Crecimiento hiperbólico - Hyperbolic growth

La función recíproca , exhibiendo un crecimiento hiperbólico.

Cuando una cantidad crece hacia una singularidad bajo una variación finita (una " singularidad de tiempo finito ") se dice que experimenta un crecimiento hiperbólico . Más precisamente, la función recíproca tiene una hipérbola como un gráfico, y tiene una singularidad en 0, lo que significa que el límite como es infinito: cualquier gráfico similar se dice que exhiben crecimiento hiperbólico. ${\ Displaystyle 1 / x}$ ${\ Displaystyle x \ to 0}$

Descripción

Si la salida de una función es inversamente proporcional a su entrada, o inversamente proporcional a la diferencia de un valor dado , la función exhibirá un crecimiento hiperbólico, con una singularidad en . ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$

En el mundo real, el crecimiento hiperbólico se crea mediante ciertos mecanismos de retroalimentación positiva no lineal .

Comparaciones con otros crecimientos

Al igual que el crecimiento exponencial y el crecimiento logístico , el crecimiento hiperbólico es muy no lineal , pero difiere en aspectos importantes. Estas funciones pueden confundirse, ya que el crecimiento exponencial, el crecimiento hiperbólico y la primera mitad del crecimiento logístico son funciones convexas ; sin embargo, su comportamiento asintótico (comportamiento a medida que aumenta la entrada) difiere dramáticamente:

el crecimiento logístico está restringido (tiene un límite finito, incluso cuando el tiempo llega al infinito),
el crecimiento exponencial crece hasta el infinito a medida que el tiempo llega al infinito (pero siempre es finito durante un tiempo finito),
El crecimiento hiperbólico tiene una singularidad en un tiempo finito (crece hasta el infinito en un tiempo finito).

Aplicaciones

Población

Ciertos modelos matemáticos sugieren que hasta principios de la década de 1970 la población mundial experimentó un crecimiento hiperbólico (ver, por ejemplo, Introducción a la macrodinámica social de Andrey Korotayev et al. ). También se demostró que hasta la década de 1970 el crecimiento hiperbólico de la población mundial estuvo acompañado por un crecimiento cuadrático-hiperbólico del PIB mundial , y se desarrollaron varios modelos matemáticos que describen tanto este fenómeno como la retirada del Sistema Mundial del régimen explosivo. observado en las últimas décadas. El crecimiento hiperbólico de la población mundial y el crecimiento cuadrático-hiperbólico del PIB mundial observado hasta la década de 1970 han sido correlacionados por Andrey Korotayev y sus colegas con una retroalimentación positiva de segundo orden no lineal entre el crecimiento demográfico y el desarrollo tecnológico, descrito por una cadena de causalidad: el crecimiento tecnológico conduce a una mayor capacidad de carga de la tierra para las personas, lo que conduce a más personas, lo que conduce a más inventores, lo que a su vez conduce a un mayor crecimiento tecnológico, y así sucesivamente. También se ha demostrado que los modelos hiperbólicos de este tipo pueden usarse para describir de una manera bastante precisa el crecimiento general de la complejidad planetaria de la Tierra desde 4 mil millones aC hasta el presente. Otros modelos sugieren crecimiento exponencial , crecimiento logístico u otras funciones.

Teoría de colas

Otro ejemplo de crecimiento hiperbólico se puede encontrar en la teoría de las colas : el tiempo medio de espera de los clientes que llegan aleatoriamente crece de forma hiperbólica en función de la tasa de carga media del servidor. La singularidad en este caso ocurre cuando la cantidad promedio de trabajo que llega al servidor es igual a la capacidad de procesamiento del servidor. Si las necesidades de procesamiento exceden la capacidad del servidor, entonces no hay un tiempo de espera promedio bien definido, ya que la cola puede crecer sin límites. Una implicación práctica de este ejemplo particular es que para los sistemas de colas muy cargados, el tiempo de espera promedio puede ser extremadamente sensible a la capacidad de procesamiento.

La cinética de enzimas

Otro ejemplo práctico de crecimiento hiperbólico se puede encontrar en la cinética enzimática . Cuando se representa la velocidad de reacción (denominada velocidad) entre una enzima y un sustrato frente a diversas concentraciones del sustrato, se obtiene una gráfica hiperbólica para muchos sistemas más simples. Cuando esto sucede, se dice que la enzima sigue la cinética de Michaelis-Menten .

Ejemplo matemático

La función

{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {1} {t_ {c} -t}}}

exhibe un crecimiento hiperbólico con una singularidad en el tiempo : en el límite como , la función va al infinito. ${\ Displaystyle t_ {c}}$ ${\ Displaystyle t \ to t_ {c}}$

De manera más general, la función

{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {K} {t_ {c} -t}}}

exhibe un crecimiento hiperbólico, donde es un factor de escala . ${\ Displaystyle K}$

Tenga en cuenta que esta función algebraica se puede considerar como una solución analítica para el diferencial de la función:

{\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}} = {\ frac {x ^ {2}} {K}} }

Esto significa que con crecimiento hiperbólico la tasa de crecimiento absoluto de la variable $x$ en el momento $t$ es proporcional al cuadrado del valor de $x$ en el momento $t$ .

Respectivamente, la función cuadrática-hiperbólica se ve de la siguiente manera:

{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}}.}

Ver también

Notas

Referencias

Alexander V. Markov y Andrey V. Korotayev (2007). "La biodiversidad marina fanerozoica sigue una tendencia hiperbólica". Palaeoworld . Volumen 16. Número 4. Páginas 311-318].
Kremer, Michael . 1993. "Crecimiento de la población y cambio tecnológico: un millón antes de Cristo hasta 1990", The Quarterly Journal of Economics 108 (3): 681-716.
Korotayev A. , Malkov A., Khaltourina D. 2006. Introducción a la macrodinámica social: macromodelos compactos del crecimiento del sistema mundial. Moscú: URSS. ISBN 5-484-00414-4 .
Rein Taagepera (1979) Personas, habilidades y recursos: un modelo de interacción para el crecimiento de la población mundial. Pronóstico tecnológico y cambio social 13, 13-30.

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