Integración a lo largo de fibras - Integration along fibers

En geometría diferencial , la integración a lo largo de las fibras de un k -form produce un -form donde m es la dimensión de la fibra, a través de la "integración". ${\ Displaystyle (km)}$

Definición

Sea un haz de fibras sobre un colector con fibras orientadas compactas. Si es una forma k en E , entonces para los vectores tangentes w _i en b , sea ${\ Displaystyle \ pi: E \ to B}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle (\ pi _ {*} \ alpha) _ {b} (w_ {1}, \ dots, w_ {km}) = \ int _ {\ pi ^ {- 1} (b)} \ beta}$

dónde está la forma superior inducida en la fibra ; es decir, una forma dada por: con elevaciones de a E , ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (b)}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle {\ widetilde {w_ {i}}}}$${\ Displaystyle w_ {i}}$

${\ Displaystyle \ beta (v_ {1}, \ dots, v_ {m}) = \ alpha (v_ {1}, \ dots, v_ {m}, {\ widetilde {w_ {1}}}, \ dots, {\ widetilde {w_ {km}}}).}$

(Para ver es suave, resuélvalo en coordenadas; vea un ejemplo a continuación). ${\ Displaystyle b \ mapsto (\ pi _ {*} \ alpha) _ {b}}$

Entonces es un mapa lineal . Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir ), el mapa desciende a la cohomología de Rham : ${\ Displaystyle \ pi _ {*}}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {k} (E) \ a \ Omega ^ {km} (B)}$${\ Displaystyle [d, \ int] = 0}$

${\ Displaystyle \ pi _ {*}: \ operatorname {H} ^ {k} (E; \ mathbb {R}) \ to \ operatorname {H} ^ {km} (B; \ mathbb {R}).}$

Esto también se llama integración de fibra.

Ahora, supongamos que es un paquete de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Luego hay una secuencia exacta , K el núcleo, que conduce a una secuencia larga y exacta, eliminando el coeficiente y usando : ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle 0 \ to K \ to \ Omega ^ {*} (E) {\ overset {\ pi _ {*}} {\ to}} \ Omega ^ {*} (B) \ to 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {k} (B) \ simeq \ operatorname {H} ^ {k + m} (K)}$

${\ Displaystyle \ cdots \ rightarrow \ operatorname {H} ^ {k} (B) {\ overset {\ delta} {\ to}} \ operatorname {H} ^ {k + m + 1} (B) {\ overset {\ pi ^ {*}} {\ rightarrow}} \ operatorname {H} ^ {k + m + 1} (E) {\ overset {\ pi _ {*}} {\ rightarrow}} \ operatorname {H} ^ {k + 1} (B) \ flecha derecha \ cdots}$,

llamada secuencia de Gysin .

Ejemplo

Sea una proyección obvia. Primero asuma con coordenadas y considere una forma k : ${\ Displaystyle \ pi: M \ times [0,1] \ to M}$${\ Displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x_ {j}}$

${\ Displaystyle \ alpha = f \, dx_ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx_ {i_ {k}} + g \, dt \ wedge dx_ {j_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx_ {j_ {k-1}}.}$

Entonces, en cada punto de M ,

${\ Displaystyle \ pi _ {*} (\ alpha) = \ pi _ {*} (g \, dt \ wedge dx_ {j_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx_ {j_ {k-1}}) = \ left (\ int _ {0} ^ {1} g (\ cdot, t) \, dt \ right) \, {dx_ {j_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx_ {j_ {k-1 }}}.}$

De este cálculo local, la siguiente fórmula se sigue fácilmente: si hay alguna forma k en${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle M \ times I,}$

${\ Displaystyle \ pi _ {*} (d \ alpha) = \ alpha _ {1} - \ alpha _ {0} -d \ pi _ {*} (\ alpha)}$

donde es la restricción de a . ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle M \ times \ {i \}}$

Como aplicación de esta fórmula, sea ​​un mapa suave (pensado como una homotopía). Entonces la composición es un operador de homotopía : ${\ Displaystyle f: M \ times [0,1] \ to N}$${\ Displaystyle h = \ pi _ {*} \ circ f ^ {*}}$

${\ Displaystyle d \ circ h + h \ circ d = f_ {1} ^ {*} - f_ {0} ^ {*}: \ Omega ^ {k} (N) \ to \ Omega ^ {k} (M ),}$

lo que implica induce el mismo mapa en cohomología, el hecho conocido como invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham. Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R ⁿ con centro en el origen y sea . Luego , el hecho conocido como el lema de Poincaré . ${\ Displaystyle f_ {1}, f_ {0}}$${\ Displaystyle f_ {t}: U \ a U, x \ mapsto tx}$${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {k} (U; \ mathbb {R}) = \ operatorname {H} ^ {k} (pt; \ mathbb {R})}$

Fórmula de proyección

Dado un vector haz π  : E → B sobre un colector, que decir una forma diferencial α en E tiene soporte vertical-compacto si la restricción tiene soporte compacto para cada b en B . Escribimos para el espacio vectorial de formas diferenciales en E con soporte vertical compacto. Si E está orientado como un paquete vectorial, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra: ${\ Displaystyle \ alpha | _ {\ pi ^ {- 1} (b)}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {*}: \ Omega _ {vc} ^ {*} (E) \ to \ Omega ^ {*} (B).}$

Lo siguiente se conoce como fórmula de proyección. Hacemos un módulo correcto configurando . ${\ Displaystyle \ Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {*} (B)}$${\ Displaystyle \ alpha \ cdot \ beta = \ alpha \ wedge \ pi ^ {*} \ beta}$

Prueba: 1. Dado que la afirmación es local, podemos asumir que π es trivial: es decir, es una proyección. Sean las coordenadas de la fibra. Si , entonces, dado que es un homomorfismo de anillo, ${\ Displaystyle \ pi: E = B \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to B}$${\ Displaystyle t_ {j}}$${\ Displaystyle \ alpha = g \, dt_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dt_ {n} \ wedge \ pi ^ {*} \ eta}$${\ Displaystyle \ pi ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {*} (\ alpha \ wedge \ pi ^ {*} \ beta) = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ cdot, t_ {1} , \ dots, t_ {n}) dt_ {1} \ dots dt_ {n} \ right) \ eta \ wedge \ beta = \ pi _ {*} (\ alpha) \ wedge \ beta.}$

De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La prueba de 2. es similar.${\ Displaystyle \ cuadrado}$

Ver también

• Mapa de transgresión

Notas

Referencias

• Michele Audin , Acciones de Torus sobre variedades simplécticas, Birkhauser, 2004
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4