Diferencial armónico - Harmonic differential
En matemáticas, un verdadero diferencial de una forma ω sobre una superficie se denomina diferencial armónica si ω y su única forma conjugada, escrito como ω * , son a la vez cerrado .
Explicación
Considere el caso de las formas unitarias reales definidas en una variedad real bidimensional . Además, considere las formas únicas reales que son las partes reales de diferenciales complejos . Vamos ω = A d x + B d y , y definir formalmente el conjugado de una sola forma de ser ω * = A d y - B d x .
Motivación
Existe una clara conexión con el análisis complejo . Vamos a escribir un número complejo z en términos de sus reales e imaginarios partes, dicen que x e y , respectivamente, es decir z = x + iy . Dado que ω + iω ∗ = ( A - iB ) (d x + i d y ) , desde el punto de vista del análisis complejo , el cociente ( ω + iω ∗ ) / d z tiende a un límite cuando d z tiende a 0 En otras palabras, la definición de ω ∗ fue elegida por su conexión con el concepto de derivada ( analiticidad ). Otra conexión con la unidad compleja es que ( ω ∗ ) ∗ = - ω (al igual que i 2 = −1 ).
Para una función f dada , escribamos ω = d f , es decir, ω =∂ f/∂ x d x +∂ f/∂ y d y , donde ∂ denota la derivada parcial . Entonces (d f ) ∗ =∂ f/∂ x d y -∂ f/∂ y d x . Ahora d ((d f ) ∗ ) no siempre es cero, de hecho d ((d f ) ∗ ) = Δ f d x d y , donde Δ f =∂ 2 f/∂ x 2 + ∂ 2 f/∂ y 2.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Como hemos visto anteriormente: llamamos armónico a una forma ω si tanto ω como ω ∗ están cerrados. Esto significa que∂ A/∂ y = ∂ B/∂ x( ω está cerrado) y∂ B/∂ y = -∂ A/∂ x( ω ∗ está cerrado). Éstas se denominan ecuaciones de Cauchy-Riemann en A - iB . Por lo general, se expresan en términos de u ( x , y ) + iv ( x , y ) como∂ u/∂ x = ∂ v/∂ y y ∂ v/∂ x = -∂ u/∂ y.
Resultados notables
- Un diferencial armónico (una forma) es precisamente la parte real de un diferencial complejo (analítico). Para demostrar esto, se muestra que u + iv satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann exactamente cuando u + iv es localmente una función analítica de x + iy . Por supuesto, una función analítica w ( z ) = u + iv es la derivada local de algo (es decir, ∫ w ( z ) d z ).
- Los diferenciales armónicos ω son (localmente) precisamente los diferenciales d f de las soluciones f de la ecuación de Laplace Δ f = 0 .
- Si ω es un diferencial armónico, también lo es ω ∗ .