Factor Gamow - Gamow factor

El factor Gamow o factor Gamow-Sommerfeld , que lleva el nombre de su descubridor George Gamow , es un factor de probabilidad de la posibilidad de dos partículas nucleares de superar la barrera de Coulomb para sufrir reacciones nucleares, por ejemplo, en la fusión nuclear . Según la física clásica , casi no hay posibilidad de que los protones se fusionen cruzando la barrera de Coulomb entre sí a temperaturas que comúnmente se observa que causan fusión, como las que se encuentran en el sol . Cuando George Gamow, en cambio, aplicó la mecánica cuántica al problema, descubrió que había una posibilidad significativa de fusión debido a los túneles .

La probabilidad de que dos partículas nucleares superen sus barreras electrostáticas viene dada por la siguiente ecuación:

${\ Displaystyle P_ {g} (E) = e ^ {- {\ sqrt {\ frac {E_ {g}} {E}}}}}$

¿Dónde está la energía Gamow? ${\ Displaystyle E_ {g}}$

${\ Displaystyle E_ {g} \ equiv 2m_ {r} c ^ {2} (\ pi \ alpha Z_ {a} Z_ {b}) ^ {2}}$

Aquí, está la masa reducida de las dos partículas. La constante es la constante de estructura fina , es la velocidad de la luz , y y son los respectivos números atómicos de cada partícula. ${\ Displaystyle m_ {r} = {\ frac {m_ {a} m_ {b}} {m_ {a} + m_ {b}}}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle Z_ {a}}$${\ Displaystyle Z_ {b}}$

Si bien la probabilidad de superar la barrera de Coulomb aumenta rápidamente con el aumento de la energía de las partículas, para una temperatura dada, la probabilidad de que una partícula tenga esa energía disminuye muy rápidamente, como se describe en la distribución de Maxwell-Boltzmann . Gamow descubrió que, tomados en conjunto, estos efectos significan que para cualquier temperatura dada, las partículas que se fusionan se encuentran principalmente en un rango estrecho de energías dependiente de la temperatura conocido como la ventana de Gamow .

Derivación

Gamow resolvió primero el caso unidimensional de túnel cuántico utilizando la aproximación WKB . Considerando una función de onda de una partícula de masa m , tomamos el área 1 como el lugar donde se emite una onda, el área 2 la barrera potencial que tiene altura V y ancho l (en ), y el área 3 su otro lado, donde la onda es llegando, en parte transmitida y en parte reflejada. Para un número de onda k y energía E obtenemos: ${\ Displaystyle 0 <x <l}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {1} = Ae ^ {i (kx + \ alpha)} e ^ {- i {\ frac {E} {\ hbar}} t}}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {2} = B_ {1} e ^ {- k'x} + B_ {2} e ^ {k'x}}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {3} = (C_ {1} e ^ {- i (kx + \ beta)} + C_ {2} e ^ {i (kx + \ beta ')}) e ^ {- i {\ frac {E} {\ hbar}} t}}$

donde y . Esto se resuelve para A y α dados tomando las condiciones de frontera en ambos bordes de la barrera, en y , donde ambos y su derivada deben ser iguales en ambos lados. Porque , esto se resuelve fácilmente ignorando el tiempo exponencial y considerando solo la parte real (la parte imaginaria tiene el mismo comportamiento). Obtenemos, hasta factores que dependen de las fases que son típicamente de orden 1, y hasta factores del orden de (se supone que no es muy grande, ya que V es mayor que E no marginalmente): ${\ Displaystyle k = {\ sqrt {2mE}}}$${\ Displaystyle k '= {\ sqrt {2m (VE)}}}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = l}$${\ Displaystyle \ Psi}$${\ Displaystyle k'l \ gg 1}$${\ Displaystyle {\ frac {k} {k '}} = {\ sqrt {\ frac {E} {VE}}}}$

${\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2} \ approx A}$

${\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2} \ approx {\ frac {1} {2}} A \ cdot {\ frac {k '} {k}} \ cdot e ^ {k'l}}$

A continuación, Gamow modeló la desintegración alfa como un problema unidimensional simétrico, con una onda estacionaria entre dos barreras potenciales simétricas en y , y emitiendo ondas en ambos lados exteriores de las barreras. En principio, se puede resolver esto tomando la solución del primer problema, traduciéndola y pegándola a una solución idéntica reflejada alrededor . ${\ Displaystyle q_ {0} <x <q_ {0} + l}$${\ Displaystyle - (q_ {0} + l) <x <-q_ {0}}$${\ Displaystyle q_ {0}}$${\ Displaystyle x = 0}$

Debido a la simetría del problema, las ondas emisoras en ambos lados deben tener amplitudes iguales ( A ), pero sus fases ( α ) pueden ser diferentes. Esto da un único parámetro adicional; sin embargo, pegar las dos soluciones en requiere dos condiciones de contorno (tanto para la función de onda como para su derivada), por lo que en general no hay solución. En particular, reescribiendo (después de la traducción por ) como una suma de un coseno y un seno de , cada uno con un factor diferente que depende de k y α , el factor del seno debe desaparecer, de modo que la solución se pueda pegar simétricamente a su reflejo. Dado que el factor es en general complejo (por lo que su desaparición impone dos restricciones, que representan las dos condiciones de frontera), esto puede resolverse en general agregando una parte imaginaria de k , lo que da el parámetro adicional necesario. Por tanto, E también tendrá una parte imaginaria. ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle \ Psi _ {3}}$${\ Displaystyle q_ {0}}$${\ displaystyle kx}$

El significado físico de esto es que la onda estacionaria en el medio decae; las ondas emitidas recién emitidas tienen, por tanto, amplitudes más pequeñas, de modo que su amplitud decae con el tiempo pero crece con la distancia. La constante de desintegración, denominada λ , se supone pequeña en comparación con . ${\ Displaystyle E / \ hbar}$

λ se puede estimar sin resolver explícitamente, notando su efecto sobre la probabilidad actual de la ley de conservación. Dado que la probabilidad fluye desde el medio hacia los lados, tenemos:

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ parcial t}} \ int _ {- (q_ {0} + l)} ^ {(q_ {0} + l)} \ Psi ^ {*} \ Psi dx = 2 \ cdot {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi _ {1} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {!}} {\ Partial x}} - \ Psi _ {1} {\ frac {\ parcial \ Psi _ {1} ^ {*}} {\ parcial x}} \ derecha),}$

Tenga en cuenta que el factor de 2 se debe a tener dos ondas emitidas.

Tomando , esto da: ${\ Displaystyle \ Psi \ sim e ^ {- \ lambda t}}$

${\ Displaystyle \ lambda \ cdot {\ frac {1} {4}} \ cdot 2 (q_ {0} + l) A ^ {2} {\ frac {k '^ {2}} {k ^ {2} }} \ cdot e ^ {2k'l} \ approx 2 {\ frac {\ hbar} {m}} A ^ {2} k,}$

Dado que la dependencia cuadrática en es despreciable en relación con su dependencia exponencial, podemos escribir: ${\ displaystyle k'l}$

${\ Displaystyle \ lambda \ approx {\ frac {\ hbar k} {m (q_ {0} + l)}} {\ frac {k ^ {2}} {k '^ {2}}} \ cdot e ^ {-2k'l}}$

Recordando que la parte imaginaria agregada a k es mucho más pequeña que la parte real, ahora podemos descuidarla y obtener:

${\ Displaystyle \ lambda \ approx {\ frac {\ hbar k} {m2 (q_ {0} + l)}} \ cdot 8 {\ frac {E} {VE}} \ cdot e ^ {- 2 {\ sqrt {2m (VE)}} l / \ hbar}}$

Tenga en cuenta que es la velocidad de la partícula, por lo que el primer factor es la velocidad clásica a la que la partícula atrapada entre las barreras las golpea. ${\ Displaystyle {\ frac {\ hbar k} {m}}}$

Finalmente, pasando al problema tridimensional, la ecuación de Schrödinger esféricamente simétrica dice (expandiendo la función de onda en armónicos esféricos y mirando el enésimo término): ${\ Displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ chi (r) u (\ theta, \ phi)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + {\ frac {2} {r }} {d \ chi} {dr} \ right) = \ left (V (r) + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} - E \ derecha) \ chi}$

Dado que equivale a aumentar el potencial y, por lo tanto, a reducir sustancialmente la tasa de caída (dada su dependencia exponencial de ), nos enfocamos y obtenemos un problema muy similar al anterior con , excepto que ahora el potencial en función de r no es una función de paso. ${\ Displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle {\ sqrt {VE}}}$${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle \ chi (r) = \ Psi (r) / r}$

El principal efecto de esto en las amplitudes es que debemos reemplazar el argumento en el exponente, tomando una integral de sobre la distancia donde en lugar de multiplicar por l . Tomamos el potencial de Coulomb : ${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2m (VE)}} / \ hbar}$${\ Displaystyle V (r)> E}$

${\ Displaystyle V (r) = {\ frac {z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {r}}}$

donde es la constante de Coulomb , e la carga del electrón , z = 2 es el número de carga de la partícula alfa y Z el número de carga del núcleo ( Z - z después de emitir la partícula). Los límites de integración son a continuación , donde suponemos que la energía potencial nuclear es todavía relativamente pequeño, y , que es donde la energía potencial negativo nuclear es lo suficientemente grande como para que el potencial total es menor que E . Por tanto, el argumento del exponente en λ es: ${\ Displaystyle k_ {e}}$${\ Displaystyle r_ {2} = {\ frac {z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {E}}}$${\ Displaystyle r_ {1}}$

${\ Displaystyle 2 {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {V (r)} {E }} - 1}} \, dr = 2 {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {\ sqrt {{\ frac { r_ {2}} {r}} - 1}} \, dr}$

Esto se puede resolver sustituyendo y luego y despejando θ, dando: ${\ Displaystyle t = {\ sqrt {r / r_ {2}}}}$${\ Displaystyle t = cos (\ theta)}$

${\ Displaystyle 2 \ cdot r_ {2} {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ cdot (\ cos ^ {- 1} (x) - {\ sqrt {x}} {\ sqrt { 1-x}}) = 2 {\ frac {{\ sqrt {2m}} z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {\ hbar {\ sqrt {E}}}} \ cdot (\ cos ^ {- 1} (x) - {\ sqrt {x}} {\ sqrt {1-x}})}$

donde . Como x es pequeño, el factor dependiente de x es de orden 1. ${\ Displaystyle x = r_ {1} / r_ {2}}$

Gamow asumió , reemplazando así el factor dependiente de x por , dando: con: ${\ Displaystyle x \ ll 1}$${\ Displaystyle \ pi / 2}$${\ Displaystyle \ lambda \ sim e ^ {- {\ sqrt {\ frac {E_ {g}} {E}}}}}$

${\ Displaystyle E_ {g} = {\ frac {2 \ pi ^ {2} m \ left [z (Zz) k_ {e} e ^ {2} \ right] ^ {2}} {\ hbar ^ {2 }}}}$

que es la misma que la fórmula dada al principio del artículo con , y la estructura fina es constante . ${\ Displaystyle Z_ {a} = z}$${\ Displaystyle Z_ {b} = Zz}$${\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {k_ {e} e ^ {2}} {\ hbar c}}}$

Para una desintegración alfa del radio , Z = 88, z = 2 ym = 4 m _p , E _G es aproximadamente 50 GeV . Gamow calculó que la pendiente de con respecto a E a una energía de 5 MeV es ~ 10 ¹⁴ joule ⁻¹ , en comparación con el valor experimental de joule ⁻¹ . ${\ Displaystyle \ log (\ lambda)}$${\ Displaystyle 0.7 \ cdot 10 ^ {14}}$

Referencias

enlaces externos

• Modelado de la vida media alfa (Universidad Estatal de Georgia)