Ecuación de Fisher - Fisher's equation

Simulación numérica de la ecuación de Fisher-KPP. En colores: la solución u ( t , x ); en puntos: pendiente correspondiente a la velocidad teórica de la onda viajera.

Ronald Fisher en 1913

En matemáticas , la ecuación de Fisher (que lleva el nombre del estadístico y biólogo Ronald Fisher ), también conocida como la ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (que lleva el nombre de Andrey Kolmogorov , Ivan Petrovsky y Nikolai Piskunov ), la ecuación de KPP o la ecuación de Fisher-KPP es la ecuación diferencial parcial :

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} - D {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} = ru (1-u). \ ,}

Es un tipo de sistema de reacción-difusión que se puede utilizar para modelar el crecimiento de la población y la propagación de ondas.

Detalles

La ecuación de Fisher pertenece a la clase de ecuación de reacción-difusión : de hecho, es una de las ecuaciones de reacción-difusión semilineales más simples, la que tiene el término no homogéneo

{\ Displaystyle f (u, x, t) = ru (1-u), \,}

que puede exhibir soluciones de ondas viajeras que cambian entre estados de equilibrio dados por . Tales ecuaciones ocurren, por ejemplo, en ecología , fisiología , combustión , cristalización , física del plasma y en problemas generales de transición de fase . ${\ Displaystyle f (u) = 0}$

Fisher propuso esta ecuación en su artículo de 1937 La ola de avance de genes ventajosos en el contexto de la dinámica de poblaciones para describir la expansión espacial de un alelo ventajoso y exploró sus soluciones de ondas viajeras. Para cada velocidad de onda ( en forma adimensional) admite soluciones de onda viajera de la forma ${\ Displaystyle c \ geq 2 {\ sqrt {rD}}}$ ${\ Displaystyle c \ geq 2}$

{\ Displaystyle u (x, t) = v (x \ pm ct) \ equiv v (z), \,}

donde esta aumentando y ${\ Displaystyle \ textstyle v}$

{\ Displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow - \ infty} v \ left (z \ right) = 0, \ quad \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} v \ left (z \ right) = 1.}

Es decir, la solución cambia del estado de equilibrio u = 0 al estado de equilibrio u = 1. No existe tal solución para c <2. La forma de onda para una velocidad de onda dada es única. Las soluciones de ondas viajeras son estables frente a perturbaciones de campo cercano, pero no frente a perturbaciones de campo lejano que pueden engrosar la cola. Se puede probar utilizando el principio de comparación y la teoría de superesoluciones que todas las soluciones con datos iniciales compactos convergen en ondas con la velocidad mínima.

Para la velocidad de onda especial , todas las soluciones se pueden encontrar en forma cerrada, con ${\ Displaystyle c = \ pm 5 / {\ sqrt {6}}}$

{\ Displaystyle v (z) = \ left (1 + C \ mathrm {exp} \ left (\ mp {z} / {\ sqrt {6}} \ right) \ right) ^ {- 2}}

donde es arbitrario y se cumplen las condiciones límite anteriores . ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C> 0}$

La prueba de la existencia de soluciones de ondas viajeras y el análisis de sus propiedades se realiza a menudo mediante el método del espacio de fase .

Ecuación de KPP

En el mismo año (1937) cuando Fisher, Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov introdujeron la ecuación de reacción-difusión más general

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} = F (u)}

donde es una función suficientemente suave con las propiedades que y para todos . Esto también tiene las soluciones de ondas viajeras discutidas anteriormente. La ecuación de Fisher se obtiene al establecer y reescalar la coordenada por un factor de . Un ejemplo más general lo da with . Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov discutieron el ejemplo en el contexto de la genética de poblaciones . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F (0) = F (1) = 1, F '(0) = r> 0}$ ${\ Displaystyle F (v)> 0, F '(v) <r}$ ${\ Displaystyle 0 <v <1}$ ${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u)}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {D}}}$ ${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u ^ {q})}$ ${\ Displaystyle q> 0}$ ${\ Displaystyle q = 2}$