Conjetura de geometrización - Geometrization conjecture

Teorema de geometrización

Campo	Topología geométrica
Conjeturado por	William Thurston
Conjeturado en	mil novecientos ochenta y dos
Primera prueba por	Grigori Perelman
Primera prueba en	2006
Consecuencias	Conjetura de Poincaré conjetura de eliptización de Thurston

En matemáticas, la conjetura de geometrización de Thurston establece que cada uno de ciertos espacios topológicos tridimensionales tiene una estructura geométrica única que puede asociarse con él. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conectada se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a un espacio topológico completo. En cambio, la conjetura de la geometrización establece que cada 3-múltiple cerrado se puede descomponer de manera canónica en piezas que tienen cada una uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston  ( 1982 ), e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .

El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una prueba en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias pruebas completas.

Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de geometrización completa en 2003 utilizando el flujo de Ricci con cirugía . Ahora hay varios manuscritos diferentes (ver más abajo) con detalles de la prueba. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de la geometrización, aunque hay pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de la geometrización.

La conjetura

Un 3-múltiple se llama cerrado si es compacto y no tiene límite .

Cada colector 3 cerrado tiene una descomposición prima : esto significa que es la suma conectada de los colectores 3 primos (esta descomposición es esencialmente única excepto por un pequeño problema en el caso de los colectores no orientables ). Esto reduce gran parte del estudio de las variedades 3 al caso de las variedades 3 principales: aquellas que no pueden escribirse como una suma conectada no trivial.

Aquí hay una declaración de la conjetura de Thurston:

Cada colector 3 cerrado primario orientado se puede cortar a lo largo de toros , de modo que el interior de cada uno de los colectores resultantes tenga una estructura geométrica con volumen finito.

Hay 8 posibles estructuras geométricas en 3 dimensiones, que se describen en la siguiente sección. Hay una forma mínima única de cortar un 3-múltiple orientado irreductible a lo largo de toros en piezas que son variedades Seifert o atoroidal llamada descomposición JSJ , que no es exactamente la misma que la descomposición en la conjetura de geometrización, porque algunas de las piezas en el Es posible que la descomposición JSJ no tenga estructuras geométricas de volumen finito. (Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura solv de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene estructura geométrica de volumen finito.)

Para variedades no orientadas, la forma más fácil de formular una conjetura de geometrización es tomar primero la doble cobertura orientada . También es posible trabajar directamente con colectores no orientables, pero esto presenta algunas complicaciones adicionales: puede ser necesario cortar a lo largo de planos proyectivos y botellas de Klein , así como esferas y toros, y los colectores con un componente límite de plano proyectivo generalmente no tienen estructura geométrica.

En 2 dimensiones, el enunciado análogo dice que toda superficie (sin límite) tiene una estructura geométrica que consiste en una métrica con curvatura constante; no es necesario cortar primero el colector.

Las ocho geometrías de Thurston

La geometría de un modelo es un colector X liso simplemente conectado junto con una acción transitiva de un grupo de Lie G sobre X con estabilizadores compactos.

La geometría de un modelo se llama máxima si G es máxima entre los grupos que actúan suave y transitivamente sobre X con estabilizadores compactos. A veces, esta condición se incluye en la definición de una geometría de modelo.

Una estructura geométrica en una variedad M es un difeomorfismo de M a X / Γ para alguna geometría del modelo X , donde Γ es un subgrupo discreto de G que actúa libremente sobre X  ; este es un caso especial de una estructura completa ( G , X ) . Si una variedad dada admite una estructura geométrica, entonces admite una cuyo modelo es máximo.

A 3-dimensional modelo de geometría X es relevante para la conjetura de geometrización si es máxima y si hay al menos un colector compacto con una estructura geométrica modelada en X . Thurston clasificó las 8 geometrías del modelo que satisfacen estas condiciones; se enumeran a continuación y, a veces, se denominan geometrías de Thurston . (También hay innumerables geometrías de modelos sin cocientes compactos).

Existe alguna conexión con los grupos Bianchi : los grupos de mentiras tridimensionales. La mayoría de las geometrías de Thurston se pueden realizar como una métrica invariante a la izquierda en un grupo de Bianchi. Sin embargo, S ² × R no puede ser, el espacio euclidiano corresponde a dos grupos Bianchi diferentes, y hay un número incontable de grupos Bianchi no unimodulares solubles , la mayoría de los cuales dan geometrías modelo sin representantes compactos.

Geometría esférica S ³

El estabilizador de punto es O (3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O (4, R ), con 2 componentes. Las variedades correspondientes son exactamente las variedades 3 cerradas con grupo fundamental finito . Los ejemplos incluyen la esfera de 3 , la esfera de homología de Poincaré , los espacios de la lente . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo IX . Los colectores con esta geometría son todos compactos, orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert (a menudo de varias formas). La lista completa de tales colectores se da en el artículo sobre 3 colectores esféricos . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con esta geometría colapsan hasta un punto en el tiempo finito.

Geometría euclidiana E ³

El estabilizador de punto es O (3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones R ³ × O (3, R ), con 2 componentes. Algunos ejemplos son el toro 3 , y más generalmente el toro cartográfico de un automorfismo de orden finito del toro 2; ver haz de toro . Hay exactamente 10 3 colectores cerrados finitos con esta geometría, 6 orientables y 4 no orientables. Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en los grupos de Bianchi de tipo I o VII ₀ . Los colectores de volumen finito con esta geometría son todos compactos y tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert (a veces de dos formas). La lista completa de tales colectores se da en el artículo sobre espacios de fibra Seifert . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría euclidiana permanecen invariantes.

Geometría hiperbólica H ³

El estabilizador de punto es O (3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O ⁺ (1, 3, R ), con 2 componentes. Hay una enorme cantidad de ejemplos de estos y su clasificación no se comprende completamente. El ejemplo con menor volumen es el colector Weeks . Otros ejemplos los da el espacio Seifert-Weber , o las cirugías de Dehn "suficientemente complicadas" en los enlaces , o la mayoría de las variedades de Haken . La conjetura de la geometrización implica que una variedad tridimensional cerrada es hiperbólica si y solo si es irreducible, atoroidal y tiene un grupo fundamental infinito. Esta geometría puede ser modelado como un invariante izquierda métrica en el grupo Bianchi de tipo V . Bajo el flujo de Ricci, los colectores con geometría hiperbólica se expanden.

La geometría de S ² × R

El estabilizador de puntos es O (2, R ) × Z / 2 Z , y el grupo G es O (3, R ) × R × Z / 2 Z , con 4 componentes. Las cuatro variedades de volumen finito con esta geometría son: S ² × S ¹ , el toro de mapeo del mapa antípoda de S ² , la suma conectada de dos copias del espacio proyectivo tridimensional y el producto de S ¹ con dos dimensiones espacio proyectivo. Los dos primeros son toros de mapeo del mapa de identidad y mapa de antípodas de la 2-esfera, y son los únicos ejemplos de 3-variedades que son primos pero no irreductibles. El tercero es el único ejemplo de una suma conectada no trivial con una estructura geométrica. Esta es la única geometría del modelo que no se puede realizar como una métrica invariante a la izquierda en un grupo de Lie tridimensional. Los colectores de volumen finito con esta geometría son todos compactos y tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert (a menudo de varias formas). Bajo colectores de flujo Ricci normalizados con esta geometría convergen en un colector unidimensional.

La geometría de H ² × R

El estabilizador de puntos es O (2, R ) × Z / 2 Z , y el grupo G es O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z / 2 Z , con 4 componentes. Los ejemplos incluyen el producto de una superficie hiperbólica con un círculo, o más generalmente el toro de mapeo de una isometría de una superficie hiperbólica. Los colectores de volumen finito con esta geometría tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert si son orientables. (Si no son orientables, la fibración natural por círculos no es necesariamente una fibración de Seifert: el problema es que algunas fibras pueden "revertir la orientación"; en otras palabras, sus vecindades parecen botellas Klein sólidas con fibras en lugar de toros sólidos). tales colectores (orientados) se dan en el artículo sobre espacios de fibra Seifert . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo III . Bajo los colectores de flujo Ricci normalizados con esta geometría convergen en un colector bidimensional.

La geometría de la cubierta universal de SL (2, "R")

Se denota la cubierta universal de SL (2, R ) . Fibra sobre H ² . El grupo G tiene 2 componentes. Su componente de identidad tiene la estructura . El estabilizador de puntos es O (2, R ). ${\ Displaystyle {\ widetilde {\ rm {SL}}} (2, \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle (\ mathbf {R} \ times {\ widetilde {\ rm {SL}}} _ {2} (\ mathbf {R})) / \ mathbf {Z}}$

Los ejemplos de estas variedades incluyen: la variedad de vectores unitarios del haz tangente de una superficie hiperbólica y, más generalmente, las esferas de homología de Brieskorn (a excepción de la 3-esfera y el espacio dodecaédrico de Poincaré ). Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo VIII . Los colectores de volumen finito con esta geometría son orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert . La clasificación de tales colectores se da en el artículo sobre espacios de fibra Seifert . Bajo los colectores de flujo Ricci normalizados con esta geometría convergen en un colector bidimensional.

Geometría nula

Esta fibra sobre E ² , y es la geometría del grupo de Heisenberg . El estabilizador de puntos es O (2, R ). El grupo G tiene 2 componentes y es un producto semidirecto del grupo de Heisenberg tridimensional por el grupo O (2, R ) de isometrías de un círculo. Las variedades compactas con esta geometría incluyen el toro de mapeo de un giro de Dehn de un toro 2, o el cociente del grupo de Heisenberg por el "grupo integral de Heisenberg". Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo II . Los colectores de volumen finito con esta geometría son compactos y orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra Seifert . La clasificación de tales colectores se da en el artículo sobre espacios de fibra Seifert . Bajo flujo Ricci normalizado, los colectores compactos con esta geometría convergen a R ² con la métrica plana.

Geometría del sol

Esta geometría (también llamado Solv geometría ) fibras sobre la línea con la fibra del avión, y es la geometría del componente de identidad del grupo G . El estabilizador de puntos es el grupo diedro de orden 8. El grupo G tiene 8 componentes, y es el grupo de mapas del espacio de Minkowski bidimensional a sí mismo que son isometrías o multiplican la métrica por -1. El componente de identidad tiene un subgrupo normal R ² con cociente R , donde R actúa sobre R ² con 2 espacios propios (reales), con valores propios reales distintos del producto 1. Este es el grupo de Bianchi de tipo VI ₀ y la geometría se puede modelar como una métrica invariante a la izquierda en este grupo. Todos los colectores de volumen finito con geometría solv son compactos. Las variedades compactas con geometría solv son el toro de mapeo de un mapa de Anosov del 2-toro (tal mapa es un automorfismo del 2-toro dado por una matriz invertible de 2 por 2 cuyos valores propios son reales y distintos, como ) , o cocientes de éstos por grupos de orden como máximo 8. Los autovalores del automorfismo del toro generan un orden de un campo cuadrático real, y las variedades solv podrían en principio clasificarse en términos de las unidades y clases ideales de este orden , aunque los detalles no parecen estar escritos en ninguna parte. Bajo flujo Ricci normalizado, los colectores compactos con esta geometría convergen (bastante lentamente) a R ¹ . ${\ Displaystyle \ left ({\ begin {array} {* {20} c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\\ end {array}} \ right)}$

Unicidad

Un 3-manifold cerrado tiene una estructura geométrica de como máximo uno de los 8 tipos anteriores, pero los 3-manifolds no compactos de volumen finito pueden ocasionalmente tener más de un tipo de estructura geométrica. (Sin embargo, una variedad puede tener muchas estructuras geométricas diferentes del mismo tipo; por ejemplo, una superficie de género al menos 2 tiene un continuo de métricas hiperbólicas diferentes). Más precisamente, si M es una variedad con una estructura geométrica de volumen finito, entonces el tipo de estructura geométrica está casi determinado de la siguiente manera, en términos del grupo fundamental π ₁ ( M ):

• Si π ₁ ( M ) es finito, entonces la estructura geométrica de M es esférica y M es compacta.
• Si π ₁ ( M ) es virtualmente cíclico pero no finito, entonces la estructura geométrica en M es S ² × R y M es compacta.
• Si π ₁ ( M ) es virtualmente abeliano pero no virtualmente cíclico, entonces la estructura geométrica en M es euclidiana y M es compacta.
• Si π ₁ ( M ) es virtualmente nilpotente pero no virtualmente abeliano, entonces la estructura geométrica en M es geometría nula y M es compacta.
• Si π ₁ ( M ) es virtualmente solucionable pero no virtualmente nilpotente, entonces la estructura geométrica en M es geometría solv y M es compacta.
• Si π ₁ ( M ) tiene un subgrupo cíclico normal infinito pero no se puede resolver virtualmente, entonces la estructura geométrica en M es H ² × R o la cobertura universal de SL (2, R ). El colector M puede ser compacto o no compacto. Si es compacto, entonces las 2 geometrías se pueden distinguir por si π ₁ ( M ) tiene o no un subgrupo de índice finito que se divide como un producto semidirecto del subgrupo cíclico normal y algo más. Si la variedad no es compacta, entonces el grupo fundamental no puede distinguir las dos geometrías, y hay ejemplos (como el complemento de un nudo de trébol) donde una variedad puede tener una estructura geométrica de volumen finito de cualquier tipo.
• Si π ₁ ( M ) no tiene un subgrupo cíclico normal infinito y no se puede resolver virtualmente, entonces la estructura geométrica en M es hiperbólica y M puede ser compacta o no compacta.

Las variedades de volumen infinito pueden tener muchos tipos diferentes de estructura geométrica: por ejemplo, R ³ puede tener 6 de las diferentes estructuras geométricas enumeradas anteriormente, ya que 6 de las 8 geometrías del modelo son homeomórficas para él. Además, si el volumen no tiene que ser finito, hay un número infinito de nuevas estructuras geométricas sin modelos compactos; por ejemplo, la geometría de casi cualquier grupo de Lie tridimensional no unimodular.

Puede haber más de una forma de descomponer un 3-múltiple cerrado en piezas con estructuras geométricas. Por ejemplo:

• Tomar sumas conectadas con varias copias de S ³ no cambia una variedad.
• La suma conectada de dos 3 espacios proyectivos tiene una geometría S ² × R , y también es la suma conectada de dos piezas con geometría S ³ .
• El producto de una superficie de curvatura negativa y un círculo tiene una estructura geométrica, pero también se puede cortar a lo largo de toros para producir piezas más pequeñas que también tienen estructuras geométricas. Hay muchos ejemplos similares para espacios de fibra Seifert.

Es posible elegir una descomposición "canónica" en piezas con estructura geométrica, por ejemplo, cortando primero el colector en piezas principales de una manera mínima y luego cortándolas utilizando el menor número posible de toros. Sin embargo, esta descomposición mínima no es necesariamente la producida por el flujo de Ricci; de hecho, el flujo de Ricci puede dividir una variedad en piezas geométricas de muchas formas desiguales, según la elección de la métrica inicial.

Historia

La Medalla Fields fue otorgada a Thurston en 1982 en parte por su prueba de la conjetura de geometrización para variedades Haken .

El caso de los 3 colectores que deberían ser esféricos ha sido más lento, pero proporcionó la chispa necesaria para que Richard S. Hamilton desarrolle su flujo de Ricci . En 1982, Hamilton demostró que dada una variedad 3 cerrada con una métrica de curvatura de Ricci positiva , el flujo de Ricci colapsaría la variedad a un punto en un tiempo finito, lo que prueba la conjetura de geometrización para este caso cuando la métrica se vuelve "casi redonda". justo antes del colapso. Posteriormente desarrolló un programa para probar la conjetura de geometrización de Ricci flow con cirugía . La idea es que el flujo de Ricci producirá en general singularidades, pero se puede continuar el flujo de Ricci más allá de la singularidad mediante el uso de la cirugía para cambiar la topología de la variedad. En términos generales, el flujo de Ricci contrae regiones de curvatura positiva y expande regiones de curvatura negativa, por lo que debería eliminar las piezas del colector con las geometrías de "curvatura positiva" S ³ y S ² × R , mientras que lo que queda en grandes momentos debería tener una descomposición gruesa-fina en una pieza "gruesa" con geometría hiperbólica y una variedad gráfica "fina" .

En 2003, Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de la geometrización mostrando que el flujo de Ricci se puede continuar más allá de las singularidades y tiene el comportamiento descrito anteriormente. La principal dificultad para verificar la prueba de Perelman de la conjetura de la geometrización fue un uso crítico de su Teorema 7.4 en el preimpreso "Ricci Flow con cirugía en tres variedades". Este teorema fue establecido por Perelman sin pruebas. Ahora hay varias pruebas diferentes del Teorema 7.4 de Perelman, o variantes del mismo que son suficientes para probar la geometrización. Está el artículo de Shioya y Yamaguchi que usa el teorema de estabilidad de Perelman y un teorema de fibración para espacios de Alexandrov . Este método, con todos los detalles que conducen a la prueba de geometrización, se puede encontrar en la exposición de Bruce Kleiner y John Lott .

Una segunda ruta a la última parte de la prueba de geometrización de Perelman es el método de Bessières et al. , que utiliza el teorema de hiperbolización de Thurston para las variedades de Haken y la norma de Gromov para las variedades de 3. La Sociedad Matemática Europea ha publicado un libro de los mismos autores con detalles completos de su versión de la prueba .

También contiene pruebas del Teorema 7.4 de Perelman, hay un artículo de Morgan y Tian , otro artículo de Kleiner y Lott, y un artículo de Jianguo Cao y Jian Ge.

Notas

Referencias

• L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, volumen 13. Sociedad Matemática Europea, Zurich, 2010. [1]
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• F. Bonahon Estructuras geométricas en tres variedades Manual de topología geométrica (2002) Elsevier.
• Allen Hatcher: Notas sobre la topología básica de tres colectores 2000
• J. Isenberg, M. Jackson, Ricci flujo de geometrías localmente homogéneas en una variedad de Riemann , J. Diff. Geom. 35 (1992) núm. 3 723–741.
• G. Perelman, La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas , 2002
• G. Perelman, Ricci flow con cirugía en tres colectores , 2003
• G. Perelman, Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertos tres múltiples , 2003
• Bruce Kleiner y John Lott, Notes on Perelman Papers (mayo de 2006) (completa los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización).
• Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (junio de 2006). "Una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización: aplicación de la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci" ( PDF ) . Revista asiática de matemáticas . 10 (2): 165–498. doi : 10.4310 / AJM.2006.v10.n2.a2 . Consultado el 31 de julio de 2006 .Versión revisada (diciembre de 2006): Prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Hamilton-Perelman
• John W. Morgan . Avances recientes en la conjetura de Poincaré y la clasificación de 3 variedades. Boletín Amer. Matemáticas. Soc. 42 (2005) núm. 1, 57-78 (el artículo expositivo explica brevemente las ocho geometrías y la conjetura de la geometrización, y ofrece un esbozo de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré)
• Morgan, John W .; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Ricci Flow y geometrización de 3 colectores . Ciclos de Conferencias Universitarias. ISBN 978-0-8218-4963-7. Consultado el 26 de septiembre de 2010 .
• Morgan, John W .; Tian, ​​Gang (2014), The Geometrization Conjecture , Clay Mathematics Monographs, 5 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5201-9
• Scott, Peter Las geometrías de 3 variedades. ( erratas ) Bula. London Math. Soc. 15 (1983), núm. 5, 401–487.
• Thurston, William P. (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 6 (3): 357–381. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904 . Señor  0648524 . Esto da el enunciado original de la conjetura.
• William Thurston. Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp.  ISBN  0-691-08304-5 (explicación detallada de las ocho geometrías y la prueba de que solo hay ocho)
• William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds , 1980 Notas de la conferencia de Princeton sobre estructuras geométricas en 3-manifolds.

enlaces externos

• "La geometría de 3 colectores (video)" . Archivado desde el original el 27 de enero de 2010 . Consultado el 20 de enero de 2010 .Una conferencia pública sobre Poincaré y las conjeturas de la geometrización, impartida por C. McMullen en Harvard en 2006.