Relación euclidiana - Euclidean relation
En matemáticas , las relaciones euclidianas son una clase de relaciones binarias que formalizan el " Axioma 1 " en los Elementos de Euclides : "Magnitudes que son iguales a lo mismo son iguales entre sí".
Definición
Una relación binaria R en un conjunto X es euclidiana (a veces llamado euclidiana derecho ) si satisface la siguiente: para cada una , b , c en X , si una se relaciona con b y c , a continuación, b está relacionada con c . Para escribir esto en lógica de predicados :
Dually, una relación R en X es euclidiana izquierda si para cada una , b , c en X , si b está relacionada con un y c está relacionado con una , a continuación, b está relacionada con c :
Propiedades
- Debido a la conmutatividad de ∧ en el antecedente de la definición, aRb ∧ aRc incluso implica bRc ∧ cRb cuando R es euclidiana derecha. De manera similar, bRa ∧ cRa implica bRc ∧ cRb cuando R se deja euclidiana.
- La propiedad de ser euclidiana es diferente de la transitividad . Por ejemplo, ≤ es transitivo, pero no euclidiano a la derecha, mientras que xRy definido por 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 no es transitivo, sino euclidiano a la derecha en números naturales.
- Para las relaciones simétricas , la transitividad, el euclidismo derecho y el euclidismo izquierdo coinciden. Sin embargo, también una relación no simétrica puede ser tanto transitiva como euclidiana derecha, por ejemplo, xRy definida por y = 0.
- Una relación que es tanto euclidiana derecha como reflexiva también es simétrica y, por lo tanto, una relación de equivalencia . De manera similar, cada relación euclidiana y reflexiva izquierda es una equivalencia.
- El rango de una relación euclidiana derecha es siempre un subconjunto de su dominio . La restricción de una relación euclidiana derecha a su rango es siempre reflexiva y, por lo tanto, una equivalencia. De manera similar, el dominio de una relación euclidiana izquierda es un subconjunto de su rango, y la restricción de una relación euclidiana izquierda a su dominio es una equivalencia.
- Una relación R es euclidiana tanto a la izquierda como a la derecha, si, y solo si, el dominio y el conjunto de rango de R concuerdan, y R es una relación de equivalencia en ese conjunto.
- Una relación euclidiana derecha es siempre cuasitransitiva , y también lo es una relación euclidiana izquierda.
- Una relación euclidiana derecha conectada es siempre transitiva; y también lo es una relación euclidiana izquierda conectada.
- Si X tiene al menos 3 elementos, un conectado derecha relación euclidiana R en X no puede ser antisimétrica , y tampoco puede una relación euclidiana izquierdo conectado en X . En el conjunto de 2 elementos X = {0, 1}, por ejemplo, la relación xRy definida por y = 1 está conectada, euclidiana derecha y antisimétrica, y xRy definida por x = 1 está conectada, euclidiana izquierda y antisimétrica.
- Una relación R sobre un conjunto X es euclidiana a la derecha si, y sólo si, la restricción R ' : = R | ran ( R ) es una equivalencia y para cada x en X \ ran ( R ), todos los elementos con los que x está relacionado en R son equivalentes en R ' . De manera similar, R en X se deja euclidiana si, y solo si, R ' : = R | dom ( R ) es una equivalencia y para cada x en X \ dom ( R ), todos los elementos que están relacionados con x en R son equivalentes en R ' .
- Una relación euclidiana izquierda es única a la izquierda si, y solo si, es antisimétrica . De manera similar, una relación euclidiana derecha es única por la derecha si, y solo si, es antisimétrica.
- Una relación euclidiana izquierda y única izquierda es vacuosamente transitiva, y también lo es una relación euclidiana derecha y única derecha.
- Una relación euclidiana izquierda es casi reflexiva a la izquierda . Para las relaciones de izquierda única, lo contrario también es válido. Dualmente, cada relación euclidiana derecha es cuasi-reflexiva derecha, y cada relación cuasi-reflexiva única y derecha es euclidiana derecha.