Serie de Fourier-Bessel - Fourier–Bessel series

En matemáticas , la serie de Fourier-Bessel es un tipo particular de serie de Fourier generalizada (una expansión de serie infinita en un intervalo finito) basada en funciones de Bessel .

Las series de Fourier-Bessel se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales parciales , particularmente en sistemas de coordenadas cilíndricas . La serie formada por la función de Bessel del primer tipo se conoce como serie de Schlömilch .

Definición

La serie de Fourier-Bessel de una función f (x) con un dominio de [0, b ] que satisface f (b) = 0

${\ displaystyle f: [0, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$

es la representación de esa función como una combinación lineal de muchas versiones ortogonales de la misma función de Bessel del primer tipo J _α , donde el argumento de cada versión n tiene una escala diferente, de acuerdo con

${\ Displaystyle (J _ {\ alpha}) _ {n} (x): = J _ {\ alpha} \ left ({\ frac {u _ {\ alpha, n}} {b}} x \ right)}$

donde u _{α, n} es una raíz , numerada n asociada con la función de Bessel J _α y c _n son los coeficientes asignados:

${\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} J _ {\ alpha} \ left ({\ frac {u _ {\ alpha, n}} {b}} x \ derecha).}$

Interpretación

La serie de Fourier-Bessel se puede considerar como una expansión de Fourier en la coordenada ρ de coordenadas cilíndricas . Así como la serie de Fourier se define para un intervalo finito y tiene una contraparte, la transformada de Fourier continua en un intervalo infinito, la serie de Fourier-Bessel tiene una contraparte en un intervalo infinito, a saber, la transformada de Hankel .

Calcular los coeficientes

Como se dijo, las funciones de Bessel de diferentes escalas son ortogonales con respecto al producto interno

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {b} xf (x) g (x) \ mathrm {d} x}$

de acuerdo a

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} xJ _ {\ alpha} (xu _ {\ alpha, n}) \, J _ {\ alpha} (xu _ {\ alpha, m}) \, dx = {\ frac {\ delta _ {mn}} {2}} [J _ {\ alpha +1} (u _ {\ alpha, n})] ^ {2}}$,

(donde: es el delta de Kronecker). Los coeficientes se pueden obtener proyectando la función f (x) sobre las respectivas funciones de Bessel: ${\ Displaystyle {\ delta _ {mn}}}$

${\ Displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ langle f, (J _ {\ alpha}) _ {n} \ rangle} {\ langle (J _ {\ alpha}) _ {n}, (J _ {\ alpha }) _ {n} \ rangle}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {b} xf (x) (J _ {\ alpha}) _ {n} (x) \ mathrm {d} x} {{\ frac {1} {2}} (bJ _ {\ alpha \ pm 1} (u _ {\ alpha, n})) ^ {2}}}}$

donde el signo más o menos es igualmente válido.

Solicitud

La expansión de la serie de Fourier-Bessel emplea como base funciones de Bessel aperiódicas y en descomposición. La expansión de la serie Fourier-Bessel se ha aplicado con éxito en áreas diversificadas como diagnóstico de fallas de engranajes, discriminación de olores en un ambiente turbulento, análisis de estabilidad postural, detección del tiempo de inicio de la voz, detección de instantes de cierre glotal (época), separación de formantes del habla, Segmentación de la señal de EEG, mejora del habla e identificación del hablante. La expansión de la serie Fourier-Bessel también se ha utilizado para reducir los términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville.

Serie Dini

Una segunda serie de Fourier-Bessel, también conocida como serie de Dini , está asociada con la condición de frontera de Robin.

${\ Displaystyle bf '(b) + cf (b) = 0}$, donde es una constante arbitraria.${\ Displaystyle c}$

La serie Dini se puede definir por

${\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} J _ {\ alpha} (\ gamma _ {n} x / b)}$,

donde es el n- ésimo cero de . ${\ Displaystyle \ gamma _ {n}}$${\ Displaystyle xJ '_ {\ alpha} (x) + cJ _ {\ alpha} (x)}$

Los coeficientes están dados por ${\ Displaystyle b_ {n}}$

${\ Displaystyle b_ {n} = {\ frac {2 \ gamma _ {n} ^ {2}} {b ^ {2} (c ^ {2} + \ gamma _ {n} ^ {2} - \ alpha ^ {2}) J _ {\ alpha} ^ {2} (\ gamma _ {n})}} \ int _ {0} ^ {b} J _ {\ alpha} (\ gamma _ {n} x / b) \, f (x) \, x \, dx.}$

Ver también

• Ortogonalidad
• Serie de Fourier generalizada
• Transformada de Hankel
• Polinomio de Neumann

Referencias

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enlaces externos

• "Serie de Fourier-Bessel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric. W . "Serie de Fourier-Bessel" . De MathWorld: un recurso web de Wolfram .
• Serie Fourier-Bessel aplicada al análisis de campo acústico en la página de investigación de Trinnov Audio