Congruencia de Kummer - Kummer's congruence

En matemáticas , las congruencias de Kummer son algunas congruencias que involucran números de Bernoulli , encontradas por Ernst Eduard Kummer  ( 1851 ).

Kubota y Leopoldt (1964) utilizaron las congruencias de Kummer para definir la función zeta p-ádica .

Declaración

La forma más simple de congruencia de Kummer establece que

${\ Displaystyle {\ frac {B_ {h}} {h}} \ equiv {\ frac {B_ {k}} {k}} {\ pmod {p}} {\ text {siempre que}} h \ equiv k { \ pmod {p-1}}}$

donde p es un primo, h y k son números enteros pares positivos no divisibles por p −1 y los números B _h son números de Bernoulli .

De manera más general, si h y k son números enteros pares positivos no divisibles por p  - 1, entonces

${\ Displaystyle (1-p ^ {h-1}) {\ frac {B_ {h}} {h}} \ equiv (1-p ^ {k-1}) {\ frac {B_ {k}} { k}} {\ pmod {p ^ {a + 1}}}}$

cuando

${\ Displaystyle h \ equiv k {\ pmod {\ varphi (p ^ {a + 1})}}}$

donde φ ( p ^{a +1} ) es la función totient de Euler , evaluada en p ^{a +1} y a es un número entero no negativo. En a = 0, la expresión toma la forma más simple, como se ve arriba. Los dos lados de la congruencia de Kummer son esencialmente valores de la función zeta p-ádica , y las congruencias de Kummer implican que la función zeta p -ádica para enteros negativos es continua, por lo que puede extenderse por continuidad a todos los enteros p -ádicos.

Ver también

• Teorema de Von Staudt-Clausen , otra congruencia que involucra números de Bernoulli

Referencias

• Koblitz, Neal (1984),p Números -adic, p Análisis -adic, y Zeta-Funciones , Graduate Textos en Matemáticas , vol. 58, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, MR  0754003
• Kubota, Tomio ; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328–339, doi : 10.1515 /crll.1964.214-215.328 , ISSN  0075-4102 , MR  0163900
• Kummer, Ernst Eduard (1851), "Über Eine Allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 41 : 368-372, doi : 10.1515 / crll.1851.41.368 , ISSN  0075- 4102 , ERAM  041.1136cj