Diferencial armónico - Harmonic differential

En matemáticas, un verdadero diferencial de una forma ω sobre una superficie se denomina diferencial armónica si ω y su única forma conjugada, escrito como ω * , son a la vez cerrado .

Explicación

Considere el caso de las formas unitarias reales definidas en una variedad real bidimensional . Además, considere las formas únicas reales que son las partes reales de diferenciales complejos . Vamos ω = A  d x + B  d y , y definir formalmente el conjugado de una sola forma de ser ω * = A  d y - B  d x .

Motivación

Existe una clara conexión con el análisis complejo . Vamos a escribir un número complejo z en términos de sus reales e imaginarios partes, dicen que x e y , respectivamente, es decir z = x + iy . Dado que ω + = ( A - iB ) (d x + i  d y ) , desde el punto de vista del análisis complejo , el cociente ( ω + ) / d z tiende a un límite cuando d z tiende a 0 En otras palabras, la definición de ω fue elegida por su conexión con el concepto de derivada ( analiticidad ). Otra conexión con la unidad compleja es que ( ω ) = - ω (al igual que i 2 = −1 ).

Para una función f dada , escribamos ω = d f , es decir, ω =f/x d x +f/y d y , donde ∂ denota la derivada parcial . Entonces (d f ) =f/x d y -f/y d x . Ahora d ((d f ) ) no siempre es cero, de hecho d ((d f ) ) = Δ f  d x  d y , donde Δ f =2 f/x 2 + 2 f/y 2.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Como hemos visto anteriormente: llamamos armónico a una forma ω si tanto ω como ω están cerrados. Esto significa queA/y = B/x( ω está cerrado) yB/y = -A/x( ω está cerrado). Éstas se denominan ecuaciones de Cauchy-Riemann en A - iB . Por lo general, se expresan en términos de u ( x , y ) + iv ( x , y ) comou/x = v/y y v/x = -u/y.

Resultados notables

  • Un diferencial armónico (una forma) es precisamente la parte real de un diferencial complejo (analítico). Para demostrar esto, se muestra que u + iv satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann exactamente cuando u + iv es localmente una función analítica de x + iy . Por supuesto, una función analítica w ( z ) = u + iv es la derivada local de algo (es decir, ∫ w ( z ) d z ).
  • Los diferenciales armónicos ω son (localmente) precisamente los diferenciales d f de las soluciones f de la ecuación de Laplace Δ f = 0 .
  • Si ω es un diferencial armónico, también lo es ω .

Ver también

Referencias