Condiciones de interfaz para campos electromagnéticos - Interface conditions for electromagnetic fields

Las condiciones de la interfaz describen el comportamiento de los campos electromagnéticos ; campo eléctrico , campo de desplazamiento eléctrico y campo magnético en la interfaz de dos materiales. Las formas diferenciales de estas ecuaciones requieren que siempre haya una vecindad abierta alrededor del punto al que se aplican, de lo contrario, los campos vectoriales y H no son diferenciables . En otras palabras, el medio debe ser continuo. En la interfaz de dos medios diferentes con diferentes valores de permitividad eléctrica y permeabilidad magnética , esa condición no se aplica.

Sin embargo, las condiciones de la interfaz para los vectores de campo electromagnético se pueden derivar de las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell.

Condiciones de interfaz para vectores de campo eléctrico

Intensidad del campo eléctrico

${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}}$

donde: es el vector normal del medio 1 al medio 2.
${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$

Por lo tanto, la componente tangencial de E es continua a través de la interfaz.

Esquema de la prueba de la ley de Faraday

Comenzamos con la forma integral de la ley de Faraday: ${\ Displaystyle \ unción _ {\ parcial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = - \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ parcial \ mathbf {B}} { \ parcial t}} \ cdot d \ mathbf {A}}$ Elija como un pequeño cuadrado en la interfaz. Luego, haga que los lados perpendiculares a la interfaz se contraigan a una longitud infinitesimal. El área de integración ahora parece una línea, que tiene área cero. En otras palabras:${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ lim _ {longitud de línea \ to 0} \ mathbf {A} = 0}$ Dado que permanece finito en este límite, todo el lado derecho va a cero. Todo lo que queda es:${\ estilo de visualización \ parcial \ mathbf {B} / \ parcial t}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ parcial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0}$ Dos de nuestros lados son infinitesimalmente pequeños, dejando solo ${\ Displaystyle \ int _ {medium1} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} + \ int _ {medium2} \ mathbf {E} \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} = 0 }$ Suponiendo que hicimos nuestro cuadrado lo suficientemente pequeño como para que E sea aproximadamente constante, su magnitud puede extraerse de la integral. Como los lados restantes de nuestro bucle original, en cada región corren en direcciones opuestas, por lo que definimos uno de ellos como el vector unitario tangente y el otro como${\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ ell}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {t}}}$${\ displaystyle - {\ boldsymbol {t}}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {E} _ {2} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l - (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {t}}) l = \ mathbf { 0}}$ Después de dividir por ly reorganizar, ${\ Displaystyle (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) \ cdot {\ boldsymbol {t}} = \ mathbf {0}}$ Este argumento funciona para cualquier dirección tangencial. La diferencia en el campo eléctrico punteado en cualquier vector tangencial es cero, lo que significa que solo los componentes de paralelo al vector normal pueden cambiar entre medios. Por tanto, la diferencia en el vector de campo eléctrico es paralela al vector normal. Dos vectores paralelos siempre tienen un producto cruzado de cero. ${\ Displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1}) = \ mathbf {0}}$

Campo de desplazamiento eléctrico

${\ Displaystyle (\ mathbf {D} _ {2} - \ mathbf {D} _ {1}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = \ sigma _ {s}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$es el vector normal unitario del medio 1 al medio 2. es la densidad de carga superficial entre los medios (solo cargas ilimitadas, que no provienen de la polarización de los materiales).
${\ Displaystyle \ sigma _ {s}}$

Esto se puede deducir utilizando la ley de Gauss y un razonamiento similar al anterior.

Por lo tanto, el componente normal de D tiene un paso de carga superficial en la superficie de la interfaz. Si no hay carga superficial en la interfaz, el componente normal de D es continuo.

Condiciones de interfaz para vectores de campo magnético

Para densidad de flujo magnético

${\ Displaystyle (\ mathbf {B} _ {2} - \ mathbf {B} _ {1}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12} = 0}$

donde: es el vector normal del medio 1 al medio 2.
${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$

Por lo tanto, el componente normal de B es continuo en la interfaz (el mismo en ambos medios). (Las componentes tangenciales son n la relación de las permeabilidades)

Para la fuerza del campo magnético

${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12} \ times (\ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {H} _ {1}) = \ mathbf {j} _ {s}}$

donde: es el vector normal unitario del medio 1 al medio 2. es la densidad de corriente superficial entre los dos medios (solo corriente ilimitada, que no proviene de la polarización de los materiales).
${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {12}}$
${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {s}}$

Por lo tanto, el componente tangencial de H es continuo a través de la interfaz si no hay presente corriente superficial. Los componentes normales de H en los dos medios están en la relación de las permeabilidades.

Discusión según los medios al lado de la interfaz.

Si los medios 1 y 2 son dieléctricos perfectos

No hay cargas ni corrientes superficiales en la interfaz, por lo que la componente tangencial de H y la componente normal de D son ambas continuas.

Si el medio 1 es un dieléctrico perfecto y el medio 2 es un metal perfecto

Hay cargas y corrientes superficiales en la interfaz, por lo que la componente tangencial de H y la componente normal de D no son continuas.

Condiciones de borde

Las condiciones de contorno no deben confundirse con las condiciones de la interfaz. Para cálculos numéricos, el espacio donde se logra el cálculo del campo electromagnético debe restringirse a algunos límites. Esto se hace asumiendo condiciones en los límites que son físicamente correctas y que pueden resolverse numéricamente en un tiempo finito. En algunos casos, las condiciones de contorno se reanudan a una condición de interfaz simple. El ejemplo más habitual y simple es un límite completamente reflectante (pared eléctrica): el medio exterior se considera un conductor perfecto. En algunos casos, es más complicado: por ejemplo, los límites sin reflexión (es decir, abiertos) se simulan como una capa perfectamente adaptada o una pared magnética que no se reanuda en una sola interfaz.

Ver también

• Ecuaciones de Maxwell

Referencias