Huerto de Euclides - Euclid's orchard

Un rincón del huerto de Euclides, en el que los árboles están etiquetados con la coordenada x de su proyección en el plano x + y = 1 .

En matemáticas , hablando informalmente, el huerto de Euclides es un conjunto de "árboles" unidimensionales de altura unitaria plantados en los puntos de la celosía en un cuadrante de una celosía cuadrada . Más formalmente, el huerto de Euclides es el conjunto de segmentos de línea desde ( i , j , 0) a ( i , j , 1) , donde i y j son números enteros positivos.

Vista en planta de una esquina del huerto de Euclides. Los árboles marcados con un punto azul sólido son visibles desde el origen.

Vista en perspectiva del huerto de Euclides desde el origen. Los árboles rojos denotan las filas dos fuera de la diagonal principal.

Los árboles visibles desde el origen son aquellos en puntos de la red ( m , n , 0) , donde m y n son primos entre sí , es decir, donde la fracciónmetro/norteestá en forma reducida . El nombre huerto de Euclides se deriva del algoritmo euclidiano .

Si el huerto se proyecta con relación al origen en el plano x + y = 1 (o, de manera equivalente, se dibuja en perspectiva desde un punto de vista en el origen), las copas de los árboles forman un gráfico de la función de Thomae . El punto ( m , n , 1) se proyecta a

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {m} {m + n}}, {\ frac {n} {m + n}}, {\ frac {1} {m + n}} \ right).}$

La solución al problema de Basilea se puede utilizar para mostrar que la proporción de puntos en la cuadrícula que tienen árboles es aproximadamente y que el error de esta aproximación llega a cero en el límite a medida que llega al infinito. ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle {\ tfrac {6} {\ pi ^ {2}}}}$${\ Displaystyle n}$

Ver también

• Problema del bosque opaco

Referencias

enlaces externos

• Euclid's Orchard, hoja de actividades y problemas de grados 9-11 , Texas Instruments Inc.
• Problema relacionado con el proyecto Euler