El esquema de Godunov - Godunov's scheme

En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el esquema de Godunov es un esquema numérico conservador , sugerido por SK Godunov en 1959, para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Se puede pensar en este método como un método conservador de volumen finito que resuelve problemas de Riemann exactos o aproximados en cada límite entre celdas. En su forma básica, el método de Godunov es preciso de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo, pero puede utilizarse como esquema básico para desarrollar métodos de orden superior.

Esquema básico

Siguiendo el marco del método clásico de volumen finito , buscamos rastrear un conjunto finito de incógnitas discretas,

${\ Displaystyle Q_ {i} ^ {n} = {\ frac {1} {\ Delta x}} \ int _ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} q ( t ^ {n}, x) \, dx}$

donde y forman un conjunto discreto de puntos para el problema hiperbólico: ${\ Displaystyle x_ {i-1/2} = x _ {\ text {low}} + \ left (i-1/2 \ right) \ Delta x}$${\ Displaystyle t ^ {n} = n \ Delta t}$

${\ Displaystyle q_ {t} + (f (q)) _ {x} = 0,}$

donde los índices e indican las derivaciones en el tiempo y el espacio, respectivamente. Si integramos el problema hiperbólico sobre un volumen de control obtenemos una formulación del Método de líneas (MOL) para los promedios espaciales de las celdas: ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle [x_ {i-1/2}, x_ {i + 1/2}],}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} Q_ {i} (t) = - {\ frac {1} {\ Delta x}} \ left (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) \ derecha),}$

que es una descripción clásica del método de volumen finito ascendente de primer orden. (cf Leveque - Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos)

La integración en el tiempo exacto de la fórmula anterior de vez en cuando produce la fórmula de actualización exacta: ${\ Displaystyle t = t ^ {n}}$${\ Displaystyle t = t ^ {n + 1}}$

${\ Displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {\ Delta x}} \ int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ { n + 1}} \ izquierda (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) \ derecha) \, dt.}$

El método de Godunov reemplaza la integral de tiempo de cada

${\ Displaystyle \ int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ {n + 1}} f (q (t, x_ {i-1/2})) \, dt}$

con un método Forward Euler que produce una fórmula de actualización completamente discreta para cada una de las incógnitas . Es decir, aproximamos las integrales con ${\ Displaystyle Q_ {i} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ {n + 1}} f (q (t, x_ {i-1/2})) \, dt \ approx \ Delta tf ^ {\ flecha abajo} \ izquierda (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} \ derecha),}$

donde es una aproximación a la solución exacta del problema de Riemann. Por coherencia, se supone que ${\ displaystyle f ^ {\ downarrow} \ left (q_ {l}, q_ {r} \ right)}$

${\ Displaystyle f ^ {\ downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l}) \ quad {\ text {if}} \ quad q_ {l} = q_ {r},}$

y eso aumenta en el primer argumento y disminuye en el segundo argumento. Para problemas escalares donde , se puede usar el esquema Upwind simple , que define . ${\ displaystyle f ^ {\ flecha hacia abajo}}$${\ Displaystyle f '(q)> 0}$${\ Displaystyle f ^ {\ downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l})}$

El esquema completo de Godunov requiere la definición de un solucionador de Riemann aproximado o exacto , pero en su forma más básica, viene dado por:

${\ Displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - \ lambda \ left ({\ hat {f}} _ {i + 1/2} ^ {n} - {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} \ right), \ quad \ lambda = {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}}, \ quad {\ hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = f ^ {\ flecha abajo} \ izquierda (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} \ derecha)}$

Problema lineal

En el caso de un problema lineal, donde , y sin pérdida de generalidad, asumiremos que , el método de Godunov ascendente produce: ${\ Displaystyle f (q) = aq}$${\ Displaystyle a> 0}$

${\ Displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - \ nu \ left (Q_ {i} ^ {n} -Q_ {i-1} ^ {n} \ right) , \ quad \ nu = a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}},}$

que produce el esquema clásico de volumen finito ascendente de primer orden cuya estabilidad requiere . ${\ Displaystyle \ nu = \ left | a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ right | \ leq 1}$

Algoritmo de tres pasos

Siguiendo a Hirsch , el esquema implica tres pasos distintos para obtener la solución a partir de la solución conocida en , como sigue: ${\ Displaystyle t = (n + 1) \ Delta t \,}$${\ Displaystyle {t = n \ Delta t} \,}$

Paso 1 Defina la aproximación constante por partes de la solución en. Dado que la aproximación constante por partes es un promedio de la solución sobre el tamaño de la celda, el error espacial es de ordeny, por lo tanto, el esquema resultante tendrá una precisión de primer orden en el espacio. Tenga en cuenta que esta aproximación corresponde a unarepresentación del método de volumen finito en la que los valores discretos representan promedios de las variables de estado en las celdas. Se pueden obtener relaciones exactas para los valores de celda promediados a partir de las leyes de conservación integral. ${\ Displaystyle {t = (n + 1) \ Delta t} \,}$${\ Displaystyle {\ Delta x} \,}$${\ Displaystyle {\ Delta x} \,}$

Paso 2 Obtenga la solución para el problema local de Riemann en las interfaces de la celda. Este es el único paso físico de todo el procedimiento. Las discontinuidades en las interfaces se resuelven en una superposición de ondas que satisfacen localmente las ecuaciones de conservación. El método Godunov original se basa en la solución exacta de los problemas de Riemann. Sin embargo, se pueden aplicar soluciones aproximadas como alternativa.

Paso 3 Promedio de las variables de estado después de un intervalo de tiempo. Las variables de estado obtenidas después del Paso 2 se promedian en cada celda definiendo una nueva aproximación constante por partes resultante de la propagación de la onda durante el intervalo de tiempo. Para ser coherente, el intervalo de tiempodebe limitarse de modo que las ondas que emanan de una interfaz no interactúen con las ondas creadas en las interfaces adyacentes. De lo contrario, la situación dentro de una celda se vería influenciada por la interacción de los problemas de Riemann. Esto conduce a lacondición CFL dondees la máxima velocidad de onda obtenida de los valores propios de la celda de la matriz jacobiana local. ${\ Displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ Displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ Displaystyle {\ Delta t} \,}$${\ Displaystyle | a _ {\ max} | \ Delta t <\ Delta x / 2 \,}$${\ Displaystyle | a _ {\ max} | \,}$

El primer y tercer paso son únicamente de naturaleza numérica y pueden considerarse como una etapa de proyección , independiente del segundo paso físico, la etapa de evolución . Por lo tanto, pueden modificarse sin influir en la entrada física, por ejemplo, reemplazando la aproximación constante por partes por una variación lineal por partes dentro de cada celda, lo que lleva a la definición de esquemas de precisión espacial de segundo orden, como el esquema MUSCL .

Ver también

• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Método Lax-Friedrichs
• Esquema MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Disminución de la variación total
• Teorema de Lax-Wendroff
• AUSM

Referencias

• Godunov, SK (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [Un esquema de diferencias para la solución numérica de ecuaciones discontinuas]. Estera. Sbornik . 47 : 271-306. Señor  0119433 . Zbl  0171.46204 .Publicación conjunta de EE. UU. Traducida. Res. Servicio, JPRS 7226, 1969.
• Hirsch, C. (1990). Cálculo numérico de flujos internos y externos . vol 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0. |volume=tiene texto extra ( ayuda )
• Leveque, Randy J. (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-81087-6.

Otras lecturas

• Laney, Culbert B. (1998). Gasdinámica computacional . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-57069-7.
• Toro, EF (1999). Solvers de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Tannehill, John C .; et al. (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2ª ed.). Washington: Taylor y Francis. ISBN 1-56032-046-X.
• Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.