4 colectores - 4-manifold

En matemáticas , una variedad de 4 es una variedad topológica de 4 dimensiones . Un colector liso de 4 es un colector de 4 con una estructura lisa . En la dimensión cuatro, en marcado contraste con las dimensiones inferiores, las variedades topológicas y suaves son bastante diferentes. Existen algunas variedades 4 topológicas que no admiten una estructura suave, e incluso si existe una estructura suave, no es necesario que sea única (es decir, hay variedades 4 suaves que son homeomorfas pero no difeomórficas ).

Las variedades 4 son importantes en física porque en la Relatividad General , el espacio-tiempo se modela como una variedad 4 pseudo-Riemanniana .

4 colectores topológicos

El tipo de homotopía de un colector 4 compacto simplemente conectado solo depende de la forma de intersección en la homología dimensional media. Un famoso teorema de Michael Freedman  ( 1982 ) implica que el tipo de homeomorfismo de la variedad solo depende de esta forma de intersección, y de un invariante llamado invariante de Kirby-Siebenmann , y además que puede surgir toda combinación de forma unimodular e invariante de Kirby-Siebenmann. , excepto que si la forma es par, entonces el invariante de Kirby-Siebenmann debe ser la firma / 8 (mod 2).

Ejemplos:

  • En el caso especial cuando la forma es 0, esto implica la conjetura topológica de Poincaré de 4 dimensiones .
  • Si la forma es la celosía E8 , esto da una variedad llamada variedad E8 , una variedad que no es homeomorfa a ningún complejo simplicial .
  • Si la forma es , hay dos variedades dependiendo del invariante de Kirby-Siebenmann: una es un espacio proyectivo complejo bidimensional y la otra es un espacio proyectivo falso, con el mismo tipo de homotopía pero no homeomórfico (y sin estructura suave) .
  • Cuando el rango de la forma es mayor que aproximadamente 28, el número de formas unimodulares definidas positivas comienza a aumentar extremadamente rápidamente con el rango, por lo que hay un gran número de 4-variedades topológicas correspondientes simplemente conectadas (la mayoría de las cuales parecen ser de casi no hay interés).

La clasificación de Freedman puede extenderse a algunos casos en los que el grupo fundamental no es demasiado complicado; por ejemplo, cuando lo es , hay una clasificación similar a la anterior usando formas hermitianas sobre el anillo de grupo de . Si el grupo fundamental es demasiado grande (por ejemplo, un grupo libre en 2 generadores), entonces las técnicas de Freedman parecen fallar y se sabe muy poco sobre tales variedades.

Para cualquier grupo presentado de manera finita , es fácil construir un colector 4 compacto (suave) con él como su grupo fundamental. Como no existe un algoritmo para decir si dos grupos presentados de forma finita son isomórficos (incluso si se sabe que uno es trivial), no existe un algoritmo para decir si dos 4 variedades tienen el mismo grupo fundamental. Esta es una de las razones por las que gran parte del trabajo sobre 4 variedades solo considera el caso simplemente conectado: ya se sabe que el caso general de muchos problemas es intratable.

4 colectores lisos

Para las variedades de dimensión 6 como máximo, cualquier estructura lineal por partes (PL) se puede suavizar de una manera esencialmente única, por lo que, en particular, la teoría de las variedades PL de 4 dimensiones es muy parecida a la teoría de las variedades suaves de 4 dimensiones.

Un gran problema abierto en la teoría de los 4 colectores suaves es clasificar los compactos simplemente conectados. Como se conocen los topológicos, esto se divide en dos partes:

  1. ¿Qué variedades topológicas se pueden suavizar?
  2. Clasifique las diferentes estructuras lisas en un colector que se pueda suavizar.

Hay una respuesta casi completa al primer problema de que los 4 colectores compactos simplemente conectados tienen estructuras lisas. Primero, la clase Kirby-Siebenmann debe desaparecer.

  • Si la forma de la intersección es definida, el teorema de Donaldson ( Donaldson 1983 ) da una respuesta completa: hay una estructura suave si y solo si la forma es diagonalizable.
  • Si la forma es indefinida e impar, hay una estructura suave.
  • Si la forma es indefinida e incluso podemos suponer que es de firma no positiva cambiando de orientación si es necesario, en cuyo caso es isomorfo a una suma de m copias de II 1,1 y 2 n copias de E 8 (- 1) para algunos m y n . Si m ≥ 3 n (de modo que la dimensión es al menos 11/8 veces la | firma |) entonces hay una estructura suave, dada al tomar una suma conectada de n superficies K3 y m  - 3 n copias de S 2 × S 2 . Si m ≤ 2 n (por lo que la dimensión es como máximo 10/8 veces la | firma |), Furuta demostró que no existe una estructura suave ( Furuta 2001 ). Esto deja una pequeña brecha entre 10/8 y 11/8 donde la respuesta es mayormente desconocida. (El caso más pequeño no cubierto anteriormente tiene n = 2 ym = 5, pero esto también se ha descartado, por lo que el enrejado más pequeño para el que actualmente no se conoce la respuesta es el enrejado II 7,55 del rango 62 con n = 3 y m . = 7 Ver para el progreso reciente (a partir de 2019) en esta área) los estados "11/8" conjetura de que no existen estructuras lisas si la dimensión es inferior a 11/8 veces el |. firma |.

Por el contrario, se sabe muy poco sobre la segunda cuestión de clasificar las estructuras lisas en un 4-múltiple suavizable; de hecho, no hay un solo 4-múltiple suavizable donde se conoce la respuesta. Donaldson demostró que hay algunos 4 colectores compactos simplemente conectados, como las superficies Dolgachev , con un número infinitamente contable de estructuras lisas diferentes. Hay un número incontable de diferentes estructuras suaves en R 4 ; ver exótica R 4 . Fintushel y Stern mostraron cómo utilizar la cirugía para construir un gran número de diferentes estructuras lisas (indexadas por polinomios integrales arbitrarios) en muchas variedades diferentes, utilizando invariantes de Seiberg-Witten para mostrar que las estructuras lisas son diferentes. Sus resultados sugieren que cualquier clasificación de 4 colectores lisos simplemente conectados será muy complicada. Actualmente no hay conjeturas plausibles sobre cómo se vería esta clasificación. (Algunas conjeturas tempranas de que todos los 4-variedades lisas simplemente conectadas podrían ser sumas conectadas de superficies algebraicas, o variedades simplécticas , posiblemente con orientaciones invertidas, han sido refutadas).

Fenómenos especiales en 4 dimensiones

Hay varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones como máximo 3, y por métodos completamente diferentes de alta dimensión en dimensión al menos 5, pero que son falsos en dimensión 4. Aquí hay algunos ejemplos:

  • En dimensiones distintas de 4, el invariante de Kirby-Siebenmann proporciona la obstrucción a la existencia de una estructura PL; en otras palabras, una variedad topológica compacta tiene una estructura PL si y solo si su invariante Kirby-Siebenmann en H 4 ( M , Z / 2 Z ) desaparece. En la dimensión 3 e inferior, cada variedad topológica admite una estructura PL esencialmente única. En la dimensión 4 hay muchos ejemplos con invariante de Kirby-Siebenmann que desaparece pero sin estructura PL.
  • En cualquier dimensión distinta de 4, un colector topológico compacto tiene solo un número finito de PL o estructuras lisas esencialmente distintas. En la dimensión 4, los colectores compactos pueden tener un número infinito numerable de estructuras lisas no difeomórficas.
  • Cuatro es la única dimensión n para la que R n puede tener una estructura suave exótica. R 4 tiene un número incontable de exóticas estructuras lisas; ver exótica R 4 .
  • La solución a la conjetura suave de Poincaré se conoce en todas las dimensiones excepto en 4 (generalmente es falsa en dimensiones de al menos 7; ver esfera exótica ). La conjetura de Poincaré para las variedades PL se ha probado para todas las dimensiones excepto 4, pero no se sabe si es cierta en 4 dimensiones (es equivalente a la conjetura suave de Poincaré en 4 dimensiones).
  • El teorema de h-cobordismo suave se aplica a los cobordismos siempre que ni el cobordismo ni su límite tengan dimensión 4. Puede fallar si el límite del cobordismo tiene dimensión 4 (como lo muestra Donaldson ). Si el cobordismo tiene dimensión 4, entonces se desconoce si se cumple el teorema de h-cobordismo.
  • Una variedad topológica de dimensión no igual a 4 tiene una descomposición del cuerpo del mango. Los colectores de dimensión 4 tienen una descomposición del cuerpo del mango si y solo si son alisados.
  • Hay variedades topológicas compactas de 4 dimensiones que no son homeomorfas para ningún complejo simplicial. En la dimensión al menos 5, la existencia de variedades topológicas no homeomorfas para un complejo simplicial era un problema abierto. Ciprian Manolescu demostró que hay variedades en cada dimensión mayores o iguales a 5, que no son homeomorfas a un complejo simplicial.

Fallo del truco de Whitney en dimensión 4

Según Frank Quinn , "dos subvariedades n- dimensionales de una variedad de dimensión 2 n generalmente se intersecarán entre sí en puntos aislados. El " truco de Whitney " usa una isotopía a través de un disco de 2 incrustado para simplificar estas intersecciones. esto reduce el estudio de incrustaciones n- dimensionales a incrustaciones de 2 discos. Pero esto no es una reducción cuando la incrustación es 4: los 2 discos en sí son de dimensión media, por lo que tratar de incrustarlos encuentra exactamente los mismos problemas que se supone para resolver. Este es el fenómeno que separa la dimensión 4 de las demás ".

Ver también

Referencias