Ejercicio (matemáticas) - Exercise (mathematics)

Un ejercicio matemático es una aplicación rutinaria de álgebra u otras matemáticas a un desafío establecido. Los profesores de matemáticas asignan ejercicios matemáticos para desarrollar las habilidades de sus alumnos. Los primeros ejercicios tratan de la suma , resta , multiplicación y división de números enteros . Los cursos extensivos de ejercicios en la escuela extienden esta aritmética a los números racionales . Varios enfoques de la geometría han basado ejercicios en relaciones de ángulos , segmentos y triángulos . El tema de la trigonometría obtiene muchos de sus ejercicios de las identidades trigonométricas . En la universidad, los ejercicios de matemáticas a menudo dependen de funciones de una variable real o de la aplicación de teoremas . Los ejercicios estándar de cálculo implican encontrar derivadas e integrales de funciones específicas.

Por lo general, los instructores preparan a los estudiantes con ejemplos resueltos : se establece el ejercicio y luego se proporciona una respuesta modelo. A menudo, se demuestran varios ejemplos prácticos antes de que los estudiantes estén preparados para intentar los ejercicios por sí mismos. Algunos textos, como los de Schaum's Outlines , se centran en ejemplos resueltos más que en el tratamiento teórico de un tema matemático.

Visión general

Según Lev Vygotsky , los ejercicios apropiados se encuentran en una zona donde los estudiantes pueden completar la tarea con orientación.

En la escuela primaria, los estudiantes comienzan con ejercicios aritméticos de un solo dígito . Posteriormente, la mayoría de los ejercicios involucran al menos dos dígitos. Un ejercicio común de álgebra elemental requiere la factorización de polinomios . Otro ejercicio es completar el cuadrado en un polinomio cuadrático . Un problema verbal producido artificialmente es un género de ejercicio destinado a mantener la relevancia de las matemáticas. Stephen Leacock describió este tipo:

El estudiante de aritmética que ha dominado las primeras cuatro reglas de su arte y se ha esforzado con éxito con las sumas y fracciones se enfrenta a una ininterrumpida extensión de cuestiones conocidas como problemas. Estas son historias cortas de aventura e industria con el final omitido y, aunque traicionan un fuerte parecido familiar, no carecen de cierto elemento de romance.

Alan H. Schoenfeld hizo una distinción entre un ejercicio y un problema matemático :

Los estudiantes deben dominar el tema relevante y los ejercicios son apropiados para eso. Pero si los ejercicios de memoria son el único tipo de problemas que los estudiantes ven en sus clases, les estamos haciendo un flaco favor a los estudiantes.

Abogó por establecer desafíos:

Por "problemas reales" ... me refiero a tareas matemáticas que suponen un desafío honesto para el alumno y en las que el alumno necesita trabajar para obtener una solución.

Marvin Bittinger expresó un sentimiento similar cuando preparó la segunda edición de su libro de texto:

En respuesta a los comentarios de los usuarios, los autores han agregado ejercicios que requieren algo del estudiante más que la comprensión de los objetivos inmediatos de la lección en cuestión, pero que no son necesariamente muy desafiantes.

La zona de desarrollo próximo de cada estudiante, o cohorte de estudiantes, establece los ejercicios en un nivel de dificultad que los desafía pero no los frustra.

Algunos comentarios en el prefacio de un libro de texto de cálculo muestran el lugar central de los ejercicios en el libro:

Los ejercicios comprenden aproximadamente una cuarta parte del texto, la parte más importante del texto en nuestra opinión. ... Los ejercicios complementarios al final de cada capítulo amplían los otros conjuntos de ejercicios y proporcionan ejercicios acumulativos que requieren las habilidades de los capítulos anteriores.

Este texto incluye "Funciones y gráficos en aplicaciones" (Capítulo 0.6) que son catorce páginas de preparación para problemas de palabras.

Los autores de un libro sobre campos finitos eligieron libremente sus ejercicios:

Para mejorar el atractivo de este libro como libro de texto , hemos incluido ejemplos resueltos en puntos apropiados del texto y hemos incluido listas de ejercicios para los Capítulos 1 al 9. Estos ejercicios van desde problemas de rutina hasta demostraciones alternativas de teoremas clave. , pero también contiene material que va más allá de lo que se cubre en el texto.

JC Maxwell explicó cómo el ejercicio facilita el acceso al lenguaje de las matemáticas :

Como matemáticos, realizamos ciertas operaciones mentales sobre los símbolos de número o cantidad y, pasando paso a paso de operaciones más simples a operaciones más complejas, estamos capacitados para expresar lo mismo en muchas formas diferentes. La equivalencia de estas diferentes formas, aunque es una consecuencia necesaria de axiomas evidentes por sí mismos, no siempre es, para nuestras mentes, evidente por sí misma; pero el matemático, que con una larga práctica se ha familiarizado con muchas de estas formas y se ha vuelto experto en los procesos que conducen de una a otra, a menudo puede transformar una expresión desconcertante en otra que explique su significado en un lenguaje más inteligible.

Los instructores individuales de varias universidades utilizan ejercicios como parte de sus cursos de matemáticas. Al investigar la resolución de problemas en las universidades, Schoenfeld señaló:

Ofertas de la división superior para los estudiantes de matemáticas, donde la mayoría de los estudiantes trabajaron en colecciones de problemas que habían sido compilados por sus instructores individuales. En tales cursos, el énfasis estaba en aprender haciendo, sin un intento de enseñar heurísticas específicas: los estudiantes trabajaron muchos problemas porque (de acuerdo con el modelo de instrucción implícito detrás de tales cursos) así es como uno se vuelve bueno en matemáticas.

Dichas colecciones de ejercicios pueden ser propiedad del instructor y su institución. Como ejemplo del valor de las series de ejercicios, considere el logro de Toru Kumon y su método Kumon . En su programa, un estudiante no procede antes del dominio de cada nivel de ejercicio. En la Escuela Rusa de Matemáticas , los estudiantes comienzan con problemas de varios pasos desde el primer grado, y aprenden a aprovechar los resultados anteriores para avanzar hacia la solución.

En la década de 1960, se tradujeron del ruso colecciones de ejercicios matemáticos y fueron publicados por WH Freeman and Company : The USSR Olympiad Problem Book (1962), Problems in Higher Algebra (1965) y Problems in Differential Equations (1963).

Historia

En China, desde la antigüedad se usaban varas de contar para representar números, y la aritmética se realizaba con el cálculo de varas y más tarde el suanpan . El Libro sobre Números y Computación y los Nueve Capítulos sobre Arte Matemático incluyen ejercicios que son ejemplos de álgebra lineal .

Aproximadamente en el año 980, Al-Sijzi escribió sus Maneras de facilitar la derivación de figuras geométricas , que fue traducido y publicado por Jan Hogendijk en 1996.

Una colección de ejercicios en árabe recibió una traducción al español como Compendio de Algebra de Abenbéder y se revisó en Nature .

En Europa antes de 1900, la ciencia de la perspectiva gráfica enmarcaba ejercicios geométricos. Por ejemplo, en 1719 Brook Taylor escribió en New Principles of Linear Perspective

[El lector] encontrará mucho más placer en observar cuán extensos son estos Principios, aplicándolos a Casos particulares que él mismo ideará, mientras se ejercita en este Arte, ...

Taylor continuó

... porque la verdadera y mejor manera de aprender cualquier Arte, es no ver una gran cantidad de Ejemplos hechos por otra Persona; sino poseer uno mismo primero de los Principios de la misma, y ​​luego hacerlos familiares, ejercitándose en la Práctica.

El uso de pizarras de escritura en las escuelas proporcionó un formato inicial para los ejercicios. El crecimiento de los programas de ejercicios siguió a la introducción de exámenes escritos y estudios basados ​​en papel y lápiz.

Felix Klein describió la preparación para el examen de ingreso a la École Polytechnique como

... un curso de "matemáticas especiales". Se trata de una concentración extraordinariamente fuerte de educación matemática, hasta 16 horas a la semana, en la que la geometría y la mecánica analíticas elementales, y recientemente también el cálculo infinitesimal, se estudian a fondo y se convierten en una herramienta que se domina con seguridad mediante muchos ejercicios.

Sylvestre Lacroix fue una maestra y expositora talentosa. Su libro sobre geometría descriptiva utiliza secciones etiquetadas como "Problema" para ejercitar la comprensión del lector. En 1816 escribió Ensayos sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las matemáticas en particular, que enfatizaba la necesidad de ejercitar y probar:

El examinador, obligado, a corto plazo, a multiplicar sus preguntas lo suficiente para abarcar las materias que pregunta, a la mayor parte del material enseñado, no puede ser menos riguroso, ya que si, para abreviar, deja de lado las solicitudes, de esta manera no se beneficiará nada para las facultades de los alumnos.

Andrew Warwick ha llamado la atención sobre la cuestión histórica de los ejercicios:

La inclusión de ejercicios y problemas ilustrativos al final de los capítulos en los libros de texto de física matemática es ahora tan común que parece poco excepcional, pero es importante apreciar que este dispositivo pedagógico es de origen relativamente reciente y se introdujo en un contexto histórico específico.

Al informar sobre los exámenes de prueba matemática instituidos en la Universidad de Cambridge , señala

Este aprendizaje acumulativo y competitivo también se logró de manera más eficaz por parte de tutores privados que utilizaron clases individuales, manuscritos especialmente preparados y ejemplos y problemas calificados, que los profesores universitarios que impartían clases numerosas al ritmo de los mediocres.

Al explicar la relación entre examen y ejercicio, escribe

... en la década de 1830 eran los problemas en los exámenes, más que los ejercicios en los libros de texto, los que definían el estándar al que aspiraban los estudiantes ambiciosos ... [los estudiantes de Cambridge] no solo esperaban encontrar su camino a través del más simple esbozo de un ejemplo , pero se les enseñó a considerar tales ejercicios como una preparación útil para abordar problemas difíciles en los exámenes.

Al explicar cómo se arraigó la reforma, Warwick escribió:

En Cambridge se creía ampliamente que la mejor manera de enseñar matemáticas, incluidos los nuevos métodos analíticos, era a través de ejemplos prácticos y problemas y, a mediados de la década de 1830, a algunos de los miembros de la primera generación de jóvenes universitarios a los que se les había enseñado análisis superior. de esta manera comenzaban tanto a emprender sus propias investigaciones como a ser nombrados examinadores de Tripos.

Warwick informa que en Alemania, Franz Ernst Neumann casi al mismo tiempo "desarrolló un sistema común de ejercicios graduados que introdujo al estudiante a una jerarquía de habilidades y técnicas matemáticas esenciales, y ... comenzó a construir sus propios conjuntos de problemas a través de los cuales sus estudiantes podrían aprender su oficio ". En Rusia, Stephen Timoshenko reformó la instrucción en torno a los ejercicios. En 1913 estaba enseñando fuerza de materiales en la Universidad Estatal de Medios de Comunicación de Petersburgo . Como escribió en 1968,

Los ejercicios [prácticos] no se dieron en el Instituto, y en los exámenes a los estudiantes solo se les hicieron preguntas teóricas del libro de texto adoptado. Tuve que poner fin a este tipo de enseñanza lo antes posible. Los estudiantes entendieron claramente la situación, se dieron cuenta de la necesidad de una mejor asimilación de la asignatura y no objetaron el fuerte aumento de su carga de trabajo. La principal dificultad fue con los profesores, o más precisamente, con los examinadores, que estaban acostumbrados a basar sus exámenes en el libro. Poner problemas prácticos en los exámenes complicó su trabajo. Eran personas de muchos años ... la única esperanza era llevar a los más jóvenes a la enseñanza.

Ver también

Referencias

enlaces externos