro cuadrados de Euler muestra que mpmr  =  z 1 2  +  z 2 2  +  z 3 2  +  z 4 2 . Pero el hecho de que cada x i sea ​​congruente con su correspondiente y i implica que todos los z i son divisibles por m . En efecto,

De ello se deduce que, para w i = z i / m , w 1 2  +  w 2 2  +  w 3 2  +  w 4 2  =  rp , y esto está en contradicción con la minimidad de  m .

En el descenso anterior, debemos descartar tanto el caso y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = m / 2 (lo que daría r = my ningún descenso), como también el caso y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 0 (lo que daría r = 0 en lugar de estrictamente positivo). Para ambos casos, se puede comprobar que mp = x 1 2  +  x 2 2  +  x 3 2  +  x 4 2 sería un múltiplo de m 2 , lo que contradice el hecho de que p es un primo mayor que m .

Prueba usando los enteros de Hurwitz

Otra forma de demostrar el teorema se basa en los cuaterniones de Hurwitz , que son el análogo de los enteros a los cuaterniones .

Prueba usando los enteros de Hurwitz

Los cuaterniones de Hurwitz constan de todos los cuaterniones con componentes enteros y todos los cuaterniones con componentes medio enteros . Estos dos conjuntos se pueden combinar en una sola fórmula

donde son los enteros. Por lo tanto, los componentes del cuaternión son todos enteros o todos los medios enteros, dependiendo de si es par o impar, respectivamente. El conjunto de cuaterniones de Hurwitz forma un anillo ; es decir, la suma o el producto de dos cuaterniones de Hurwitz cualesquiera es igualmente un cuaternión de Hurwitz.

La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión racional es el número racional no negativo

donde es el conjugado de . Tenga en cuenta que la norma de un cuaternión de Hurwitz es siempre un número entero. (Si los coeficientes son medios enteros, entonces sus cuadrados tienen la forma y la suma de cuatro de esos números es un entero).

Dado que la multiplicación de cuaterniones es asociativa y los números reales se conmutan con otros cuaterniones, la norma de un producto de cuaterniones es igual al producto de las normas:

Para cualquier , . Se deduce fácilmente que es una unidad en el anillo de cuaterniones de Hurwitz si y solo si .

La demostración del teorema principal comienza por reducción al caso de números primos. La identidad de los cuatro cuadrados de Euler implica que si el teorema de los cuatro cuadrados de Langrange es válido para dos números, es válido para el producto de los dos números. Dado que cualquier número natural se puede factorizar en potencias de primos, basta con demostrar el teorema de los números primos. Es cierto para . Para mostrar esto para un entero primo impar p , represéntelo como un cuaternión y suponga por ahora (como mostraremos más adelante) que no es un Hurwitz irreducible ; es decir, se puede factorizar en dos cuaterniones de Hurwitz no unitarios

Las normas de son enteros tales que

y . Esto muestra que ambos y son iguales ap (ya que son números enteros), yp es la suma de cuatro cuadrados

Si sucede que el elegido tiene coeficientes de medio entero, puede ser reemplazado por otro cuaternión de Hurwitz. Elija de tal manera que tenga coeficientes enteros pares. Luego

Dado que tiene coeficientes enteros pares, tendrá coeficientes enteros y se puede usar en lugar del original para dar una representación de p como la suma de cuatro cuadrados.

En cuanto a lo que demuestra que p no es un irreducible Hurwitz, Lagrange demostró que ningún primo impar p divide al menos un número de la forma , en donde l y m son números enteros. Esto se puede ver de la siguiente manera: dado que p es primo, puede ser válido para números enteros , solo cuando . Por tanto, el conjunto de cuadrados contiene distintos residuos módulo p . Asimismo, contiene residuos. Dado que solo hay p residuos en total, y , los conjuntos X e Y deben intersecarse.

El número u se puede factorizar en cuaterniones de Hurwitz:

La norma de los cuaterniones de Hurwitz satisface una forma de la propiedad euclidiana : para cualquier cuaternión con coeficientes racionales podemos elegir un cuaternión de Hurwitz, de modo que primero elija para eso y luego para eso para . Entonces obtenemos

De ello se deduce que para cualquier cuaternión de Hurwitz con , existe un cuaternión de Hurwitz tal que

El anillo H de los cuaterniones de Hurwitz no es conmutativo, por lo tanto, no es un dominio euclidiano real y no tiene factorización única en el sentido habitual. Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo ideal correcto es principal . Por tanto, hay un cuaternión de Hurwitz tal que

En particular, para algunos cuaterniones de Hurwitz . Si fuera una unidad, sería un múltiplo de p , sin embargo, esto es imposible ya que no es un cuaternión de Hurwitz . De manera similar, si fuera una unidad, tendríamos

por lo que p divide , lo que nuevamente contradice el hecho de que no es un cuaternión de Hurwitz. Por tanto, p no es Hurwitz irreductible, como se afirma.

Generalizaciones

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y el problema de Waring . Otra posible generalización es el siguiente problema: Dados los números naturales , ¿podemos resolver

para todos los enteros positivos n en enteros ? El caso tiene una respuesta positiva mediante el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. La solución general la dio Ramanujan . Demostró que si asumimos, sin pérdida de generalidad, que entonces hay exactamente 54 opciones posibles para que el problema se pueda resolver en números enteros para todo n . (Ramanujan enumeró una posibilidad número 55 , pero en este caso el problema no tiene solución si ).

Algoritmos

En 1986, Michael O. Rabin y Jeffrey Shallit propusieron algoritmos aleatorios de tiempo polinomial para calcular una sola representación para un entero n dado , en el tiempo de ejecución esperado . Paul Pollack y Enrique Treviño lo mejoraron aún más en 2018.

Numero de representaciones

El número de representaciones de un número natural n como la suma de cuatro cuadrados se denota por r 4 ( n ). El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi establece que esto es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisor ), es decir

De manera equivalente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

También podemos escribir esto como

donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4. En particular, para un número primo p tenemos la fórmula explícita  r 4 ( p ) = 8 ( p  + 1).

Algunos valores de r 4 ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r 4 ( n ) =  r 4 (2 m n ) siempre que n es par. Los valores de r 4 ( n ) / n pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r 4 ( n ) / n es infinitamente a menudo mayor que 8 log n .

Unicidad

La secuencia de números enteros positivos que tienen una sola representación como suma de cuatro cuadrados (hasta el orden) es:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A006431 en la OEIS ).

Estos enteros constan de los siete números impares 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 y todos los números de la forma o .

La secuencia de números enteros positivos que no se puede representar como una suma de cuatro cuadrados distintos de cero es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A000534 en la OEIS ).

Estos enteros constan de los ocho números impares 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 y todos los números de la forma o .

Más refinamientos

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede refinar de varias formas. Por ejemplo, Zhi-Wei Sun demostró que cada número natural se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados con algunos requisitos sobre la elección de estos cuatro números.

Uno también puede preguntarse si es necesario usar todo el conjunto de números enteros cuadrados para escribir cada natural como la suma de cuatro cuadrados. Wirsing demostró que existe un conjunto de cuadrados de S con tal que cada número entero positivo más pequeño que o igual n puede ser escrita como una suma de a lo sumo 4 elementos de S .

Ver también

Notas

Referencias

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enlaces externos