Haz gaussiano - Gaussian beam

Intensidad de un rayo gaussiano simulado alrededor del foco en un instante de tiempo , mostrando dos picos de intensidad para cada frente de onda .

Arriba: perfil de intensidad transversal de un rayo gaussiano que se propaga fuera de la página. Curva azul: amplitud del campo eléctrico (o magnético) frente a la posición radial desde el eje del haz. La curva negra es la intensidad correspondiente.

Un perfil de haz de puntero láser verde de 5 mW, que muestra el perfil TEM ₀₀ .

En óptica , un haz gaussiano es un haz de radiación electromagnética de alta monocromaticidad cuya envolvente de amplitud en el plano transversal viene dada por una función gaussiana ; esto también implica un perfil de intensidad (irradiancia) gaussiano . Este modo gaussiano transversal fundamental (o TEM ₀₀ ) describe la salida prevista de la mayoría (pero no de todos) los láseres, ya que dicho rayo puede enfocarse en el punto más concentrado. Cuando un haz de este tipo es reenfocado por una lente , se altera la dependencia de la fase transversal ; esto da como resultado un haz gaussiano diferente . Los perfiles de amplitud del campo eléctrico y magnético a lo largo de cualquier haz circular de Gauss (para una longitud de onda y polarización dadas ) están determinados por un único parámetro: la denominada cintura w ₀ . En cualquier posición z con respecto a la cintura (foco) a lo largo de un haz que tiene una especifica w ₀ , las amplitudes de campo y las fases se determinan de este modo como se detalla a continuación .

Las siguientes ecuaciones suponen una viga con una sección transversal circular en todos los valores de z ; esto se puede ver si se observa que aparece una única dimensión transversal, r . Las vigas con secciones transversales elípticas, o con cinturas en diferentes posiciones en z para las dos dimensiones transversales ( vigas astigmáticas ) también se pueden describir como vigas gaussianas, pero con valores distintos de w ₀ y de la ubicación z = 0 para las dos transversales. dimensiones x e y .

Soluciones arbitrarias de la ecuación de Helmholtz paraxial pueden ser expresadas como combinaciones de modos de Hermite-Gauss (cuya amplitud perfiles son separables en x y y usando coordenadas cartesianas ) o de manera similar como combinaciones de modos de Laguerre-Gaussian (cuyos perfiles de amplitud son separables en r y θ utilizando coordenadas cilíndricas ). En cualquier punto a lo largo del haz z, estos modos incluyen el mismo factor gaussiano que el modo gaussiano fundamental multiplicando los factores geométricos adicionales para el modo especificado. Sin embargo los diferentes modos se propagan con una diferente fase Gouy por lo que el perfil transversal neta debido a una superposición de modos evoluciona en z , mientras que la propagación de cualquier único modo de Hermite-Gauss (o Laguerre-Gaussian) conserva la misma forma a lo largo de una viga.

Aunque existen otras posibles descomposiciones modales , estas familias de soluciones son las más útiles para problemas que involucran haces compactos, es decir, donde la potencia óptica está confinada bastante estrechamente a lo largo de un eje. Incluso cuando un láser no está operando en el modo gaussiano fundamental, su potencia generalmente se encontrará entre los modos de orden más bajo que utilizan estas descomposiciones, ya que la extensión espacial de los modos de orden superior tenderá a exceder los límites del resonador (cavidad) de un láser . . "Haz gaussiano" normalmente implica radiación confinada al modo gaussiano fundamental (TEM ₀₀ ).

Forma matemática

Perfil de haz gaussiano con w ₀ = 2 λ .

El rayo gaussiano es un modo electromagnético transversal (TEM) . La expresión matemática de la amplitud del campo eléctrico es una solución a la ecuación paraxial de Helmholtz . Suponiendo polarización en la dirección xy propagación en la dirección + z , el campo eléctrico en notación fasorial (compleja) viene dado por:

${\ Displaystyle {\ mathbf {E} (r, z)} = E_ {0} \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \, {\ frac {w_ {0}} {w (z)} } \ exp \ left ({\ frac {-r ^ {2}} {w (z) ^ {2}}} \ right) \ exp \ left (\! - i \ left (kz + k {\ frac { r ^ {2}} {2R (z)}} - \ psi (z) \ derecha) \! \ derecha)}$

dónde

r es la distancia radial desde el eje central de la viga,

z es la distancia axial desde el foco del haz (o "cintura"),

yo es la unidad imaginaria ,

k = 2 πn / λ es el número de onda (en radianes por metro) para una longitud de onda de espacio libre λ , y n es el índice de refracción del medio en el que se propaga el haz,

E ₀ = E (0, 0) , la amplitud (y fase) del campo eléctrico en el origen ( r = 0, z = 0),

w ( z ) es el radio en el que las amplitudes de campo caen a 1 / e de sus valores axiales (es decir, donde los valores de intensidad caen a 1 / e ² de sus valores axiales), en el plano z a lo largo del haz,

w ₀ = w (0) es el radio de la cintura ,

R ( z ) es el radio de curvatura de los frentes de onda del hazen z , y

ψ ( z ) es la fase de Gouy en z , un término de fase adicional más allá del atribuible a la velocidad de fase de la luz.

También hay una dependencia del tiempo comprendido e ^iωt multiplicar tales fasoriales cantidades; el campo real en un punto en el tiempo y el espacio viene dado por la parte real de esa cantidad compleja.

Dado que esta solución se basa en la aproximación paraxial, no es precisa para haces muy divergentes. La forma anterior es válida en la mayoría de los casos prácticos, donde w ₀ ≫ λ / n .

La distribución de intensidad (o irradiancia ) correspondiente viene dada por

${\ Displaystyle I (r, z) = {| E (r, z) | ^ {2} \ over 2 \ eta} = I_ {0} \ left ({\ frac {w_ {0}} {w (z )}} \ right) ^ {2} \ exp \ left ({\ frac {-2r ​​^ {2}} {w (z) ^ {2}}} \ right),}$

donde la constante η es la impedancia de onda del medio en el que se propaga el haz. Para espacio libre, η = η ₀ ≈ 377 Ω. I ₀ = | E ₀ | ² /2 η es la intensidad en el centro de la viga en su cintura.

Si P ₀ es la potencia total del haz,

${\ Displaystyle I_ {0} = {2P_ {0} \ over \ pi w_ {0} ^ {2}}.}$

Ancho de haz evolutivo

La función gaussiana tiene un diámetro de 1 / e ² ( 2 w como se usa en el texto) aproximadamente 1,7 veces el FWHM .

En una posición z a lo largo del haz (medido desde el foco), el parámetro de tamaño del punto w viene dado por una relación hiperbólica :

${\ Displaystyle w (z) = w_ {0} \, {\ sqrt {1 + {\ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right)} ^ {2}} },}$

dónde

${\ Displaystyle z _ {\ mathrm {R}} = {\ frac {\ pi w_ {0} ^ {2} n} {\ lambda}}}$

se denomina rango de Rayleigh, como se explica más adelante, y es el índice de refracción del medio. ${\ Displaystyle n}$

El radio del haz w ( z ) , en cualquier posición z a lo largo del haz, está relacionado con el ancho total a la mitad del máximo (FWHM) de la distribución de intensidad en esa posición de acuerdo con:

${\ Displaystyle w (z) = {\ frac {{\ text {FWHM}} (z)} {\ sqrt {2 \ ln 2}}}}$.

Curvatura del frente de onda

La curvatura de los frentes de onda es mayor a la distancia de Rayleigh, z = ± z _R , a cada lado de la cintura, cruzando el cero en la cintura misma. Más allá de la distancia de Rayleigh, | z | > z _R , nuevamente disminuye en magnitud, acercándose a cero cuando z → ± ∞ . La curvatura se expresa a menudo en términos de su recíproco, R , el radio de curvatura ; para un haz gaussiano fundamental, la curvatura en la posición z viene dada por:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {R (z)}} = {\ frac {z} {z ^ {2} + z _ {\ mathrm {R}} ^ {2}}},}$

entonces el radio de curvatura R ( z ) es

${\ Displaystyle R (z) = z \ left [{1 + {\ left ({\ frac {z _ {\ mathrm {R}}} {z}} \ right)} ^ {2}} \ right].}$

Siendo el recíproco de la curvatura, el radio de curvatura invierte el signo y es infinito en la cintura de la viga donde la curvatura pasa por cero.

Fase gouy

La fase Gouy es un avance de fase adquirido gradualmente por un rayo alrededor de la región focal. En la posición z, la fase de Gouy de un haz gaussiano fundamental está dada por

${\ Displaystyle \ psi (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right).}$

Fase Gouy.

La fase Gouy da como resultado un aumento en la longitud de onda aparente cerca de la cintura ( z ≈ 0 ). Por tanto, la velocidad de fase en esa región excede formalmente la velocidad de la luz. Ese comportamiento paradójico debe entenderse como un fenómeno de campo cercano donde la desviación de la velocidad de fase de la luz (como se aplicaría exactamente a una onda plana) es muy pequeña excepto en el caso de un haz con gran apertura numérica , en cuyo caso la La curvatura de los frentes de onda (ver la sección anterior) cambia sustancialmente a lo largo de la distancia de una sola longitud de onda. En todos los casos, la ecuación de onda se cumple en todas las posiciones.

Para un haz gaussiano fundamental, la fase de Gouy da como resultado una discrepancia de fase neta con respecto a la velocidad de la luz que asciende a π radianes (por lo tanto, una inversión de fase) a medida que uno se mueve desde el campo lejano en un lado de la cintura al campo lejano en el otro lado. Esta variación de fase no es observable en la mayoría de los experimentos. Sin embargo, es de importancia teórica y adquiere un rango mayor para los modos gaussianos de orden superior .

Rayos elípticos y astigmáticos

Muchos rayos láser tienen una sección transversal elíptica. También son comunes las vigas con posiciones de cintura que son diferentes para las dos dimensiones transversales, llamadas vigas astigmáticas. Estas vigas pueden ser tratados con el uso de los anteriores dos ecuaciones de evolución, pero con valores distintos de cada parámetro para x y y y definiciones distintas de la z = 0 punto. La fase Gouy es un solo valor calculado correctamente sumando la contribución de cada dimensión, con una fase de Gouy dentro del intervalo ± pi / 4 aportado por cada dimensión.

Un rayo elíptico invertirá su relación de elipticidad a medida que se propaga desde el campo lejano hasta la cintura. La dimensión que fuera mayor lejos de la cintura, será menor cerca de la cintura.

Parámetros de haz

La dependencia geométrica de los campos de un haz gaussiano se rige por la longitud de onda de la luz λ ( en el medio dieléctrico, si no en el espacio libre) y los siguientes parámetros del haz , todos los cuales están conectados como se detalla en las siguientes secciones.

Cintura de la viga

Ancho del haz gaussiano w ( z ) en función de la distancia z a lo largo del haz, que forma una hipérbola . w ₀ : cintura de la viga; b : profundidad de enfoque; z _R : rango de Rayleigh ; Θ : dispersión angular total

La forma de un haz gaussiano de una longitud de onda dada λ se rige únicamente por un parámetro, la cintura del haz w ₀ . Esta es una medida del tamaño del haz en el punto de su foco ( z = 0 en las ecuaciones anteriores) donde el ancho del haz w ( z ) (como se define arriba) es el más pequeño (y de la misma manera donde la intensidad en el eje ( r = 0 ) es el más grande). A partir de este parámetro se determinan los demás parámetros que describen la geometría de la viga. Esto incluye el rango de Rayleigh z _R y la divergencia asintótica del haz θ , como se detalla a continuación.

Rango de Rayleigh y parámetro confocal

La distancia de Rayleigh o el rango de Rayleigh z _R se determina dado el tamaño de la cintura de un haz gaussiano:

${\ Displaystyle z _ {\ mathrm {R}} = {\ frac {\ pi w_ {0} ^ {2} n} {\ lambda}}.}$

Aquí λ es la longitud de onda de la luz, n es el índice de refracción. A una distancia de la cintura igual al rango de Rayleigh z _R , el ancho w del haz es √ 2 más grande que en el foco donde w = w ₀ , la cintura del haz. Eso también implica que la intensidad en el eje ( r = 0 ) es la mitad de la intensidad máxima (en z = 0 ). Ese punto a lo largo del haz también es donde la curvatura del frente de onda ( 1 / R ) es mayor.

La distancia entre los dos puntos z = ± z _R se denomina parámetro confocal o profundidad de foco del haz.

Divergencia del haz

Aunque las colas de una función gaussiana nunca llegan a cero, para los propósitos de la siguiente discusión, se considera que el "borde" de una viga es el radio donde r = w ( z ) . Ahí es donde la intensidad ha caído a 1 / e ² de su valor en el eje. Ahora, para z ≫ z _R el parámetro w ( z ) aumenta linealmente con z . Esto significa que lejos de la cintura, el "borde" de la viga (en el sentido anterior) tiene forma de cono. El ángulo entre ese cono (cuyo r = w ( z ) ) y el eje del haz ( r = 0 ) define la divergencia del haz:

${\ Displaystyle \ theta = \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} \ arctan \ left ({\ frac {w (z)} {z}} \ right).}$

En el caso paraxial, como hemos estado considerando, θ (en radianes) es entonces aproximadamente

${\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ lambda} {\ pi nw_ {0}}}}$

donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz y λ es la longitud de onda en el espacio libre. La extensión angular total del haz divergente, o el ángulo de vértice del cono descrito anteriormente, viene dada por

${\ Displaystyle \ Theta = 2 \ theta \.}$

Ese cono contiene el 86% de la potencia total del rayo gaussiano.

Debido a que la divergencia es inversamente proporcional al tamaño del punto, para una longitud de onda dada λ , un rayo gaussiano que se enfoca en un punto pequeño diverge rápidamente a medida que se propaga lejos del foco. Por el contrario, para minimizar la divergencia de un rayo láser en el campo lejano (y aumentar su intensidad máxima a grandes distancias) debe tener una gran sección transversal ( w ₀ ) en la cintura (y por lo tanto un gran diámetro donde se lanza, ya que w ( z ) nunca es menor que w ₀ ). Esta relación entre el ancho del haz y la divergencia es una característica fundamental de la difracción y de la transformada de Fourier que describe la difracción de Fraunhofer . Un haz con cualquier perfil de amplitud especificado también obedece a esta relación inversa, pero el modo gaussiano fundamental es un caso especial en el que el producto del tamaño del haz en el foco y la divergencia del campo lejano es menor que en cualquier otro caso.

Dado que el modelo de haz de Gauss utiliza la aproximación paraxial, falla cuando los frentes de onda se inclinan más de unos 30 ° desde el eje del haz. De la expresión anterior para la divergencia, esto significa que el modelo de haz de Gauss solo es preciso para haces con cinturas mayores de aproximadamente 2 λ / π .

La calidad del rayo láser se cuantifica mediante el producto del parámetro del rayo (BPP). Para un rayo gaussiano, el BPP es el producto de la divergencia del rayo y el tamaño de la cintura w ₀ . El BPP de un haz real se obtiene midiendo el diámetro mínimo del haz y la divergencia de campo lejano, y tomando su producto. La relación entre el BPP del haz real y el de un haz gaussiano ideal en la misma longitud de onda se conoce como M ² (" M cuadrado "). El M ² de un rayo gaussiano es uno. Todos los rayos láser reales tienen valores de M ² superiores a uno, aunque los rayos de muy alta calidad pueden tener valores muy cercanos a uno.

La apertura numérica de un haz gaussiano se define como NA = n sen θ , donde n es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz. Esto significa que el rango de Rayleigh está relacionado con la apertura numérica por

${\ Displaystyle z _ {\ mathrm {R}} = {\ frac {nw_ {0}} {\ mathrm {NA}}}.}$

Poder e intensidad

Poder a través de una apertura

Con un haz centrado en una abertura , la potencia P que pasa a través de un círculo de radio r en el plano transversal en la posición z es

${\ Displaystyle P (r, z) = P_ {0} \ left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} \ right],}$

dónde

${\ Displaystyle P_ {0} = {1 \ over 2} \ pi I_ {0} w_ {0} ^ {2}}$

es la potencia total transmitida por el haz.

Para un círculo de radio r = w ( z ) , la fracción de potencia transmitida a través del círculo es

${\ Displaystyle {P (z) \ over P_ {0}} = 1-e ^ {- 2} \ approx 0.865.}$

De manera similar, aproximadamente el 90% de la potencia del rayo fluirá a través de un círculo de radio r = 1.07 × w ( z ) , el 95% a través de un círculo de radio r = 1.224 × w ( z ) y el 99% a través de un círculo de radio r = 1,52 × w ( z ) .

Intensidad pico

La intensidad máxima a una distancia axial z de la cintura de la viga se puede calcular como el límite de la potencia encerrada dentro de un círculo de radio r , dividido por el área del círculo πr ² cuando el círculo se contrae:

${\ Displaystyle I (0, z) = \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {P_ {0} \ left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z) " } \ right]} {\ pi r ^ {2}}}.}$

El límite se puede evaluar utilizando la regla de L'Hôpital :

${\ Displaystyle I (0, z) = {\ frac {P_ {0}} {\ pi}} \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ left [- (- 2) (2r) e ^ {-2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} \ right]} {w ^ {2} (z) (2r)}} = {2P_ {0} \ over \ pi w ^ {2} (z)}.}$

Parámetro de haz complejo

El tamaño del punto y la curvatura de un haz gaussiano en función de z a lo largo del haz también se pueden codificar en el parámetro de haz complejo q ( z ) dado por:

${\ Displaystyle q (z) = z + iz _ {\ mathrm {R}}.}$

La introducción de esta complicación conduce a una simplificación de la ecuación del campo del haz de Gauss como se muestra a continuación. Puede verse que el recíproco de q ( z ) contiene la curvatura del frente de onda y la intensidad relativa en el eje en sus partes real e imaginaria, respectivamente:

${\ Displaystyle {1 \ sobre q (z)} = {1 \ sobre z + iz _ {\ mathrm {R}}} = {z \ sobre z ^ {2} + z _ {\ mathrm {R}} ^ {2 }} - i {z _ {\ mathrm {R}} \ over z ^ {2} + z _ {\ mathrm {R}} ^ {2}} = {1 \ over R (z)} - i {\ lambda \ sobre n \ pi w ^ {2} (z)}.}$

El parámetro de haz complejo simplifica el análisis matemático de la propagación del haz de Gauss, y especialmente en el análisis de las cavidades del resonador óptico utilizando matrices de transferencia de rayos .

Luego, al usar esta forma, la ecuación anterior para el campo eléctrico (o magnético) se simplifica enormemente. Si llamamos u la intensidad de campo relativa de un haz gaussiano elíptica (con los ejes elípticos en la x y Y direcciones) a continuación, se puede separar en x y y de acuerdo a:

${\ Displaystyle u (x, y, z) = u_ {x} (x, z) \, u_ {y} (y, z),}$

dónde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} u_ {x} (x, z) & = {\ frac {1} {\ sqrt {{q} _ {x} (z)}}} \ exp \ left (-ik {\ frac {x ^ {2}} {2 {q} _ {x} (z)}} \ right), \\ u_ {y} (y, z) & = {\ frac {1} {\ sqrt {{q} _ {y} (z)}}} \ exp \ left (-ik {\ frac {y ^ {2}} {2 {q} _ {y} (z)}} \ right), \ final {alineado}}}$

donde q _x ( z ) y q _y ( z ) son los parámetros del haz complejos en la x y Y direcciones.

Para el caso común de un perfil de viga circular , q _x ( z ) = q _y ( z ) = q ( z ) y x ² + y ² = r ² , lo que produce

${\ Displaystyle u (r, z) = {\ frac {1} {q (z)}} \ exp \ left (-ik {\ frac {r ^ {2}} {2q (z)}} \ right) .}$

Ecuación de onda

Como un caso especial de radiación electromagnética , los haces gaussianos (y los modos gaussianos de orden superior que se detallan a continuación) son soluciones a la ecuación de onda para un campo electromagnético en el espacio libre o en un medio dieléctrico homogéneo, obtenido al combinar las ecuaciones de Maxwell para el rizo de E y el rizo de H , resultando en:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}},}$

donde c es la velocidad de la luz en el medio , y U podría referirse al vector de campo eléctrico o magnético, ya que cualquier solución específica para cualquiera determina el otro. La solución del haz de Gauss es válida solo en la aproximación paraxial , es decir, donde la propagación de la onda está limitada a direcciones dentro de un pequeño ángulo de un eje. Sin pérdida de generalidad, supongamos que esa dirección es la dirección + z, en cuyo caso la solución U generalmente se puede escribir en términos de u, que no tiene dependencia del tiempo y varía relativamente suavemente en el espacio, con la variación principal correspondiente espacialmente al número de onda. k en la dirección z :

${\ Displaystyle U (x, y, z, t) = u (x, y, z) e ^ {- i (kz- \ omega t)} \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \; .}$

Usando esta forma junto con la aproximación paraxial, ∂ ² u / ∂ z ² se puede despreciar esencialmente. Dado que las soluciones de la ecuación de onda electromagnética solo son válidas para polarizaciones que son ortogonales a la dirección de propagación ( z ), hemos considerado sin pérdida de generalidad que la polarización está en la dirección x, por lo que ahora resolvemos una ecuación escalar para u ( x , y , z ) .

Sustituir esta solución en la ecuación de onda anterior produce la aproximación paraxial a la ecuación de onda escalar:

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} = 2ik {\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}}.}$

Es de destacar que en el Paul Dirac 's coordenadas de cono de luz , , la ecuación de onda de conversos a: ${\ Displaystyle x ^ {\ pm} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (z \ pm ct)}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} U = 2 {\ frac {\ Partical ^ {2} U} {\ Particular x ^ {-} \ Particular x ^ {+}}}.}$

Entonces, para una onda en forma de uno, se obtiene la ecuación exacta de ${\ Displaystyle U \ left (x, y, x ^ {+}, x ^ {-} \ right) = u \ left (x, y, x ^ {+} \ right) e ^ {ikx ^ {-} } \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \;}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} = 2ik {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {+}}}.}$

Las soluciones paraxiales, por lo tanto, se vuelven exactas en las coordenadas del cono de luz . Debido a la dependencia temporal de las coordenadas, los picos de estas soluciones exactas se mueven con el tiempo, por lo que estas soluciones representan paquetes de ondas , en lugar de haces. ${\ Displaystyle x ^ {+}}$

Los haces gaussianos de cualquier cintura w ₀ satisfacen esta ecuación de onda; esto se verifica más fácilmente expresando la onda en z en términos del parámetro de haz complejo q ( z ) como se definió anteriormente. Hay muchas otras soluciones. Como soluciones de un sistema lineal , cualquier combinación de soluciones (usando la suma o la multiplicación por una constante) también es una solución. El gaussiano fundamental resulta ser el que minimiza el producto del tamaño mínimo del punto y la divergencia de campo lejano, como se señaló anteriormente. Al buscar soluciones paraxiales, y en particular aquellas que describan la radiación láser que no está en el modo gaussiano fundamental, buscaremos familias de soluciones con productos gradualmente crecientes de sus divergencias y tamaños de punto mínimos. Dos descomposiciones ortogonales importantes de este tipo son los modos Hermite-Gaussiano o Laguerre-Gaussiano, correspondientes a la simetría rectangular y circular respectivamente, como se detalla en la siguiente sección. Con ambos, el rayo gaussiano fundamental que hemos estado considerando es el modo de orden más bajo.

Modos de orden superior

Modos Hermite-Gaussianos

Doce modos Hermite-Gaussianos

Es posible descomponer un haz paraxial coherente utilizando el conjunto ortogonal de los llamados modos Hermite-Gaussianos , cualquiera de los cuales está dado por el producto de un factor en x y un factor en y . Tal solución es posible debido a la capacidad de separación en x y y en la ecuación de Helmholtz paraxial como está escrito en coordenadas cartesianas . Así dado un modo de orden ( l , m ) en referencia a la x y Y direcciones, la amplitud del campo eléctrico en x , y , z puede ser dada por:

${\ Displaystyle E (x, y, z) = u_ {l} (x, z) \, u_ {m} (y, z) \, \ exp (-ikz),}$

donde los factores para la x y y la dependencia son cada dados por:

${\ Displaystyle u_ {J} (x, z) = \ left ({\ frac {\ sqrt {2 / \ pi}} {2 ^ {J} \, J! \; w_ {0}}} \ right) ^ {\! \! 1/2} \! \! \ Left ({\ frac {{q} _ {0}} {{q} (z)}} \ right) ^ {\! \! 1/2 } \! \! \ left (- {\ frac {{q} ^ {\ ast} (z)} {{q} (z)}} \ right) ^ {\! \! J / 2} \! \ ! H_ {J} \! \ Left ({\ frac {{\ sqrt {2}} x} {w (z)}} \ right) \, \ exp \ left (\! - i {\ frac {kx ^ {2}} {2 {q} (z)}} \ derecha),}$

donde hemos empleado el parámetro de haz complejo q ( z ) (como se define arriba) para un haz de cintura w ₀ en z desde el foco. De esta forma, el primer factor es simplemente una constante de normalización para hacer que el conjunto de u _{J sea} ortonormal . El segundo factor es una normalización adicional dependiente de z que compensa la expansión de la extensión espacial del modo según w ( z ) / w ₀ (debido a los dos últimos factores). También contiene parte de la fase Gouy. El tercer factor es una fase pura que mejora el desplazamiento de fase Gouy para órdenes superiores J .

Los dos últimos factores explican la variación espacial sobre x (o y ). El cuarto factor es el polinomio de Hermite de orden J ("forma de los físicos", es decir, H ₁ ( x ) = 2 x ), mientras que el quinto da cuenta de la caída de amplitud gaussiana exp (- x ² / w ( z ) ² ) , aunque esto no es obvio usando el complejo q en el exponente. La expansión de esa exponencial también produce un factor de fase en x que explica la curvatura del frente de onda ( 1 / R ( z ) ) en z a lo largo del haz.

Los modos Hermite-Gaussianos se denominan típicamente "TEM _lm "; el haz gaussiano fundamental puede denominarse TEM ₀₀ (donde TEM es electromagnético transversal ). Multiplicando u _l ( x , z ) y T _m ( y , z ) para obtener el perfil de modo 2-D, y la eliminación de la normalización de manera que el factor principal es simplemente llamado E ₀ , podemos escribir la ( l , m ) Modo en la forma más accesible:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} E_ {l, m} (x, y, z) = {} & E_ {0} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \, H_ {l } \! {\ Bigg (} {\ frac {{\ sqrt {2}} \, x} {w (z)}} {\ Bigg)} \, H_ {m} \! {\ Bigg (} {\ frac {{\ sqrt {2}} \, y} {w (z)}} {\ Bigg)} \ times {} \\ & \ exp {\ Bigg (} {- {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {w ^ {2} (z)}}} {\ Bigg)} \ exp {\ Bigg (} {- i {\ frac {k (x ^ {2} + y ^ {2) })} {2R (z)}}} {\ Bigg)} \ times {} \\ & \ exp {\ big (} i \ psi (z) {\ big)} \ exp (-ikz). \ End {alineado}}}$

De esta forma, el parámetro w ₀ , como antes, determina la familia de modos, en particular escalando la extensión espacial de la cintura del modo fundamental y todos los demás patrones de modo en z = 0 . Dado que w ₀ , w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que para el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente . Se puede ver que con l = m = 0 obtenemos el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente (ya que H ₀ = 1 ). La única diferencia específica en la x y Y perfiles en cualquier z son debido a los factores de polinomios de Hermite para los números de orden l y m . Sin embargo, hay un cambio en la evolución de la fase Gouy de los modos sobre z :

${\ Displaystyle \ psi (z) = (N + 1) \, \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right),}$

donde el orden combinado del modo N se define como N = l + m . Mientras que el cambio de fase de Gouy para el modo gaussiano fundamental (0,0) solo cambia en ± π / 2 radianes sobre todo z (y solo en ± π / 4 radianes entre ± z _R ), esto se incrementa en el factor N + 1 para los modos de orden superior.

Los modos gaussianos de Hermite, con su simetría rectangular, son especialmente adecuados para el análisis modal de radiación de láseres cuyo diseño de cavidad es asimétrico de forma rectangular. Por otro lado, los láseres y los sistemas con simetría circular se pueden manejar mejor utilizando el conjunto de modos Laguerre-Gaussianos que se presentan en la siguiente sección.

Modos Laguerre-Gaussianos

Los perfiles de haz que son circularmente simétricos (o láseres con cavidades que son cilíndricamente simétricas) a menudo se resuelven mejor utilizando la descomposición modal Laguerre-Gaussiana. Estas funciones se escriben en coordenadas cilíndricas utilizando polinomios de Laguerre generalizados . Cada modo transversal se etiqueta nuevamente con dos números enteros, en este caso el índice radial p ≥ 0 y el índice azimutal l que puede ser positivo o negativo (o cero):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} u (r, \ phi, z) = {} & C_ {lp} ^ {LG} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \ left ({\ frac {r {\ sqrt {2}}} {w (z)}} \ right) ^ {\! | l |} \ exp \! \ left (\! - {\ frac {r ^ {2}} { w ^ {2} (z)}} \ right) L_ {p} ^ {| l |} \! \ left ({\ frac {2r ^ {2}} {w ^ {2} (z)}} \ derecha) \ times {} \\ & \ exp \! \ left (\! - ik {\ frac {r ^ {2}} {2R (z)}} \ right) \ exp (-il \ phi) \, \ exp (i \ psi (z)), \ end {alineado}}}$

donde L _p ^l son los polinomios de Laguerre generalizados . C^LG
_lp es una constante de normalización requerida:

${\ displaystyle C_ {lp} ^ {LG} = {\ sqrt {\ frac {2p!} {\ pi (p + | l |)!}}} \ Rightarrow \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi \ int _ {0} ^ {\ infty} rdr | u (r, \ phi, z) | ^ {2} = 1}$.

w ( z ) y R ( z ) tienen las mismas definiciones que las anteriores . Al igual que con los modos Hermite-Gaussianos de orden superior, la magnitud del cambio de fase Gouy de los modos Laguerre-Gaussianos es exagerada por el factor N + 1 :

${\ Displaystyle \ psi (z) = (N + 1) \, \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right),}$

donde en este caso el número de modo combinado N = | l | + 2 p . Como antes, las variaciones de amplitud transversal están contenidas en los dos últimos factores en la línea superior de la ecuación, que nuevamente incluye la caída básica de Gauss en r pero ahora multiplicada por un polinomio de Laguerre. El efecto del modo rotacional número l , además de afectar al polinomio de Laguerre, está contenido principalmente en el factor de fase exp (- ilφ ) , en el que el perfil del haz avanza (o retarda) l completar 2 fases π en una rotación. alrededor de la viga (en φ ). Este es un ejemplo de un vórtice óptico de carga topológica l , y puede estar asociado con el momento angular orbital de la luz en ese modo.

Modos ince-gaussianos

En coordenadas elípticas , se pueden escribir los modos de orden superior utilizando polinomios de Ince . Los modos ince-gaussianos pares e impares están dados por

${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} \ left (\ xi, \ eta, z \ right) = {\ frac {w_ {0}} {w \ left (z \ right)}} \ mathrm {C} _ {p } ^ {m} \ left (i \ xi, \ varepsilon \ right) \ mathrm {C} _ {p} ^ {m} \ left (\ eta, \ varepsilon \ right) \ exp \ left [-ik {\ frac {r ^ {2}} {2q \ left (z \ right)}} - \ left (p + 1 \ right) \ zeta \ left (z \ right) \ right],}$

donde ξ y η son las coordenadas elípticas radiales y angulares definidas por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = {\ sqrt {\ varepsilon / 2}} \; w (z) \ cosh \ xi \ cos \ eta, \\ y & = {\ sqrt {\ varepsilon / 2}} \; w (z) \ sinh \ xi \ sin \ eta. \ end {alineado}}}$

C^m
_p( η , ε ) son los polinomios pares de Ince de orden py grado m donde ε es el parámetro de elipticidad. Los modos Hermite-Gaussiano y Laguerre-Gaussiano son un caso especial de los modos Ince-Gaussiano para ε = ∞ y ε = 0 respectivamente.

Modos hipergeométricos-gaussianos

Existe otra clase importante de modos de onda paraxial en coordenadas cilíndricas en las que la amplitud compleja es proporcional a una función hipergeométrica confluente .

Estos modos tienen un perfil de fase singular y son funciones propias del momento angular orbital del fotón . Sus perfiles de intensidad se caracterizan por un solo anillo brillante; al igual que los modos Laguerre-Gaussianos, sus intensidades caen a cero en el centro (en el eje óptico) excepto en el modo fundamental (0,0). La amplitud compleja de un modo se puede escribir en términos de la coordenada radial normalizada (adimensional) ρ = r / w ₀ y la coordenada longitudinal normalizada Ζ = z / z _{R de la} siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} u _ {{\ mathsf {p}} m} (\ rho, \ phi, \ mathrm {Z}) {} = {} & {\ sqrt {\ frac {2 ^ {{ \ mathsf {p}} + | m | +1}} {\ pi \ Gamma ({\ mathsf {p}} + | m | +1)}}} \; {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {\ mathsf {p}} {2}} + | m | +1 \ right)} {\ Gamma (| m | +1)}} \, i ^ {| m | +1} \ times {} \ \ & \ mathrm {Z} ^ {\ frac {\ mathsf {p}} {2}} \, (\ mathrm {Z} + i) ^ {- \ left ({\ frac {\ mathsf {p}} { 2}} + | m | +1 \ right)} \, \ rho ^ {| m |} \ times {} \\ & \ exp \ left (- {\ frac {i \ rho ^ {2}} {\ mathrm {Z} + i}} \ right) \, e ^ {im \ phi} \, {} _ {1} F_ {1} \ left (- {\ frac {\ mathsf {p}} {2}} , | m | +1; {\ frac {\ rho ^ {2}} {\ mathrm {Z} (\ mathrm {Z} + i)}} \ right) \ end {alineado}}}$

donde el índice de rotación m es un número entero y tiene un valor real, Γ ( x ) es la función gamma y ₁ F ₁ ( a , b ; x ) es una función hipergeométrica confluente. ${\ Displaystyle {\ mathsf {p}} \ geq - | m |}$

Algunas subfamilias de modos hipergeométricos-gaussianos (HyGG) se pueden enumerar como los modos Bessel-Gaussianos modificados, los modos Gaussianos exponenciales modificados y los modos Laguerre-Gaussianos modificados.

El conjunto de modos hipergeométricos-gaussianos está demasiado completo y no es un conjunto de modos ortogonal. A pesar de su complicado perfil de campo, los modos HyGG tienen un perfil muy simple en la cintura de la viga ( z = 0 ):

${\ Displaystyle u (\ rho, \ phi, 0) \ propto \ rho ^ {{\ mathsf {p}} + | m |} e ^ {- \ rho ^ {2} + im \ phi}.}$

Ver también

• Haz de Bessel
• Haz de sombrero
• Perfilador de rayo láser

Notas

Referencias

• Bandres, Miguel A .; Gutiérrez-Vega, Julio C. (2004). "Ince vigas gaussianas" . Optar. Lett . OSA. 29 (2): 144-146. Código Bibliográfico : 2004OptL ... 29..144B . doi : 10.1364 / OL.29.000144 . PMID  14743992 .
• Garg, Anupam (2012). Electromagnetismo clásico en pocas palabras . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0691130187.
• Goubau, G .; Schwering, F. (1961). "Sobre la propagación guiada de haces de ondas electromagnéticas". IRE Trans . 9 (3): 248-256. Código bibliográfico : 1961ITAP .... 9..248G . doi : 10.1109 / TAP.1961.1144999 . Señor  0134166 .
• Karimi, E .; Zito, G .; Piccirillo, B .; Marrucci, L .; Santamato, E. (2007). "Vigas hipergeométricas-gaussianas" . Optar. Lett . OSA. 32 (21): 3053-3055. arXiv : 0712.0782 . Código Bibliográfico : 2007OptL ... 32.3053K . doi : 10.1364 / OL.32.003053 . PMID  17975594 .
• Mandel, Leonard; Wolf, Emil (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2. Capítulo 5, "Rayos ópticos", págs. 267.
• Pampaloni, F .; Enderlein, J. (2004). "Vigas Gaussianas, Hermite-Gaussianas y Laguerre-Gaussianas: una cartilla". arXiv : física / 0410021 .
• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentos de la fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. Capítulo 3, "Beam Optics", págs. 80-107.
• Siegman, Anthony E. (1986). Láseres . Libros de ciencia universitaria. ISBN 0-935702-11-3. Capítulo 16.
• Svelto, Orazio (2010). Principios de los láseres (5ª ed.).
• Yariv, Amnon (1989). Electrónica cuántica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8.

enlaces externos

• Tutorial de óptica de haz gaussiano, Newport